Итак, найдя относительные с.К.О. Коэффициентов матрицы n и определив собственные числа, мы можем оценить ожидаемые относительные с.К.О. Искомых параметров при наиболее неблагоприятном векторе l/

Для квадратной несимметрической и для прямоугольной матрицы M (например, вертикальной матрицы коэффициентов уравнений поправок) характеристикой обусловленности служит , где . Отсюда вывод: обусловленность матрицы коэффициентов нормальных уравнений в sqrt раз хуже обусловленности матрицы коэффициентов уравнений поправок.

Общий вывод : при плохой обусловленности надо решать исходную систему без применения м.н.к. Применять м.н.к. (если пройдет решение) только на последнем приближении решения, когда значения согласующих (уравнивающих) поправок будут существенно меньше значений параметров, найденных из решения. Частный вывод, коэффициенты У.П. надо находить точно. Фотограмметрические уравнения нелинейные. Перед решением их заменяют приближенными линейными. Коэффициенты в них формируются двумя составляющими: непосредственно измеренными x, y, p и q и значениями параметров, а последние вычислены по тем же измерениям с погрешностями из-за нелинейности уравнений и ошибок решения.

Примечание. Так как вычислить _min для больших систем (в триангуляции десятки тысяч неизвестных) сложно, то применяют другие числа обусловленности, вычисляемые по другим нормам более простым способом.

Вывод из анализа. Максимальная точность решения ограничена сверху точностью измерений. Дальнейшая обработка есть отыскание функций измерений. Функции в принципе не может определяться точнее, а при плохой системе уравнений определится намного грубее исходных измерений. Мы видим, что к ошибкам измерений добавляются ошибки коэффициентов системы уравнений и ошибки численного решения системы. Чем лучше система, тем меньше эти добавки, тем менее ухудшится результат.

О качестве системы мы судим по найденным характеристикам. Можно приближенно судить и по внешним признакам системы, по портрету матрицы решения. Но полагать можем не то, что эта система хорошая, а только то, что, возможно, она окажется неплохой. В вашей работе №1 портрет матрицы нормальных уравнений у всех будет один и тот же. Однако обусловленность будет различаться в сотни тысяч раз.

Внешние признаки обусловленности системы:

из двух и более однотипных систем лучше обусловлена та, у которой

определитель больше; абсолютное значение определителя не указывает на качество системы: если определитель близок к нулю, но при этом и свободные члены близки к нулю, то решение устойчиво;

элементы главной диагонали одного знака и превосходят по модулю недиагональные (у нормальных уравнений всегда диагональ, собств. числа и определитель положительны),

на главной диагонали максимальные значения элементов стоят в левом верхнем углу, убывая к правому нижнему,

недиагональные группируются вокруг главной диагонали, чем ближе к ней, тем обусловленность лучше.

удаленные от главной диагонали элементы равны нулю. Определитель такой системы превосходит определитель той, где те же значения размещены по-другому. Относительная ошибка определителя такой системы будет меньше.

Хорошо обусловленная система обладает такими признаками, однако, обратное положение, а именно, наличие таких внешних признаков совсем не означает, что система хорошо обусловлена. Вы в этом убедитесь, выполнив Вашу лабраб 1 и сравнив ее с работой коллеги.

Примечание: Значение определителя или близость его к нулю имеют смысл при сравнении только однотипных систем. В самом деле, изменив единицу измерения мм на см, мы уменьшим численное значение определителя N в 10*10=100 раз, но соответственно уменьшатся и значения свободных членов уравнений. Решение будет то же самое.

Геометрический смысл числа обусловленности H. При рассмотрении многомерного нормального распределения мы нашли, что оси ковариационного эллипсоида определяются собственными значениями ковариационной матрицы, с точностью до постоянного для всех осей коэффициента. Поэтому H показывает отношение большей оси эллипсоида рассеяния вектора к наименьшей оси этого же эллипсоида: его сжатие сплюснутость.

С вероятностной точки зрения это число характеризует коррелированность элементов преобразованного вектора , так как собственные числа суть функции коэффициентов корреляции. Например, для двухмерного вектора

. Отсюда коэффициент корреляции вписать что такое С?

Характеристика ‘Н - число’ наиболее часто используется в практике.