-
Подсчет углов. Вписанный угол. Угол между хордами и секущими к окружности. Угол между касательной и хордой. [7,8,9].
-
Доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
-
Доказать, что угол между биссектрисами смежных углов прямой.
-
Найти сумму углов пятиконечной звезды, не обязательно правильной.
-
Доказать, что биссектриса прямого угла треугольника делит пополам угол между медианой и высотой этого угла.
-
В прямоугольнике
.
Сторона
точками
и
делится на три равные части. Найти сумму
углов
. -
На сторонах
и
треугольника
,
во внешнюю сторону построены равнобедренные
треугольники
и
,
причем
.
Пусть
- середина отрезка
.
Доказать, что
. -
На стороне
треугольника
отметили точки
и
так, что
и
.
Докажите, что отрезок
виден из середины
стороны
под прямым углом. -
Доказать, что вписанный угол, опирающийся на дугу
окружности равен половине центрального
угла, опирающегося на эту дугу.
-
Доказать, что вписанный угол прямой тогда и только тогда когда он опирается на диаметр.
-
Хорды
и
окружности
параллельны. Доказать, что
. -
Найти на плоскости множество точек, из которых данный отрезок виден под углом
.
Постройте это множество с помощью
циркуля и линейки. -
Доказать, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
-
Доказать, что длины двух касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны.
-
Две окружности пересекаются в точках
и
.
Третья окружность с центром в точке
пересекает первую в точках
,
а вторую – в точках
.
Докажите, что углы
и
равны. -
В выпуклом пятиугольнике
все стороны равны, а угол
в два раза больше угла
.
Найти угол
.
Решение.
Отразим
точки
и
относительно
и
,
соответственно, получим равносторонний
треугольник
.
Сумма углов
равна
.
Отсюда,
.
-
Пусть
- вневписанная окружность треугольника
,
касающаяся стороны
в точке
.
Доказать, что
. -
Пусть хорды
и
окружности пересекаются в точке
.
Тогда угол
,
где
и
-
величины дуг окружности, заключенных
между углами
и
.
Напомним, что величиной дуги окружности
называется величина центрального угла
опирающегося на эту дугу. -
Пусть две секущие, проведенные из одной точки
к окружности, пересекают ее в точках
и
,
соответственно. Тогда угол
,
где
и
-
большая и меньшая величины дуг окружности
внутри угла
.
-
Доказать, что угол между касательной к окружности в точке
и хордой
равен половине дуги окружности между
этой касательной и хордой
.
Сформулируйте и докажите также обратное
утверждение. -
Две окружности пересекаются в точках
и
.
Через точку
проведена прямая, пересекающая первую
окружность в точке
,
а вторую – в точке
.
Пусть
и
- середины дуг
и
,
не содержащих точку
,
а
- середина отрезка
.
Докажите, что угол
равен
.
(Можно считать, что точки
и
лежат по разные стороны от точки
. -
Концы пяти параллельных хорд делят окружность на десять дуг. Известно, что для любой из этих дуг соседние с ней дуги равны между собой. Докажите, что сумма длин средней и двух крайних хорд равна сумме двух других хорд.
-
Через вершину
треугольника
и основание биссектрисы угла
проведена окружность
,
пересекающая стороны
и
в точках
и
.
Докажите, что если
,
то
касается
. -
В треугольнике
проведена биссектриса
.
Через точку
к окружности, описанной около треугольника
,
проведена касательная, пересекающая
сторону
в точке
.
Докажите, что прямая
касается окружности, описанной около
треугольника
.