13. Тригонометрическая форма теоремы Чевы. Изотомическое и изогональное сопряжение. Доказать, что точки и изогонально сопряжены. Точка Лемуана. [7,8,9,12]

1. (Тригонометрическая форма теорема Чевы) Точки лежат на сторонах треугольника , соответственно. Обозначим через . Докажите, что прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда .

2. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены подобные равнобедренные треугольники . Доказать, что прямые пересекаются в одной точке.

3. На соответствующих сторонах (или их продолжениях) треугольника выбраны точки , причем каждая из выбранных пар точек симметрична относительно середины соответствующей стороны. Доказать, что если прямые пересекаются в одной точке , то прямые также пересекаются в одной точке. Эта точка обозначается и называется изотомически сопряженной точке . Ясно, что .

4. На соответствующих сторонах (или их продолжениях) треугольника выбраны точки , причем прямые симметричны прямым относительно биссектрис соответствующих углов. Доказать, что если прямые пересекаются в одной точке , то прямые также пересекаются в одной точке. Эта точка обозначается и называется изогонально сопряженной точке . Ясно, что .

5. Доказать, что точки и изогонально сопряжены.

6. Симедианами треугольника называются прямые, симметричные медианам относительно биссектрис соответствующих углов. Доказать, что симедианы треугольника пересекаются в одной точке, изогонально сопряженной центроиду . Эта точка называется точкой Лемуана треугольника .

14. Гомотетия, свойства гомотетии. Теорема Эйлера о том, что точки лежат на одной прямой, причем . [7,8,9]

1. Гомотетией (центральным подобием) с центром в точке и коэффициентом гомотетии называется отображение точек плоскости, при котором для любой точки плоскости ее образ удовлетворяет соотношению: . Такая гомотетия обозначается .

Доказать основные свойства гомотетии:

1. Центр гомотетии, точка и ее образ лежат на одной прямой;

2. При гомотетии прямая переходит в параллельную прямую;

3. При гомотетии фигура переходит в подобную фигуру , причем коэффициент подобия этих фигур равен .

2. Доказать, что три замечательные точки треугольника : центр описанной окружности , центроид и ортоцентр , лежат на одной прямой, причем . Эта прямая называется прямой Эйлера треугольника .

3. Доказать, что центр окружности Эйлера девяти точек совпадает с серединой отрезка .

4. Доказать, что в треугольнике : .

5. (Лемма о двух треугольниках) Пусть в треугольниках и соответствующие стороны попарно параллельны. Доказать, что либо прямые , , пересекаются в одной точке, либо треугольник получается из треугольника параллельным переносом.

6. Пусть - центры вневписанных окружностей треугольника ; - точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника ; - середины дуг описанной окружности треугольника . Доказать, что

   1. треугольники , , попарно гомотетичны;

   2. центры их гомотетий лежат на прямой ;

   3. - прямая Эйлера этих трех треугольников.

7. Три окружности одинакового радиуса проходят через одну точку . Каждая из этих окружностей вписана в один из углов треугольника . Пусть и центры вписанной и описанной окружности треугольника (). Доказать, что точка лежит на прямой .