9.4. Методы измерения корреляции между колебаниями признаков

Итак, в предыдущем разделе было установлено, что един­ственная «чистая» задача об измерении корреляции временных рядов - это измерение связи между колебаниями их уровней. Колебания - это, как правило, случайная составляющая, в отли­чие от тренда. Если же и колебания не случайны, а строго упо­рядочены, как, например, сезонные, то и задача о связи таких колебаний не является «чистой», так как содержит риск ложной связи. В связи с этим далее рассматриваются лишь случайно распределенные во времени колебания, например колебания урожайности.

Классический пример, иллюстрирующий отличие корреляции отклонений от тренда и корреляции уровней ряда, - это связь, наблюдавшаяся в 1970-1989 гг. в СССР между урожайностью сельскохозяйственных культур и себестоимостью единицы их продукции. Урожайность большинства культур в подавляющей части регионов в 70-80% хозяйств имела тенденцию роста, хотя и медленного, а в отдельных хозяйствах - довольно быстрого. Согласно законам экономики, как рыночной, так и плановой, рост урожайности должен приводить к снижению себестоимос­ти единицы продукции. Однако на самом деле в большинстве, если не во всех хозяйствах и регионах, наоборот, себестоимость имела тенденцию роста. Скрытой причиной этого явления была не признаваемая официально инфляция - рост цен на все эле­менты затрат на производство: сельскохозяйственные машины, энергоносители, удобрения. Рассмотрим пример, представлен­ный в табл. 9.3.

Если рассчитывать коэффициент корреляции между уровня­ми рядов по обычной формуле

то получаем величину -0,055, незначимо отличную от нуля. Па­раллельность трендов урожайности и себестоимости погасила обратную связь их колебаний, что привело к результату, проти­воречащему законам экономики.

Рассмотрим теперь другую методику: измерение корреляции между отклонениями уровней от трендов. Подставляя отклоне­ния от трендов в обычную формулу коэффициента корреляции, имеем:

Таблица 9.3

Корреляция урожайности картофеля с его себестоимостью совхоза им. Ленина Волосовского района Ленинградской области

Год	Урожайность, ц/га,	Себесто­имость, руб/ц,	Тренды			Отклонения от трендов			Квадраты отклонений			Произве­дения		руб/ц
1977	108	11,8	97	11,7	+11		+0,1	121		0,01	+1,1		10,3
1978	81	15,4	101	12,9	-20		+2,5	400		6,25	-50,0		15,4
1979	106	13,0	105	14,1	+1		-1,1	1		1,21	-1,1		14,0
1980	124	13,9	108	15,3	+16		-1,4	256		1,96	-22,4		13,3
1981	103	15,1	112	16,6	-9		-1,5	81		2,25	+13,5		17,7
1982	106	19,6	116	17,8	-10		+1,8	100		3,24	-18,0		19,0
1983	149	16,2	120	19,0	+29		-2,8	841		7,84	-81,2		15,4
1984	148	17,2	124	20,2	+24		-3,0	576		9,00	-72,0		17,2
1985	102	24,0	128	21,4	-26		+2,6	676		6,76	-67,6		24,6
1986	130	22,4	131	22,7	-1		-0,3	1		0,09	+0,3		22,8
1987	80	32,3	135	23,9	-55		+8,4	3025		70,56	-462,0		30,7
1988	139	24,7	139	25,1	0		-0,4	0		0,16	0,0		25,1
1989	183	21,1	143	26,3	+40		-4,9	1600		24,00	-196,0		21,3
Σ	1559	247,0	1559	247,0	0		0,0	7678		133,30	-952,7		246,8

Однако так как средние величины отклонений от линейных и параболических трендов всегда равны нулю, а от других форм тренда близки к нулю, если эти формы трендов правильно выб­раны, то

и формула приобретает вид:

(9.8)

Соответственно формула коэффициента регрессии также меняется:

(9.9)

Свободный член уравнения регрессии определяем по обыч­ной формуле: т.е. для отклонений от трендов:

Уравнение регрессии имеет вид:

(9.10)

Подставляя данные из табл. 9.3, получаем:

Таким образом, колебания себестоимости картофеля в со­вхозе почти целиком были связаны с колебаниями урожайнос­ти, связь обратная, как и требуют законы экономики. И вся она была подавлена тем, что оба тренда имели одно и то же направ­ление по совершенно разным причинам: прогресс агротехники - не причина инфляции и роста цен. Равно как и наоборот: инф­ляция скорее тормозила прогресс урожайности.

Коэффициент регрессии: уравнение регрессии:

Смысл этого уравнения таков: в сред­нем отклонение себестоимости от ее тренда в i-м году составляет 0,124 величины отклонения урожайности от своего тренда с об­ратным знаком. Значения себестоимости, рассчитанные по мо­дели с учетом тренда себестоимости и колебаний урожайности, приведены в последней графе табл. 9.3:

Как видим, полученные по этой модели уровни себестоимос­ти довольно близки к фактическим.

Другим методом измерения корреляции между временны­ми рядами служит метод корреляции цепных показателей ди­намики, которые являются константами трендов. Для линейных трендов - это абсолютные цепные изменения. Метод предпоч­тительно применять для таких рядов, в которых среднее изме­нение (параметр b) существенно меньше, чем среднее колебание S(t), иначе говоря, показатель K значительно меньше единицы.

Логика применения метода заключается в том, что если ко­леблемость намного больше изменения тренда за единицу вре­мени, то цепные абсолютные изменения, т.е. разности соседних уровней, в основном состоят из колебаний. В связи с этим кор­реляция абсолютных изменений будет мало отличаться от кор­реляции отклонений от тренда. Метод имеет и преимущество: не нужно вычислять тренд, ошибка в выборе типа тренда не вли­яет на конечный результат. Расчет идет непосредственно по ис­ходным временным рядам. По данным табл. 9.3 имеем:

= +5,57 +5,8; = +0,738 +0,74.

В отличие от отклонений от тренда средняя величина цеп­ных абсолютных изменений не равна нулю. В связи с этим для расчета параметров корреляции необходимо пользоваться пол­ными формулами, а не сокращенной формулой (9.8). Соответствующие суммы квадратов и произведения отклонении от сред­них приростов приведены в табл. 9.4. Исходя из них имеем:

что почти совпадает с ранее полученной величиной коэффици­ента корреляции отклонений от трендов.

Если тренды признаков являются экспонентами, то вместо корреляции отклонений от трендов можно применить метод корреляции цепных темпов роста уровней, поскольку именно темпы роста - основной параметр экспоненциальных трендов.

Остаются недостаточно проработанными следующие вопро­сы: насколько допустима корреляция абсолютных изменений, если тренды имеют другой вид (гиперболический, логистичес­кий, логарифмический и т.д.)?; если тренд факторного признака одного типа, а результативного - другого типа? Достаточного практического опыта для убедительного ответа на эти вопросы у авторов нет, они будут благодарны читателям, если кто-то из них предложит свои ответы на эти вопросы. Еще раз, и не пос­ледний, авторы подчеркивают, что наука - открытая система, продолжающийся процесс познания, открытия новых «матери­ков» (реже) и «островов» (чаще) в бесконечном океане неведо­мого.

В заключение напомним, что метод корреляции отклоне­ний от трендов основной, он работает независимо от того, оди­наковы типы трендов коррелируемых показателей или нет. Прочие методы - суррогаты, имеющие чаще всего, ограниче­ния по типам трендов.

Таблица 9.4