9.2.2. Тренды качественных признаков

Более сложная проблема - агрегирование трендов каче­ственных признаков, таких, как урожайность, производитель­ность труда, коэффициент рентабельности и т.д. Очевидно, что величина каждого уровня качественного признака по совокуп­ности в целом есть средняя взвешенная арифметическая вели­чина, из значений данного признака по единицам совокупности; весами являются значения объемного признака - знаменателя изучаемого качественного показателя; для урожайности - это площадь посева.

Кратко изложим результат исследования, начиная с про­стейшего случая: при постоянстве весов, т.е. постоянном рас­пределении площади (весового признака) между единицами совокупности, параметры тренда урожайности по совокупно­сти в целом (для всех парабол, включая прямую линию) есть средние взвешенные на доли единиц совокупности в общей площади параметры из всех трендов по каждой единице:

А = ; В = . Таким образом, тренд урожайности по совокуп­ности хозяйств есть средняя величина, состоящая из трендов по отдельным хозяйствам. При малой колеблемости долей хозяйств в общей площади культуры по совокупности тренд урожайности в совокупности будет приблизительно равен среднему взвешенному тренду отдельных хозяйств. При суще­ственных изменениях в распределении площадей между хозяй­ствами с разными трендами общий тренд урожайности по совокупности уже не будет равен среднему из трендов по хо­зяйствам.

Если бы число единиц совокупности было достаточно боль­шим, а изменения их долей в общем объеме признака-веса были случайными, не связанными или слабо связанными с уровнями урожайности и со скоростями ее изменения в отдельных хозяй­ствах, то, в силу закона больших чисел, параметры тренда уро­жайности по совокупности в целом в вероятностном смысле приближались бы к их математическому ожиданию, т.е. к сред­нему из всех индивидуальных трендов. Насколько реальное из­менение площадей в совокупности хозяйств отвечает этим условиям, необходимо конкретно исследовать в каждой отдель­ной задаче.

9.2.3. Агрегирование показателей колеблемости

Ранее доказано, что каждый фактический уровень объем­ного признака Хi по совокупности в целом равен сумме уров­ней этого признака для всех единиц совокупности:

Точно так же каждый уровень тренда по совокупности есть сумма уровней трендов по единицам совокупности:

Тогда и каждое отклонение от тренда по совокупности в це­лом:

Квадрат отклонения в i-м году от тренда по совокупности в целом равен:

сумма квадратов отклонений по совокупности в целом:

(9.5)

Формула (9.5) означает, что сумма квадратов отклонений уровней признака по совокупности от их тренда равна сумме по годам сумм по единицам совокупности квадратов их от­клонений от своих трендов плюс удвоенная сумма произведе­ний отклонений за тот же год уровней для разных единиц совокупности от своих трендов. Эта последняя удвоенная сумма парных отклонений по всем (сочетание изk по 2) есть удвоенная сумма ковариаций колебаний по всем возможным парам единиц совокупности. Так как коэффициент каждой пар­ной корреляции колебаний - величина

то

(9.6)

где - число степеней свободы (для прямой=п-2, для парабо­лы = п - 3).

В свою очередь, по совокупности в целом можно выразить как по совокупности в целом. Учитывая это и результат (9.6), можно записать вместо (9.5):

Сократив обе части равенства на число степеней свободы , имеем окончательный результат для объемных признаков:

(9.7)

Итак, можно сделать вывод: дисперсия колебаний признака в целом по совокупности с объемом k единиц, равна сумме дис­персий по всем k единицам плюс удвоенная сумма произведений средних квадратических отклонений по всем сочетаниям единиц совокупности на парные коэффициенты корреляции колебаний.

Из этого важного вывода вытекает следствие: если бы коле­бания признака у всех единиц совокупности были независимы друг от друга (все ), дисперсия признака по совокупнос­ти в целом была бы равна сумме дисперсий признака для всех единиц совокупности.

Например, если в каждом из 20 предприятий района вало­вой сбор имел бы дисперсию колебаний, равную 9000 ц², то дис­персия валового сбора по району была бы равна 180000 ц². В таком случае имели бы: в то время, как по каждому предприятиюи их сумма по 20 предприятиям составила бы: 94,87 • 20 = 1897,49. Отсут­ствие связи колебаний у разных единиц совокупности, незави­симость их распределения во времени более чем вчетверо снизили бы величину колебаний признака по совокупности в целом. К сожалению, в границах не только административно­го района, но даже и области, края, небольшого государства многие факторы колебаний валового сбора сельскохозяйствен­ных культур являются общими, действующими на всей терри­тории более или менее согласованно. Это означает, что коэффициенты корреляциив преобладающей части - по­ложительные величины. Если предположить, что в среднем об­щие факторы объясняют половину колебаний, т.е., , то получим следующий результат по (9.7):

Как видим, и эта величина все еще существенно меньше, чем сумма колебаний по 20 единицам. Так как на практике не­возможно, чтобы все факторы колеблемости для всех единиц совокупности были только общими, всегда есть и часть спе­цифических факторов колеблемости для отдельных предприя­тий, то коэффициенты корреляции отклонений от трендов всегда в среднем меньше единицы, а тогда правая часть выражения (9.7) меньше, чем квадрат суммы колебаний. В результа­те имеем общий закон агрегирования колебаний объемного признака для совокупности хозяйств или любых иных объектов: абсолютная колеблемость объемного признака в совокупности всегда меньше, чем сумма абсолютных мер ко­леблемости по всем единицам совокупности, и коэффициент ко­леблемости по совокупности меньше средней величины коэффициентов колеблемости в единицах совокупности:

Если же имеет место обратная корреляция колебаний меж­ду единицами совокупности, например, между колебаниями ва­лового сбора в разных регионах большой страны или всего мира, то компенсирующие друг друга колебания могут еще рез­че снизить общую колеблемость по совокупности и даже свес­ти ее к нулю².

Данный закон справедлив и для вторичных признаков, та­ких, как урожайность. Если бы колебания урожайности у всех единиц совокупности были жестко связаны (т.е. все были равны единице), то колебания урожайности по совокупности были равны средней из показателейS(t)j каждой единицы со­вокупности. Но так как на разных предприятиях, в хозяйствах есть не только общие для совокупности факторы колеблемос­ти, но и специфические, все < 1, а, значит, колебания сред­ней урожайности по совокупности хозяйств, даже если взять простую среднюю, будут меньше, чем среднее квадратическое отклонение по всем единицам. А если еще среднюю урожай­ность по совокупности вычислить как взвешенную по площа­дям, то их колебания, конечно, не строго согласованные по всем единицам совокупности, также будут снижать колебле­мость средней урожайности по совокупности.

Знающие векторную алгебру легко усвоят закономерности уменьшения колеблемости при агрегировании объектов, если примут во внимание, что колебания - не скалярная величина, а векторная, направление которой - ее распределение во време­ни. Векторная сумма, как известно, всегда меньше скалярной суммы векторов, не учитывающей их направленности.