9. Прямая Симпсона. [7,8,9]

1. Пусть - описанная окружность треугольника , - произвольная точка на , отличная от вершин. Доказать, что проекции точки на прямые, содержащие стороны треугольника, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симпсона треугольника.

2. Точки и лежат на одной прямой, точка - вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников и точка лежат на одной окружности.

10. Теорема Птолемея. [7,8,9,10]

1. Пусть - последовательные стороны вписанного четырехугольника, и - его диагонали. Доказать, что .

2. Пусть - описанная окружность правильного треугольника , - произвольная точка, лежащая на окружности . Доказать, что сумма расстояний от точки до двух ближайших вершин треугольника равна расстоянию от точки до третьей вершины.

3. Равнобедренный треугольник вписан в окружность . На дуге окружности, не содержащей , выбрана точка . Доказать, что величина не зависит от расположения точки .

4. В треугольнике углы и относятся как . Доказать, что стороны треугольника связаны равенством .

11. Теорема Чевы и ее обобщение. Обратная теорема Чевы. [7,8,9]

1. (Теорема Чевы) Точки лежат на сторонах треугольника , соответственно. Докажите, что если прямые пересекаются в одной точке, то .

2. (Обобщение теоремы Чевы) Точки лежат на продолжениях сторон за точки , соответственно; точка лежит на стороне треугольника . Докажите, что прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда .

3. Сформулируйте и докажите теорему, обратную к теореме Чевы.

4. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

5. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

6. Вершины треугольника соединили с соответствующими точками касания вписанной окружности со сторонами. Доказать, что построенные отрезки пересекаются в одной точке. Эта точка обозначается и называется точкой Жергонна.

7. Окружность пересекает стороны треугольника в точках , соответственно. Докажите, что если прямые пересекаются в одной точке, то прямые также пересекаются в одной точке.

12. Теорема Менелая и ее обобщение. Обратная теорема Менелая. [7,8,9]

1. (Теорема Менелая) Точки лежат на сторонах треугольника , соответственно; прямая пересекает продолжение стороны в точке . Докажите, что .

2. (Обобщение теоремы Менелая) Точки лежат на продолжениях сторон (за точки ) треугольника , соответственно; прямая пересекает продолжение стороны в точке . Докажите, что .

3. Сформулируйте и докажите теорему, обратную к теореме Менелая.

7. Докажите, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении , считая от вершины.

8. Прямая пересекает медиану треугольника в середине. В каком отношении точка делит сторону ?

9. Три высоты треугольника пересекаются в точке , которая делит одну из них пополам, а другую в отношении 2:1, считая от вершины. В каком отношении точка делит третью высоту?

10. Пусть точки лежат на сторонах треугольника , причем ; отрезки и пересекаются в точке , отрезки и пересекаются в точке . Найти отношение .