- •Замечательные точки в треугольнике .
- •Средняя линия в треугольнике и ее свойства. Теорема Вариньона. Площади. [7,8,9].
- •Подсчет углов. Вписанный угол. Угол между хордами и секущими к окружности. Угол между касательной и хордой. [7,8,9].
- •Вписанный четырехугольник. Критерии вписанного четырехугольника (5 признаков). [7,8,9]
- •Теорема о касательной и секущей. [7,8,9]
- •Теорема Фалеса с доказательством. Теорема о пропорциональных отрезках. [7,8,9]
- •Лемма Мансиона и ее обобщение. [7,8,9]
- •Окружность Эйлера 9 точек. [7,8,9]
- •Прямая Симпсона. [7,8,9]
- •Теорема Птолемея. [7,8,9,10]
- •Теорема Чевы и ее обобщение. Обратная теорема Чевы. [7,8,9]
- •Теорема Менелая и ее обобщение. Обратная теорема Менелая. [7,8,9]
- •Тригонометрическая форма теоремы Чевы. Изотомическое и изогональное сопряжение. Доказать, что точки и изогонально сопряжены. Точка Лемуана. [7,8,9,12]
- •Гомотетия, свойства гомотетии. Теорема Эйлера о том, что точки лежат на одной прямой, причем . [7,8,9]
- •Вневписанные окружности. Точка Нагеля . Свойства нагелиан. Доказать, что точки и изотомически сопряжены. [7,8,9]
- •Теорема Архимеда о двух касающихся окружностях. Задача Архимеда о ломаной.[5,12]
- •Теорема о прямой Эйлера-Нагеля. Доказать, что , .[5]
- •Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей. Радикальный центр трех окружностей.[4,5,7,8,9]
- •Формула Эйлера для вычисления расстояния между центрами вписанной и описанной окружности. [7,8,9]
- •Точка Торричелли и ее свойства.[3,4,5]
- •Треугольник наименьшего периметра, вписанный в данный треугольник. [3,4,5]
- •Теорема Брианшона. [3,4,5,7,8]
- •Окружность, вписанная в сегмент и ее свойства.[5]
- •Лемма о бабочке.[10, задача 122]
- •Понятие центра масс системы материальных точек. Существование, единственность, группировка с доказательством. Теорема о центроиде четырехугольника.[1,2,5,12]
- •Доказать с помощью понятия центра масс, что медианы (биссектрисы, высоты) пересекаются в одной точке и найти пропорцию, в которой точка пересечения делит соответствующую линию. [1,2,5,12]
- •Понятие барицентрических координат точки относительно треугольника . Найти барицентрические координаты точек: середины , центров вневписанных окружностей. [1,2,5,12]
- •Условие принадлежности одной прямой трех точек с заданными барицентрическими координатами. Уравнение прямой линии в барицентрических координатах. [1,2,5,12]
- •Признак ромба: если радиусы окружностей, вписанных в треугольники, образуемые сторонами и диагоналями четырехугольника, равны, то этот четырехугольник – ромб.
- •Теорема о биссектрисах внешних углов полного четырехугольника.
- •Теорема о трех центрах гомотетий (о трех колпаках).[7]
- •Инверсия относительно окружности. Деление отрезка пополам с помощью одного циркуля. Стереографическая проекция.[7]
- •Полярное соответствие. Свойство взаимности поляр. Двойственность в геометрии. Теорема Паскаля. [7]
- •Векторы и комплексные числа.
- •Разное.
- •Литература по курсу элементарная математика (геометрия)
-
Признак ромба: если радиусы окружностей, вписанных в треугольники, образуемые сторонами и диагоналями четырехугольника, равны, то этот четырехугольник – ромб.
-
Пусть - точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника . Известно, что радиусы вписанных окружностей треугольников равны. Доказать, что - ромб.
Решение. Пусть, скажем, . В этом случае при центральной симметрии относительно точки образ треугольника будет лежать внутри треугольника , и, следовательно, радиус вписанной окружности треугольника будет меньше радиуса вписанной окружности треугольника . В случае же из равенства площадей треугольников получаем, что - ромб.
-
Теорема о биссектрисах внешних углов полного четырехугольника.
1.
-
Теорема о трех центрах гомотетий (о трех колпаках).[7]
1.
-
Инверсия относительно окружности. Деление отрезка пополам с помощью одного циркуля. Стереографическая проекция.[7]
-
Пусть дана окружность с центром и радиусом . Инверсией относительно окружности называют преобразование, переводящее произвольную точку , отличную от , в точку , лежащую на луче , причем . Окружность в этом случае называется окружностью инверсии.
Пусть при инверсии относительно окружности точка переходит в точку , точка - в . Докажите, что треугольники и подобны.
