- •Глава 9. Изучение динамики комплекса взаимосвязанных признаков
- •9.1. Динамика жестко связанной системы признаков (показателей)
- •Вектор валового сбора
- •9.2. Агрегирование трендов и колебаний по совокупности объектов
- •9.2.1. Тренды объемных признаков
- •9.2.2. Тренды качественных признаков
- •9.2.3. Агрегирование показателей колеблемости
- •9.3. Корреляция между временными рядами: сущность, ограничения
- •9.4. Методы измерения корреляции между колебаниями признаков
- •Корреляция урожайности картофеля с его себестоимостью совхоза им. Ленина Волосовского района Ленинградской области
- •Корреляция отклонений от средних отклонений
- •9.5. Корреляция с учетом лага и циклов
- •Корреляция отклонений от тренда с неизвестным заранее лагом
- •9.6. Понятие о динамике комплекса статистически взаимосвязанных признаков
9.2. Агрегирование трендов и колебаний по совокупности объектов
9.2.1. Тренды объемных признаков
Рассмотрим проблему соотношения тренда и колеблемости по совокупности объектов (например, тренда и колеблемости валового сбора по району в целом) и соотношения трендов и колебаний того же показателя в каждой единице совокупности (по каждому хозяйству). Иначе говоря, в отличие от мультипликативной системы, представленной в разд. 9.1, рассмотрим аддитивную систему.
Эта проблема в нашей статистической литературе рассматривалась очень кратко для частного случая И. Поповой [13, с. 57-61] и в общем случае В.Н. Афанасьевым [2].
Сначала обсудим проблему агрегирования трендов объемных признаков, например валового сбора. Очевидно, что каждый уровень признака по совокупности хозяйств равен сумме валовых сборов всех единиц этой совокупности:
Средний уровень за ряд лет по совокупности - свободный член линейного тренда - равен, следовательно, сумме свободных членов линейных трендов валового сбора по всем единицам совокупности.
Далее покажем, из чего складывается среднегодовой прирост валового сбора по совокупности:
где j - номера единиц совокупности.
Следовательно, средний абсолютный прирост тренда по совокупности в целом равен сумме средних абсолютных приростов по всем единицам совокупности. Таким образом, теорема агрегирования для линейных трендов доказана.
Для параболических трендов средний абсолютный прирост совпадает с таковым для прямой, доказательство уже имеется. Система уравнений МНК для других параметров параболы по совокупности в целом имеет вид:
Подставляя в правые части имеем
Решая эту систему уравнений, получаем:
Вторая скобка не содержит величины признака и в рассмотрении не нуждается. Первая скобка преобразуется в следующее выражение:
что после деления каждого из у слагаемых на вторую скобку дает
т.е. квадратический параметр параболы по совокупности в целом равен сумме квадратических параметров по всем единицам совокупности. Свободный член параболического тренда по совокупности А вычисляем после нахождения С по формуле
Таким образом, свободный член параболы по совокупности в целом равен сумме свободных членов уравнений трендов по всем единицам совокупности. Доказана и теорема сложения для параболических трендов. Разумеется, если по части единиц совокупности тренды линейные, а по другим единицам - параболические, то и в этом случае соблюдается правило суммирования трендов. Прямую можно считать частным случаем параболы при пулевом ускорении.
В случае экспоненциальных трендов по каждой единице совокупности тренд по совокупности в целом также является экспонентой, коэффициент роста которой k является не постоянной, а переменной величиной, в каждом периоде равной средней арифметической взвешенной из индивидуальных темпов по величине уровней предыдущего периода. С течением времени общий темп роста по совокупности асимптотически приближается к величине темпа роста, являющегося наибольшим из всех индивидуальных темпов, так как уровень признака у единицы совокупности с наибольшим темпом роста со временем становится преобладающим в совокупности, его доля стремится к единице. Разумеется, теорема сложения трендов к экспонентам неприменима. Она заменяется теоремой усреднения трендов, которую здесь излагать не будем.