19. Формула Эйлера для вычисления расстояния между центрами вписанной и описанной окружности. [7,8,9]

1. Докажите формулу Эйлера для вычисления расстояния между центрами вписанной и описанной окружности.

2. Четырехугольник вписанный. Докажите, что

   1. центры вписанных окружностей треугольников и образуют прямоугольник;

   2. центры вписанных окружностей треугольников и вневписанных окружностей треугольников и , касающихся сторон и , лежат на одной прямой;

   3. если - радиусы этих вписанных окружностей, то .

20. Точка Торричелли и ее свойства.[3,4,5]

1. Пусть в треугольнике все углы не превосходят . На каждой стороне треугольника во внешнюю сторону строятся равносторонние треугольники и . Доказать, что

   1. ;

   2. четырехугольники являются вписанными;

   3. попарные углы между прямыми равны ;

   4. прямые пересекаются в одной точке ;

   5. ;

   6. для всех точек в плоскости треугольника наименьшая сумма расстояний до вершин достигается в точке .

Точка называется точкой Торричелли треугольника .

2. Для какой точки в плоскости треугольника сумма расстояний до вершин будет наименьшей в случае, если один из углов треугольника больше ?

3. Доказать пункты a)-d) в случае треугольника, у которого угол больше , а также докажите в этом случае следующие пункты:

e) ;

f) для всех точек в плоскости треугольника наименьшая значение величины достигается в точке .

4. Прямую из задачи 1 отразили симметрично относительно . Аналогичную процедуру проделали с прямыми и . Докажите, что отраженные прямые пересекаются в одной точке.

21. Треугольник наименьшего периметра, вписанный в данный треугольник. [3,4,5]

1. Доказать, что среди всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник , наименьший периметр имеет треугольник, вершины которого находятся в основаниях высот. Такой треугольник называется ортоцентрическим треугольником для треугольника .

2. Пусть , - высоты треугольника . Докажите, что треугольник подобен треугольнику . Чему равен коэффициент подобия?

3. Пусть - остроугольный треугольник со сторонами и углами, соответственно, . Доказать, что из отрезков можно составить треугольник.

4. В остроугольном треугольнике проведены высоты . Докажите, что треугольник с вершинами в точках пересечения высот треугольников равен треугольнику .

5. Треугольник , вписанный в треугольник , называется бильярдом, если стороны образуют одинаковые углы с соответствующими сторонами треугольника (угол падения равен углу отражения, если стол - треугольник , а траектория - треугольник ). Доказать, что единственным бильядом для остроугольного треугольника является ортоцентрический треугольник .

6. Существует ли бильярд для тупоугольного треугольника?

7. Существуют ли бильярды с большим числом сторон (не обязательно треугольные) для треугольника ?