-
Постройте с помощью одного циркуля:
-
отрезок, который в два раза длиннее данного отрезка;
-
отрезок, который в раз длиннее данного отрезка;
-
середину данного отрезка;
-
отрезок в раз меньший данного отрезка;
-
инверсный образ данной точки относительно окружности .
-
-
В сегмент, образованный дугой окружности и хордой, вписываются всевозможные пары касающихся окружностей.
-
Найти множество их точек касания.
-
Для каждой пары касающихся окружностей через точку касания проводится общая касательная. Доказать, что все построенные прямые проходят через одну точку.
-
-
На биссектрисе угла треугольника внутри треугольника взяты точки и так, что . Докажите, что:
a) ;
b) окружность, проходящая через точки , и касающаяся отрезка , касается окружности описанной около треугольника .
-
Полярное соответствие. Свойство взаимности поляр. Двойственность в геометрии. Теорема Паскаля. [7]
-
Пусть дана окружность с центром в точке и радиусом . Полярой точки , не совпадающей с центром окружности, называется множество точек в плоскости окружности, для которых . Доказать, что поляра точки - это прямая, перпендикулярная прямой . Что является полярой точки, лежащей на окружности?
-
Точка называется полюсом прямой , которая является полярой точки . Мы будет обозначать поляру и полюс . Что является полюсом касательной к окружности ? Доказать, что отображение является взаимно однозначным соответствием между множеством точек на плоскости, отличных от центра окружности , и множеством прямых на плоскости, не проходящих через центр .
-
Доказать свойство взаимности поляр: .
-
Доказать, что центр лежит на прямой тогда и только тогда, когда .
-
Пусть - описанный четырехугольник, точки касания вписанной окружности со сторонами , соответственно. Докажите, что либо точка пересечения прямых и лежит на прямой , либо прямые и параллельны .
-
(Теорема Паскаля) Пусть - вписанный шестиугольник. Доказать, что точки пересечения пар противоположных сторон этого шестиугольника (если они существуют) лежат на одной прямой. Указание. Примените полярное преобразование относительно описанной окружности и воспользуйтесь теоремой Брианшона.
-
В треугольнике на сторонах и взяты точки соответственно, и пересекаются в точке . Оказалось, что четырехугольник - описанный с центром вписанной окружности . Пусть - основание перпендикуляра из точки на прямую . Докажите, что - биссектриса .
-
Лемма о шестиугольнике, вписанном в окружность.[7]
-
Пусть - стороны шестиугольника, вписанного в окружность. Доказать, что большие диагонали этого шестиугольника пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда .
-
Сформулируйте и докажите лемму о шестиугольнике для случая самопересекающегося шестиугольника.
-
Построение поляры точки с помощью одной линейки. Построение касательной к окружности с помощью одной линейки.[7]
1.
-
Автополярный треугольник.[7]
1. Треугольник называется автополярным относительно окружности , если каждая сторона треугольника (прямая, содержащая сторону) является полярой противоположной вершины относительно . Доказать, что автополярный треугольник является тупоугольным.
44. Неравенства в геометрии.
-
Даны три окружности , , соответственно с центрами , которые пересекаются в одной точке. Кроме того, окружность пересекается с также в точке А, с в точке C, с в точке B. Пусть Х – точка на окружности и прямая АХ пересекает в точке , а прямая XB пересекает в точке (см. рисунок). Доказать, неравенство для площадей треугольников . Решение. Заметим, во-первых, что точки лежат на одной прямой. В самом деле, . Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом . С этим же коэффициентом подобны треугольники и . То есть . Отсюда вытекает неравенство для площадей .
-
Доказать, что произведение длин любых двух сторон треугольника не меньше, чем произведение диаметров окружностей вписанной и описанной около треугольника. Решение. Пусть - стороны, полупериметр, радиусы вписанной и описанной окружности треугольника, соответственно. Нужно доказать неравенство: . Кроме того, площадь треугольника может быть вычислена по формулам: . Поэтому требуемое неравенство преобразуется к виду: , что очевидно.
-
Продолжения медиан треугольника пересекают описанную около него окружность в точках соответственно. Доказать, что .
-
Среди всех тетраэдров, вписанных в данный правильный тетраэдр, найти тетраэдр с наименьшей суммой ребер. (Вершины вписанного тетраэдра лежат на различных гранях данного тетраэдра).
-
Внутри остроугольного треугольника с максимальной стороной взята точка так, что - прямой. Из точки опущены перпендикуляры и на стороны и . Прямая пересекает сторону в точке . Докажите, что периметр меньше .
-
Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-то диагонали, а каждая диагональ равна какой-то стороне?
-