Приложения

Пример 2. 4.09.2004.К понятию нормы. Бывают карты, на которых масштабы по осям х и у различны. Пусть mx > my. Геодезические координаты точки х_g, у_g находим так: x умножаем на свой масштаб и y на свой: . (1) Здесь норма матрицы || Λ ||= mx.

Теперь усложним пример: Определим расстояние на местности между двумя точками. Пусть на этой карте измерено расстояние d. Если бы масштаб карты был одинаков по всем направлениям, то расстояние на местности было бы D=m*d. При разных масштабах расстояние на местности для различных направлений различно. При m_x > m_y оно будет максимально для вектора d, идущего по оси x. Если d идет по другому направлению, то меньше. Найдем его D.

Пусть d идет под углом α относительно оси абсцисс на карте. Введем новую прямоугольную систему координат, ось абсцисс которой совпадает с направлением d. Связь ее с системой xy есть . (2.) Здесь F матрица (оператор) поворота (правого), а r и d – векторы. Определитель F равен единице. Это ортонормированная матрица. Для такой матрицы F^Т = F^-1 . Отсюда обратная зависимость r= F^Т d. (3)

Для точек на местности можем написать зависимости, аналогичные (2),

На местности масштаб по любому направлению есть единица, угол будет другой (правильный, как на одномасштабной карте), поэтому( ниже разобраться). (4)

Итак, имеем D=FR, R= Λ r, r= F^Тd.

Последовательно подставляя, получаем D= F Λ F^Т d. Или D= A d., где A =F Λ F^Т.

Итак, мы показали, что для каждого направления на такой карте будет своя матрица А, но каждая А есть произведение диагональной матрицы и матриц поворота.

Так как Λ диагональная, т.е. симметрическая, а F F^Т =Е, то и матрица А симметрическая.

Распишем элементы А для нашего примера

.

Проверка

Мы рассмотрели двумерный вектор. Аналогично можно взять трехмерный и многомерные векторы и получить соответствующие матрицы. Поэтому любую симметрическую матрицу можем рассматривать как произведение матриц поворота вектора и диагональной матрицы.

Псевдорешение по м. Н. К.

Мы решаем системы линейных уравнений. Каждое уравнение есть в зависимости от числа переменных прямая линия, плоскость, гиперплоскость. Решение системы есть точка пересечения этих прямых линий, плоскостей, гиперплоскостей и т.д. Если это прямые линии, то для получения точки необходимы две прямые. Если это плоскости в пространстве, то – три плоскости: пересечение каждой пары плоскостей даст прямую линию, а пересечение этих двух линий – точку.

Рассмотрим решение на примере двух переменных. Возьмем для простоты и наглядности четыре прямых: две под углами +- 45 градусов и две параллельные осям x и y. Их уравненияприведем к стандартному виду . Уравнений больше, чем неизвестных. Пересечение каждой пары прямых даст свою точку, всего получается шесть точек, шесть корней. (При большем числе уравнений можно подсчитать, что число корней будет (n-1)n/2.): Корни не совпадают. Система несовместна.

Решение по мнк. Здесь находим псевдорешение, т.е. такую точку между этими шестью, что сумма квадратов расстояний от нее до этих точек (названия этой суммы: квадратичная форма, сферическая норма) будет минимальна.

Уравнения поправок : Нормальные уравнения : .

(спектральная норма λ=3, обусловленность cond(N)=1). Решение : . Эта средняя по м.н.к. среди шести точка (14/6, 10/6) смещена относительно среднего арифметического (12/6, 11/6).

А дальше добавить U , ее след, и оценки?

DIXI

Модернизация 07.10.1997.09.09.99, 6.01.01,09.15.03, 2004-15-09, 2006-10-11,04-09-08, 09-09-08…19-09-10.

Следующий ниже текст на любителя.

Анализ решения систем уравнений, возникающих в фотограмметрических задачах.

В фотограмметрической практике мы в абсолютном большинстве случаев выполняем один тип измерений: измеряем плоские прямоугольные координаты различных пятен на плоскости. Физически плоскостью служит бумага, пленка, стекло, экран монитора. Пятна бывают черно-белые, полутоновые (градации серого), цветные постоянного цвета и насыщенности и цветные переменные. Изображение на плоскости строится из пятен произвольной формы и размера, образующих мозаику, (зерно в фотоэмульсии) или пятен однотипных, образующих таблицу, (элементы ПЗС (прибор с зарядовой связью), пикселы сканера (экрана)). Поэтому измеряем как непрерывные, так и дискретные величины.

Все условия получения изображения случайны, как и сам процесс измерений. Поэтому имеем дело со случайными величинами (СВ). Обычно с такими СВ, которые следуют какому-либо закону распределения.

