-
Вписанный четырехугольник. Критерии вписанного четырехугольника (5 признаков). [7,8,9]
-
Доказать, что четырехугольник
является вписанным тогда и только
тогда, когда выполняется одно из
следующих условий:
-
сумма противоположных углов равна
; -
,
причем точки
и
лежат по одну сторону от прямой
; -
внешний угол четырехугольника равен противоположному углу;
-
Пусть отрезки
и
пересекаются в точке
.
Тогда
; -
Пусть прямые
и
пересекаются в точке
вне отрезков
и
.
Тогда
.
-
В треугольнике
провели высоты
и
.
Доказать, что четырехугольник
- вписанный.
-
Доказать, что точка симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника лежит на описанной окружности этого треугольника.
-
Доказать, что точка симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника лежит на описанной окружности этого треугольника.
-
Из произвольной точки
,
лежащей внутри данного угла с вершиной
,
опущены перпендикуляры
и
на стороны угла. Из точки
опущен перпендикуляр
на отрезок
.
Докажите, что
.
-
В треугольнике
провели биссектрисы
и
,
при этом оказалось, что описанные
окружности треугольников
и
пересекаются второй раз на стороне
.
Чему может равняться угол
?
-
Одна из диагоналей вписанного четырехугольника – диаметр. Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.
-
В треугольнике
и на стороне
взята точка
так, что
.
Биссектриса
пересекает описанную около треугольника
окружность в точке
.
Докажите, что точки
лежат на одной окружности. -
Во вписанном четырехугольнике
точки
- середины сторон
соответственно. Докажите, что ортоцентры
треугольников
лежат в вершинах параллелограмма. -
(Теорема Монжа) Докажите, что прямые, проходящие через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.
-
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника
описана окружность с центром в точке
.
Через середину хорды
и точку
проведена прямая. Она пересекает прямую
в точке
и окружность - в точке
.
Пусть биссектриса угла
пересекает окружность в точке
,
прямые
и
пересекаются
в точке
.
Докажите, что точки
и
лежат на одной окружности. -
П
усть
,
где b < c — длины сторон треугольника
ABC, и AD
— его биссектриса. Известно, что на
сторонах AB и AC (но не в вершинах)
можно выбрать такие точки E и F
соответственно, чтобы выполнялись
условия
и BE = CF.
Найдите длину отрезка BE
(выразите его длину через
).
Ответ.
.
Решение. Заметим, что в треугольниках
и
равны основания BE
= CF, углы при вершинах
и высоты, проведенные к указанным
основаниям. Поэтому треугольники
и
равны. Поскольку
,
то
.
Следовательно, четырехугольник
-
вписанный и
.
Поэтому
.
С другой стороны,
.
Значит,
,
. -
Пусть
- вписанный четырехугольник;
- ортоцентр треугольника
,
- середина отрезка
.
Точки
строятся аналогично. Доказать, что эти
точки совпадают. -
Построить с помощью циркуля и линейки треугольник по центру описанной окружности, ортоцентру и прямой, содержащей одну из сторон.