4.2. Параболический тренд и его свойства

Под названием параболического будем иметь в виду тренд, выраженный параболой II порядка с уравнением

=a+b*t+c*t².

Параболы IIIпорядка и более высоких порядков редко приме­нимы для выражения тенденции динамики и слишком сложны для получения надежных оценок параметров при ограничен­ной длине временного ряда. Прямую линию, с точки зрения ма­тематики, можно также считать одним из видов парабол - параболой I порядка, которая уже рассмотрена ранее.

Значения (смысл, сущность) параметров параболы II поряд­ка таковы: свободный член а -это средний (выровненный) уро­вень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е.t = 0; b -это средний за весь период среднегодовой прирост, который уже не является константой, а изменяется рав­номерно со средним ускорением, равным 2 с, которое и служит константой, главным параметром параболы II порядка.

Следовательно, тренд в форме параболы II порядка при­меняется для отображения таких тенденций динамики, кото­рым свойственно примерно постоянное ускорение абсолютных изменений уровней. Процессы такого рода встречаются на практике гораздо реже, чем процессы с равномерным измене­нием, но, с другой стороны, любое отклонение процесса от строго равномерного прироста (или сокращения) уровней можно интерпретировать как наличие ускорения. Более того, существует строгое математическое правило: чем выше поря­док параболы, тем ближе линия тренда к уровням исходного временного ряда. Если это правило довести до крайнего пре­дела, то любой ряд из пуровней может быть точно отображен параболой (п-1)-го порядка! (Через любые две точки прохо­дит одна прямая, через три точки - одна парабола II порядка и т.д.) Такое «приближение» линии тренда к эмпирическому ряду, содержащему как тенденцию, так и колебания, нельзя считать достижением научного анализа. Напротив, применяя параболу более высокого порядка там, где сущность процес­са этого не требует, а только ради уменьшения остаточной суммы отклонений (или их квадратов) отдельных уровней от тренда, исследователь уходит от цели, смешивая тренд с коле­баниями.

Парабола II порядка, как уравнение тренда, применяется к различным процессам, которые на некотором, как правило не­продолжительном, этапе развития имеют примерно постоян­ное ускорение абсолютного прироста уровней. Такими бывают рост населения отдельных городов или регионов, ускоренное увеличение объема продукции в фазе циклического подъема, как, например, динамика экспорта Японии в 1988-1995 гг. на рис. 4.2.

Рис.4.2. Динамика экспорта Японии

Расчет уравнения этой параболы приведен в гл. 5. Основные свойства тренда в форме параболы II порядка та­ковы:

1) неравные, но равномерно возрастающие или равномерно убывающие абсолютные изменения за равные промежутки вре­мени;

2) парабола, рассматриваемая относительно ее математи­ческой формы, имеет две ветви: восходящую с увеличением уровней признака и нисходящую с их уменьшением. Но отно­сительно статистики по содержанию изучаемого процесса из­менений трендом, выражающим определенную тенденцию развития, чаще всего можно считать только одну из ветвей:

либо восходящую, либо нисходящую. В особых, более конк­ретных, ситуациях мы не отрицаем возможности объединения обеих ветвей в единый тренд;

3) так как свободный член уравнения акак значение показа­теля в начальный момент (период) отсчета времени, как правило, величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметровb ис:

а) при b >0и с>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному росту уровней;

б) при b <0и с<0 имеем нисходящую ветвь - тенденцию к ускоренному сокращению уровней;

в) при b> 0 и с<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляю­щимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, восходящую и нисходящую, если их по существу можно считать единым про­цессом;

г) при b <0и с>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляю­щимся сокращением уровней, либо обе ветви - нисходящую и восходящую, если их можно считать единой тенденцией;

4) при параболической форме тренда, в зависимости от со­отношений между его параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время возрастать, но при достаточно длительном периоде рано или поздно темпы роста обязательно начинают уменьшаться, а темпы сокращения уровней при b <0и с<0 обязательно начинают возрастать (по абсолютной величине относительного изменения).

Ввиду ограниченного объема учебника рассмотрим не все четыре случая параболических трендов, а лишь два первых (табл. 4.3 и 4.4).

Таблица 4.3

Показатели динамики при параболическом тренде,

Номер периода ti	Уровень	Абсолютное изменение	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Ускоре­ние
1	122	+22	122,0	-
2	148	+26	121,3	+4
3	178	+30	120,3	+4
4	212	+34	119,1	+4
5	250	+38	117,9	+4
6	292	+42	116,8	+4

Таблица 4.4

Показатели динамики при параболическом тренде,

Номер перио­да ti	Уро­вень	Абсо­лютные измене­ния	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Уско­рение	Цепное относи­тельное измене­ние, % к преды­дущему периоду
1	178	-22	89,0	-	-11,0
2	152	-26	85,4	-4	-14,6
3	122	-30	80,3	-4	-19,7
4	88	-34	72,1	-4	-27,9
5	50	-38	56,8	-4	-43,2
6	8	-42	16,0	-4	-84,0

В тех случаях, когда по существу изучаемого процесса до­пустимо считать единым трендом обе ветви параболы, пред­ставляет большой интерес решение задачи о нахождении того периода или момента времени, когда уровень тренда достигает максимума (когда b>0, с<0)или минимума (еслиb<0, с>0).Эк­стремальная точка параболы = а+bt+ct²достигается при ну­левом значении первой производной: