- •Замечательные точки в треугольнике .
- •Средняя линия в треугольнике и ее свойства. Теорема Вариньона. Площади. [7,8,9].
- •Подсчет углов. Вписанный угол. Угол между хордами и секущими к окружности. Угол между касательной и хордой. [7,8,9].
- •Вписанный четырехугольник. Критерии вписанного четырехугольника (5 признаков). [7,8,9]
- •Теорема о касательной и секущей. [7,8,9]
- •Теорема Фалеса с доказательством. Теорема о пропорциональных отрезках. [7,8,9]
- •Лемма Мансиона и ее обобщение. [7,8,9]
- •Окружность Эйлера 9 точек. [7,8,9]
- •Прямая Симпсона. [7,8,9]
- •Теорема Птолемея. [7,8,9,10]
- •Теорема Чевы и ее обобщение. Обратная теорема Чевы. [7,8,9]
- •Теорема Менелая и ее обобщение. Обратная теорема Менелая. [7,8,9]
- •Тригонометрическая форма теоремы Чевы. Изотомическое и изогональное сопряжение. Доказать, что точки и изогонально сопряжены. Точка Лемуана. [7,8,9,12]
- •Гомотетия, свойства гомотетии. Теорема Эйлера о том, что точки лежат на одной прямой, причем . [7,8,9]
- •Вневписанные окружности. Точка Нагеля . Свойства нагелиан. Доказать, что точки и изотомически сопряжены. [7,8,9]
- •Теорема Архимеда о двух касающихся окружностях. Задача Архимеда о ломаной.[5,12]
- •Теорема о прямой Эйлера-Нагеля. Доказать, что , .[5]
- •Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей. Радикальный центр трех окружностей.[4,5,7,8,9]
- •Формула Эйлера для вычисления расстояния между центрами вписанной и описанной окружности. [7,8,9]
- •Точка Торричелли и ее свойства.[3,4,5]
- •Треугольник наименьшего периметра, вписанный в данный треугольник. [3,4,5]
- •Теорема Брианшона. [3,4,5,7,8]
- •Окружность, вписанная в сегмент и ее свойства.[5]
- •Лемма о бабочке.[10, задача 122]
- •Понятие центра масс системы материальных точек. Существование, единственность, группировка с доказательством. Теорема о центроиде четырехугольника.[1,2,5,12]
- •Доказать с помощью понятия центра масс, что медианы (биссектрисы, высоты) пересекаются в одной точке и найти пропорцию, в которой точка пересечения делит соответствующую линию. [1,2,5,12]
- •Понятие барицентрических координат точки относительно треугольника . Найти барицентрические координаты точек: середины , центров вневписанных окружностей. [1,2,5,12]
- •Условие принадлежности одной прямой трех точек с заданными барицентрическими координатами. Уравнение прямой линии в барицентрических координатах. [1,2,5,12]
- •Признак ромба: если радиусы окружностей, вписанных в треугольники, образуемые сторонами и диагоналями четырехугольника, равны, то этот четырехугольник – ромб.
- •Теорема о биссектрисах внешних углов полного четырехугольника.
- •Теорема о трех центрах гомотетий (о трех колпаках).[7]
- •Инверсия относительно окружности. Деление отрезка пополам с помощью одного циркуля. Стереографическая проекция.[7]
- •Полярное соответствие. Свойство взаимности поляр. Двойственность в геометрии. Теорема Паскаля. [7]
- •Векторы и комплексные числа.
- •Разное.
- •Литература по курсу элементарная математика (геометрия)
-
Теорема Брианшона. [3,4,5,7,8]
1. Пусть - описанный шестиугольник. Доказать, что большие диагонали пересекаются в одной точке.
-
Окружность, вписанная в сегмент и ее свойства.[5]
-
Окружность, касающаяся сторон треугольника и в точках и , касается также его описанной окружности (внутренним образом) в точке . Докажите, что
a) середина отрезка совпадает с центром вписанной окружности треугольника ;
-
четырехугольники и являются вписанными;
-
четырехугольники и являются гармоническими, т.е. в каждом из них произведения противоположных сторон равны;
-
прямая проходит через середину (содержащая вершину );
-
прямая проходит через центр гомотетии вписанной и описанной окружности;
-
прямая симметрична прямой , где - точка Нагеля;
-
точка , изогонально сопряженная точке Нагеля, является центром гомотетии вписанной и описанной окружности.
-
Пусть - точки касания вписанной окружности треугольника со сторонами и , соответственно; - середины дуг и (не содержащие вершин треугольника). Доказать, что
-
прямые , прямая, проходящая через параллельно , касательная к описанной окружности треугольника в вершине пересекаются в одной точке ;
-
- вторая касательная к описанной окружности.
-
Доказать, что точка , изогонально сопряженная точке Жергонна, – второй центр гомотетии вписанной и описанной окружности.
-
Лемма о бабочке.[10, задача 122]
1. Через середину произвольной хорды окружности проведены хорды и (точки и лежат по одну сторону от ); пересекает в точке , - в точке . Доказать, что .
-
Понятие центра масс системы материальных точек. Существование, единственность, группировка с доказательством. Теорема о центроиде четырехугольника.[1,2,5,12]
-
Центром масс системы материальных точек называется такая точка , для которой выполняется равенство: . Доказать, что если , то
-
центр масс существует;
-
центр масс – это единственная точка;
-
при группировке части точек, то есть замены их на точку, являющей центром масс этих точек с суммарной массой этих точек, центр масс новой и исходной системы точек остается прежним.
-
Доказать, что точка пересечения средних линий любого четырехугольника делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей.
-
Найти центр масс треугольника, сторонами которого являются однородные стержни.
-
Доказать с помощью понятия центра масс, что медианы (биссектрисы, высоты) пересекаются в одной точке и найти пропорцию, в которой точка пересечения делит соответствующую линию. [1,2,5,12]
-
Доказать с помощью понятия центра масс, что медианы (биссектрисы, высоты) пересекаются в одной точке и найти пропорцию, в которой точка пересечения делит соответствующую линию.