2. Решение системы рекурсивным разделением на блоки.

Этот метод есть обобщение метода последовательного исключения Гаусса: вместо отдельных неизвестных здесь оперируют с векторами неизвестных и, соответственно, вместо отдельных коэффициентов - с матрицами.

Если на портрете матрицы параллельно главной псевдодиагонали идут нулевые элементы, то для их исключения применяют разбиение на блоки с переменой границ разбиения после каждого преобразования.

Разбивают матрицу порядка на девять блоков, выделяя нулевые блоки, все коэффициенты которых тождественно равны нулю, а вдоль главной диагонали образуют квадратные блоки . Самый верхний левый блок всегда можно выбирать такого размера, кой не затруднит его обращения. Другие диагональные блоки могут быть какого угодно размера, ибо их не надо обращать.

Например, при фототриангулировании можно последовательно по одной точке исключить все точки (определяемые) (3х3), затем элементы внешнего ориентирования каждого снимка (определяемые) (6х6),и т.п. В результате получим ряд равенств для определения этих самых точек и остаточную систему нормальных уравнений, которая будет в сотни и тысячи раз меньше исходной системы уравнений, но без нулевых элементов. Решив ее, обратным ходом находим все предыдущее

Так матрица неособенная, то квадратные блоки будут также неособенными матрицами. Соответственно подразделяется вектор неизвестных и вектор свободных членов . Покажем это подразделение на девять блоков на схеме.

,

где и - размеры блоков и , а блок (соответственно и вследствие симметричности ). Это типичная матрица, возникающая при уравнивании сети фототриангуляции без определения параметров, общих для всей сети. Такая матрица называется ленточной.

Перепишем систему уравнений для наглядности в блочном виде, опуская нулевые блоки (и). С учетом того, что . Блоки, образующие псевдодиагональ, естественно квадратные.

Пусть матрица нулевая (в других блоках тоже много нулей, но их не рассматриваем пока). Перепишем нашу систему для наглядности в алгебраическом виде

Из первого уравнения находим вектор : .

Исключаем этот из второго уравнения .

Получили новую систему без вектора : где

Порядок этой системы - . Эту систему можем заново разделить на блоки размера , и , выделив новый нулевой блок. Соответственно - заново расчленить оставшиеся векторы и .

Делаем новое разделение на блоки для второго шага последовательного исключения нового вектора неизвестных. Выражения получаем, аналогичные первым. Порядок матриц еще уменьшится: .

Оставшуюся систему вновь разбиваем на 9 блоков, например, для исключения второй точки. После исключения этой точки получим новое уравнение для Т₁¹ (координат второй точки): , и так далее...

В результате серии таких шагов, а их количество , если каждый раз будем выбирать одни и то же и , определится из выражения , получим серию внешне подобных матричных равенств

( подсистема А) и оставшуюся после последнего шага систему, аналогичную, порядок которой - .

На этом завершается прямой ход.

Затем осуществляем в векторной форме обратный ход по подсистеме А согласно методу Гаусса. Из находим вектор. Подставляя в последнее из уравнений А, находим . Из вектора вычисляем , и находим и т.д.

Преимущество метода состоит в расчленении общего решения на серию частных решений систем, порядок которых во много раз ниже порядка исходной системы. Причем систему можно преобразовать так, что достаточно решать только не проводя обратного хода. Например, из серии приближений последовательно находить поправки к параметрам, а согласующие поправки к координатам точек найти на последнем этапе.

3. Решение систем рекуррентным способом. В фотограмметрии (аналитической и цифровой) в ряде случаев идет динамический процесс измерений: измерение- обработка- анализ- решение (принять, отвергнуть, отвергнуть другое, перейти к следующему измерению), измерение- обработка- анализ- решение и т. д ....

Например, автоматическое взаимное ориентирование, фототриангуляция, проведение горизонтали или отслеживание контура. Для оптимизации решения применяется м.н.к. Но после каждого измерения необходимо дважды составлять и решать систему нормальных уравнений. Так как расстояния между точками могут составлять всего несколько микрометров, то такой пересчет делается практически непрерывно. Для удобства работы необходимо, чтобы оператор работал, не ожидая результата пересчета, требующего затрат времени ЭВМ, которая к тому же задействована на отображение графики на экране, на управление прибором, на обслуживание системы CAD и т.п.

Поэтому применяют методы добавления (исключения) отдельного измерения из готового решения.

Система коэффициентов нормальных уравнений есть сумма произведений, где F - градиент – строка матрицы уравнений поправок. Такой квадратный слайд можно получать для каждой i-ой точки непосредственно после ее измерения.

Задача в том, чтобы по этому измерению сразу же дополнить обратную матрицу его коэффициентами, не повторяя заново все вычисления по м.н.к..

Получив эту обновленную матрицу, вычисляют новые невязки. По значениям невязок определяют последующее действие оператора или программы. (Какое измерение принять, какое отвергнуть или, куда идти дальше для следующего измерения, например, при проведения горизонтали.)

Рассмотрим схему решения (А.А.Костылев, П.В.Миляев и др. Статистическая обработка результатов измерений на микро-ЭВМ и 1991. - 300 с. стр.182).Пусть перед i-м измерением получена обратная матрица . Тогда существующее (i-1) -ое решение будет .

По каждому новому i-у измерению получаем новый градиент (строку коэффициентов уравнений поправок)

. Используя его, получаем новую обратную матрицу , где р - вес i-го измерения, вектор G=FM. Так как - есть числовая форма, то матрицу (слайд) G^т G можно делить на это число. (Примечание: форма верна с точностью до постоянного коэффициента).

Получаем новое решение _, где , , т.е. дописана i-ая строка в уравнения поправок. Соответственно можно найти и. По этой «поправке» (и по другим, ибо, как вы увидите в лаб. раб.1, добавление нового измерения изменяет все «поправки», это, кстати, наглядно показывает, что «поправки» и ошибки измерений – вещи разные) можно принять решение о дальнейших действиях.

Примечание: в указанном источнике , т.е. без коэффициента р.