4.3. Экспоненциальный тренд и его свойства

Экспоненциальным трендомназывают тренд, выраженный уравнением: .Свобод­ный член экспонентыаравен выровненному уровню, т.е. уров­ню тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. приt=0.Основной параметр экспоненциального трендаkявляется постоянным темпом изменения уровней (цен­ным). Еслиk>1,имеем тренд с возрастающими уровнями, при­чем это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим ускорением и возрастающими производными всех более высо­ких порядков. Еслиk<1, то имеем тренд, выражающий тенден­цию постоянного, но замедляющегося сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается. Экстремума экс­понента не имеет и при стремится либо к приk >1, либо к 0 приk<1.

Экспоненциальный тренд характерен для процессов, разви­вающихся в среде, не создающей никаких ограничений для рос­та уровня. Из этого следует, что на практике он может развиваться только на ограниченном промежутке времени, так как любая среда рано или поздно создает ограничения, любые ресурсы со временем исчерпаемы. Однако практика показала что, например, численность населения Земли на протяжении 1950-1985 гг. возрастала примерно по экспоненте со среднего­довым темпом роста k= 1,018 и за это время возросла вдвое - с 2,5 до 5 млрд. чел. (рис. 4.3). В настоящее время темп роста насе­ления постепенно уменьшается.

Экспоненциальный рост объема реализации и производства происходит при возникновении новых видов продукции и их освоении промышленностью: при появлении цветных телеви­зоров, видеомагнитофонов, пейджеров и т.п., но когда произ­водство начинает наполнять рынок, приближаться к спросу, экспоненциальный рост прекращается.

Рис. 4.3. Рост народонаселения Земли

Расчет экспоненциального тренда дан в гл. 5. Основные свойства экспоненциального тренда:

1. Абсолютные изменения уровней тренда пропорциональ­ны самим уровням.

2. Экспонента экстремумов не имеет: при k >1 тренд стремит­ся к +, приk<1 тренд стремится к нулю.

3. Уровни тренда представляют собой геометрическую про­грессию: уровень периода с номером t=тестьa*k^m.

4. При k >1 тренд отражает ускоряющийся неравномерно рост уровней, приk <1 тренд отражает замедляющееся неравномерно уменьшение уровней. Поведение основных показателей дина­мики в этих случаях рассмотрено в табл. 4.5 и 4.6.

В табл. 4.5 и 4.6 в последней графе приведены редко приме­няемые показатели динамики III порядка: ускорение (или при­рост) ускорения и замедление ускорения. Эти абсолютные показатели даны для наглядного пояснения главного отличия экспоненциального тренда от парабол любого порядка: экспо­нента не имеет постоянных производных любого порядка по времени. Постоянен только цепной темп изменения.

Номер периода	Уровень	Абсолютные изменения (цепные)	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Ускорение	Прирост ускорения к предыдущему периоду
1	120,00	+20,00	120	-	-
2	144,00	+24,00	120	+4,00	-
3	172,80	+28,80	120	+4,80	+0,80
4	207,36	+34,56	120	+4,76	+0,96
5	248,83	+41,47	120	+6,81	+1,15
6	298,60	+49,77	120	+8,30	+1,39

Номер периода	Уровень	Абсолютные изменения (цепные)	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Ускорение	Замедление ускорения
1	160,00	40,00	80	-	-
2	128,0	-32,00	80	+8,00	-
3	102,40	-25,60	80	+6,40	-1,60
4	81,92	-20,48	80	+5,12	-1,28
5	65,54	-16,38	80	+4,10	-1,02
6	52,43	-13,11	80	+3,27	-0,83

Читатель может заинтересоваться и таким вопросом: как на­звать тенденцию динамики, при которой и темп изменения был бы непостоянен, а имел постоянное абсолютное или относи­тельное изменение, например, уравнение типа или и т.д. Подобные «гиперэкспоненты» не применяют­ся статистикой, ибо любой, сколь угодно быстрый, сколь угодно ускоряющийся рост может быть отображен обычной экспонентой - стоит лишь уменьшить период, за который происходит возрастание (или сокращение) уровней вkраз. По своему суще­ству экспоненциальное развитие процесса и есть предельно воз­можное, предельно благоприятное по условиям развития, так как оно осуществляется в среде, не ограничивающей развитие данного процесса. Но следует помнить, что это происходит толь­ко до определенного времени, так как каждая среда, каждый ре­сурс в природе ограничен. Единственный спорный в науке процесс, по которому до сих пор нет доказательства ограничен­ности его во времени, - это экспоненциальное замедляющееся расширение Вселенной. Ограничено ли оно и сменится ли со временем сжатием или будет продолжаться бесконечно, зави­сит от значения средней плотности вещества и излучения во Вселенной, которую пока науке установить не удалось, ибо не все формы существования вещества и полей науке извест­ны. Зато интересно знать, что самый фундаментальный про­цесс, охватывающий всю известную Вселенную, уже, по крайней мере, 12-15 млрд. лет развивается по экспоненте.