Вектор валового сбора

Номера перио­дов от середины ряда	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
Валовой сбор, т	2500	2730	2970	3220	3480	3750	4030	4320	4620
Абсолютный прирост к предыдущему, т		230	240	250	260	270	280	290	300
Ускорение			+10	+10	+10	+10	+10	+10	+10

Как видим, тренд валового сбора при отсутствии колеба­ний площади и урожайности был бы параболой II порядка с параметрами: = 3480 + 265t +5t².

(Напомним, что параметр с - это половина ускорения; па­раметр b - средняя по всем периодам величина среднего абсо­лютного прироста; параметр а - уровень тренда в период с нулевым значением ).

Уравнение тренда валового сбора с уравнениями трендов площади и урожайности при условии отсутствия колебаний свя­зано так же, как сам показатель валового сбора с показателями площади и урожайности.

Тренд признака-произведения есть произведение трендов при­знаков-сомножителей. если колеблемость равна нулю:

что точно совпадает с ранее полученным по ряду уровней само­го валового сбора уравнением его тренда. Полученный резуль­тат полностью соответствует логике взаимосвязи показателей и кажется тривиальным. Однако фактический тренд валового сбо­ра по данным табл. 9.1 вовсе не соответствует этой логике, т.е. тренд валового сбора при наличии колеблемости площади и (или) урожайности уже не равен произведению трендов площа­ди и урожайности. Парабола II порядка, вычисленная по дан­ным ряда валового сбора табл. 9.1, имеет вид:

И если в данном примере расхождения параметров невели­ки, то при более сильной колеблемости они могут оказаться уже значительно большими. Главный результат наших исследова­ний состоит в том, что установлен факт несовпадения тренда произведения с произведением трендов сомножителей.

Следующая наша задача - теоретическое объяснение это­го факта. Введем обозначения: и - фактические значения уровней временных рядов признаков-сомножителей; , - их трендовые значения; - трендовые значения признака-произ­ведения; - его фактические уровни. При этом имеется точное равенство: = . Тренды , полагаем линейными, следо­вательно, тренд - парабола II порядка. Будем также для уп­рощения записи вести отсчет номеров периодов времени от середины временных рядов. Фактические уровни признаков можно представить как сумму уровня тренда и отклонения от него, обозначаемого соответственно, , , так что

Рассмотрим произведение трендов сомножителей:

Уравнение (9.2) есть уравнение параболы II порядка, в ко­тором свободный член равен произведению средних величин признаков-сомножителей, он же - средняя величина призна­ка-произведения . Второй член - это средний абсолютный прирост признака-произведения за период, а третий член - по­ловина ускорения признака-произведения. Эти результаты не­новы, но следует твердо усвоить, что при равномерном росте (изменении) признаков х и z их произведение у изменяется не равномерно, а с ускорением. Если изменения признаков-со­множителей имеют одинаковые знаки, то это ускорение - по­ложительная величина; если изменения признаков имеют разные знаки, ускорение их произведения - отрицательная величина. При наличии более двух сомножителей тренд их про­изведения будет параболой более высокого порядка со значи­тельно сложным поведением, в данном учебнике подробно не рассматривается.

Упомянем все же, что если оба признака-сомножителя изме­няются по параболе II порядка, то тренд их произведения будет уже параболой IV порядка. Если тренды сомножителей - экспо­ненты, то и тренд их произведения - тоже экспонента, но вот каков ее параметр, об этом часто судят неверно. Многие руко­водители предприятий полагают, что если число работников бу­дет возрастать на 10%, а производительность их труда - на 8% в год, то выпуск продукции будет увеличиваться на 10 + 8 = 18% или даже на 10 • 8 = 80%) в год! Оба эти ответа неправильны. Тренд произведения будет иметь среднегодовой темп роста, рав­ный произведению темпов сомножителей, т.е. 1,08 • 1,10= 1,188, или 118,8%); следовательно, прирост продукции составит 18,8%) в год к предыдущему уровню.

Далее рассмотрим свойства тренда признака-произведения при наличии колебаний каждого из признаков-сомножителей, опишем структуру каждого из параметров его параболичес­кого тренда начиная со среднего абсолютного прироста

который и вычисляется первым из уравне­ния МНК:

Далее не будем указывать границ суммирования, они всегда проходят по всем уровням ряда (по всем периодам). При этом, так как = , имеем:

Рассмотрим суммы каждого из слагаемых в числителе (9.3):

основание равенства нулю: так как сумма или математическое ожидание произведений величин, математические ожидания (или суммы) каждого из которых равны нулю, тоже равны нулю:

Эти члены разложения (9.3) в общем случае не равны нулю, так как случайные величины, зависящие от рас­пределения отклонений от тренда по периодам времени.

Этот член произведения (9.3) в общем случае не равен нулю, если имеет место корреляция отклонений от трендов признаков х и z.

Итак, кроме членов, равных аналогичным параметрам про­изведения трендов сомножителей, средний прирост в тренде про­изведения содержит еще три члена, в общем случае не равных нулю. Следовательно, в общем случаечто мы и наблю­даем на примере табл. 9.1.

Рассмотрим далее квадратический параметр тренда призна­ка-произведения, т.е. с . Из расчета по методу наименьших квад­ратов (см. гл. 6) для параболы II порядка имеем:

(9.4)

Выражение (9.4) во второй скобке не содержит величин при­знаков и не нуждается в анализе. В первую скобку подставляем значения:

Рассмотрим каждый из 18 членов разложения, используя уже известные из предыдущего анализа равенства.

т.е. равен первому (свободному) члену про­изведения трендов сомножителей.

Этот член произведения в общем случае не равен нулю при наличии корреляции между отклонениями от тренда.

- в общем случае, как ранее показано, не равны нулю, так как за­висят от распределения отклонений от трендов по времени.

В общем случае эти члены не равны нулю при асимметрич­ном распределении отклонений от тренда по длине периода, осо­бенно при ограниченной длине ряда.

при наличии корреляции между отклонениями.

Суммируя члены разложения 1,4, 10 и 13, получаем:

После деления этого элемента на правую часть формулы (9.4) имеем: , т.е. точные значения квадратического члена произ­ведения трендов сомножителей.

Но в общем виде из-за наличия дополнительных членов раз­ложения, не равны нулю члены разложения 9,14,15, 16, 17 и 18, квадратический член параболы - тренда признака-произведе­ния не равен аналогичному члену произведения трендов сомно­жителей, что и видим по данным табл. 9.1.

Свободный член тренда признака-произведения вычисляется системно вместе с квадратическим членом, а, значит, расхожде­ние последнего с таковым в произведении трендов сомножите­лей означает, что и свободные члены расходятся. Следовательно, в общем случае свободный член уравнения параболи­ческого тренда при неравенстве нулю квадратического парамет­ра вообще никогда не равен средней арифметической величине признака:

Итак, на вопрос о причинах отличия параметров тренда признака-произведения от произведения соответствующих па­раметров трендов сомножителей можно дать ответ: парамет­ры тренда признака-произведения при наличии колебаний уровней признаков-сомножителей относительно их трендов содержат дополнительные случайные члены, зависящие от распределения от­клонений признаков-сомножителей от тренда по длине ряда и от наличия корреляции между этими отклонениями.

Можно сказать, что тренд произведения больше зависит от случайностей, чем зависело бы произведение трендов сомно­жителей. Это положение необходимо учитывать при обсужде­нии методики прогнозирования системы жестко связанных признаков.

Теперь кратко рассмотрим связи между колебаниями приз­наков.

Из табл. 9.1 видно, что лишь четыре раза из девяти пози­ций знак отклонения от тренда валового сбора соответствует знаку произведения отклонений от тренда площади и урожай­ности. Представляется на первый взгляд, что колебания при­знаков вообще никак не связаны.

Более точный анализ связи показал, что коэффициенты кор­реляции между отклонениями от трендов составили: ;

Следовательно, колебания валового сбора в основном были вызваны колебаниями урожайности, а колебания размеров пло­щади слабо связаны и с колебаниями урожайности, и с колеба­ниями валового сбора.

Что касается интенсивности и силы колебаний, то имеем сле­дующие показатели:

Величина каждого отклонения валового сбора от тренда, ввиду несовпадения тренда последнего с произведением трендов площади и урожайности, не равна сумме произведения отклонения площади па трендовый уровень урожайности плюс произве­дение отклонения урожайности на трендовую величину площа­ди, как «должно было бы быть». Между отклонениями от тренда нет жесткой функциональной связи: множественный коэффици­ент детерминации колебаний валового сбора колебаниями пло­щади и урожайности равен лишь 0,566, или 56,6%. Жесткая связь колебаний была бы только при такой же жесткой связи колеба­ний площади и урожайности. Но такой связи не может быть на практике, ибо причины колебаний размера посевной площади в основном имеют экономическую или организационно-хозяй­ственную основу, а па колебания урожайности влияют причины природного характера.

Итак, можно сделать лишь качественные выводы о связи и силе колебаний жестко взаимосвязанных признаков:

1) при существенной и прямой связи колебаний факторов-сомножителей колебания признака-произведения будут в сред­нем сильнее, чем каждого из сомножителей, а при обратной и существенной связи колебаний сомножителей колеблемость при­знака-произведения будет в среднем слабее, чем колеблемость сомножителей;

2) при слабой связи между колебаниями сомножителей ко­лебания признака-произведения приблизительно такие же, как колебания сомножителя с наибольшей колеблемостью по вели­чине коэффициента V(t),

3) ввиду случайного распределения колебаний сомножите­лей во времени для изучения их связи необходимо рассмотреть достаточно длинные ряды, не менее 13-15 уровней в каждом.