В метрологии классифицируют измерения по различным параметрам. В частности - по их достоверности. Согласно метрологическому подходу одно единственное прямое измерение СВ, как бы тщательно его ни выполняли, не является достоверным. Достоверна только группа измерений одной СВ - выборка. Степень достоверности характеризуется вероятностью (плотностью вероятности) появления данного значения или, что то же самое, - точностью, весом, надежностью. Используют разные понятия, исходя из практических удобств. Так как имеется несколько измерений, то возникают две задачи:

а) найти значение измеряемой величины, б) оценить точность его определения.

Поэтому обработка фотограмметрических измерений есть обработка выборок СВ (наблюдений, измерений) с целью отыскания оценок этих СВ. Обычно отыскивают средние МО, Моду, Медиану (координаты точки), характеристики рассеивания вокруг среднего (точность): СКО, САО, доверительный интервал для одной СВ, эллипс для пары СВ и т.п., характеристики связанности: корреляцию, оценки параметров закона распределения. Применяют различные методы обработки: вероятностные (метод Монте-Карло), детерминированные (повторная обработка дает тот же результат): м.н.к., метод минимакса, минимум модуля, нелинейное программирование. Наиболее широко ввиду простоты применяется м.н.к.- линейный метод. В фотограмметрии он основной. Существуют три варианта использования мнк:

в геодезии - все измеряемые величины связаны между собой условиями, и точно известны начальные значения параметров; поэтому уравнения, описывающие условия, с необходимой точностью можно заменить линейными, из их решения сразу получаем согласованный результат;

в динамических процессах (навигация, сканирование модели, фотограмметрическая обработка в режиме "на линии") - известны начальные значения параметров в предыдущей точке, по измерениям в данной точке вычисляют новые значения параметров, которые служат для принятия решения о дальнейших действиях;

в фотограмметрии статической - все связи нелинейные, начальные значения параметров известны приближенно, линеаризация на первом этапе весьма грубая; поэтому обычно, но не обязательно, а в силу традиции, решают одновременно две задачи:

а) нахождение параметров по нелинейным уравнениям связи методом приближений Ньютона,

б) выполнение условий м.н.к..

В фотограмметрии в отличие от геодезии всегда ищут параметры, (элементы взаимного, внеш-него ориентирования, координаты определяемых точек), а не уравненные значения измеренных величин (координат точек на снимке).

Конечно можно

1) найти линейные связи, что позволит избежать итераций, или

2) применять м.н.к. только на последнем этапе после выполнения всех итераций по методу Ньютона.

В ИТОГЕ любого решения нужно не только найти сами оценки параметров, уравненных значений измеренных величин, но и обязательно оценить их надежность (точность). С этой целью рассмотрим задачи анализа процессов фотограмметрической обработки. На практике вы выполните в лаб.раб. 1 анализ процесса взаимного ориентирования.

Имейте ввиду, что сделанные Вами выводы по результатам будут верны и для внешнего ориентирования одиночного снимка, и для внешнего ориентирования модели, и для фототриангуляции: ибо м.н.к. не связан с физической реальностью, это всего лишь правило согласования результатов, связанных линейными зависимостями, где участвуют лишь две величины: относительное удаление и относительное направление и вес измерения. Так, что уравнивание это есть, как говорили ранее, уравновешивание, где рычаги – удаления измерения от центра равновесия

Ниже Попытка объяснения

Так как линейное, все точки множества измерений можно отнести к некоторой “плоскости”, содержащей все множество значений. По одной оси можно задать произвольный не равный нулю масштаб, например единицу (или максимальное удаление принять равным единице). Другую ось взять нормально к первой и там тоже задать какой-то не нулевой масштаб. Аналогично и следующие оси, если они существуют.

Получим “прямоугольник“, границы его суть максимальные разности координат точек, с узором точек. Так как оси перпендикулярны , то этот узор будет ортогонален. Если масштабы по осям равны единице, то нормирован.

Поступательное передвижение прямоугольника (как твердого тела) не изменит взаимного положения связанных точек, т.е. систематические сдвиги координат влияния на уравнивание не оказывают. Поворот вокруг какой-либо точки не будет изменять взаимного положения в случае, когда масштаб по любому направлению постоянен. Если же масштабы различны, то поворот приведет к изменению взаимного положения точек: расстояний и направлений.

Каждая невязка интерполируется по всему полю на основе взаимного расположения и количества точек, в которых сделаны измерения. Общая часть (среднее арифметическое или среднее весовое из этих невязок) равнозначно общему сдвигу, поэтому оно в распределении на прямоугольнике узора не участвует, т.е. систематическая часть не участвует в уравнивании. Наиболее точное линейное интерполирование выполнится тогда, когда расстояния между точками будут максимальными (что это означает? максимальное расхождение коэффициентов уравнений при каждом из неизвестных Как связать с пространством параметров?)

В качестве единицы измерений для приведения к масштабу есть смысл взять какую-либо единицу рассеяния СКО, САО, и т.п. В этом случае отпадает необходимость учитывать в дальнейшем точность, веса. Если взятая единица известна приближенно, вследствие наблюдений, называемых грубыми, то вся конструкция будет приближенной. Отсюда последующее уравнивание, согласование результатов, будет приближенным.