Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный педагогический университет»

Толстопятов В.П.

ГЕОМЕТРИЯ

Курс лекций 1 семестр

Учебное пособие

Екатеринбург

2012

Геометрия. Курс лекций 1 семестр/ Учебное пособие / Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург, 2012. – 60 с.

Толстопятов В.П., к.ф.-м.н., профессор кафедры геометрии УрГПУ

Уральский государственный

педагогический университет, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Раздел I. Элементы векторной алгебры 4

Раздел II. Аналитическая планиметрия 18

Литература 47

Раздел I. Элементы векторной алгебры

Лекция 1. Свободный вектор. Линейные операции над свободными векторами

§1. Направленные отрезки

Рассматриваем геометрическое пространство, которое изучалось в школьном курсе геометрии.

О п р е д е л е н и е. Отрезок называется направленным, если указан порядок его концов. Обозначение: .

О п р е д е л е н и е. Направленные отрезки иназываютсясонаправленными (противоположно направленными), если лучи исонаправлены (противоположно направлены).

О п р е д е л е н и е. Направленные отрезки иназываютсяпротивоположными.

О п р е д е л е н и е. Пару совпавших точек будем называть нулевым направленным отрезком.

О п р е д е л е н и е. Длиной направленного отрезка назовем длину отрезка.

§2. Свободный вектор

О п р е д е л е н и е .Свободным вектором называется множество всех сонаправленных отрезков одинаковой длины.

Если направленный отрезок принадлежит вектору, то говорят, что–представитель вектора . Чтобы задать свободный вектор, достаточно указать какой-либо его представитель, поэтому записывают.

Запись означает, что направленные отрезкииимеют одинаковую длину и сонаправлены.

Все нулевые направленные отрезки образуют нулевой вектор .

О п р е д е л е н и е. Длиной свободного вектора называется длина любого его представителя.

Из определения свободного вектора вытекают следующие два свойства:

(упорядоченная пара точек однозначно определяет вектор);

(от каждой точки можно отложить вектор).

У п р а ж н е н и е. Доказать свойство .

О п р е д е л е н и е. Вектор параллелен прямой , если его представители параллельны прямойили лежат на этой прямой. Нулевой вектор считается параллельным любой прямой.

О п р е д е л е н и е. Векторы иназываютсяколлинеарными (), если они параллельны одной прямой.

О п р е д е л е н и е. Пусть . Если представители этих векторов сонаправлены (противоположно направлены), то ивекторы сонаправлены (противоположно направлены): ,.

Очевидно, два вектора равны тогда и только тогда, когда они сонаправлены и их длины равны.

О п р е д е л е н и е. Противоположно направленные векторы иодинаковой длины называютсяпротивоположными векторами. Записывают .

О п р е д е л е н и е. Три вектора ,,называютсякомпланарными, если их представители лежат в одной плоскости или параллельны этой плоскости.

Очевидно, что если два из трех векторов коллинеарны, то эти три вектора компланарны.

§3. Сложение и вычитание свободных векторов

О п р е д е л е н и е. Сумма свободных векторов иопределяется по «правилу треугольника». Отложим от точкивектор, равный вектору. От точкиотложим вектор, равный вектору. Векторназовем суммой векторови.

Из определения суммы векторов следует свойство:

(аксиома треугольника).

У п р а ж н е н и е. Доказать теорему о независимости суммы свободных векторов от выбора начальной точки.

У п р а ж н е н и е. Доказать законы сложения векторов:

1. (переместительный закон или коммутативность);

2. (сочетательный закон или ассоциативность);

3. ;

4. .

О п р е д е л е н и е. Разностью свободных векторов иназывается такой вектор, что.

Прибавив к обеим частям равенства вектор, получим. Таким образом, чтобы вычесть из векторавектор, нужно кприбавить вектор, противоположный вектору.

Полезно запомнить, что если два вектора отложены от одной точки, то вектор, соединяющий их концы, является разностью этих векторов. Причем из того вектора, где сходятся две стрелочки, вычитают второй вектор: .

§4. Умножение свободного вектора на число

О п р е д е л е н и е. Произведением свободного вектора на действительное число называется свободный вектор, длина которого равна произведению модуля числана длину вектора, и этот вектор сонаправлен с вектором, если числонеотрицательное, и противоположно направлен, если числоотрицательное.

У п р а ж н е н и е. Доказать законы умножения вектора на число:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

У п р а ж н е н и е. Доказать условие коллинеарности двух векторов:

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они отличаются друг от друга числовым множителем.

О п р е д е л е н и е. Выражение называютлинейной комбинацией векторов .

Ясно, что результатом линейной комбинации векторов является вектор.

Доказанные законы сложения векторов и умножения вектора на число, позволяют применять к линейным комбинациям векторов все правила преобразований, установленные в алгебре для многочленов первой степени. Можно приводить подобные; раскрывать скобки; выносить за скобку; переносить с противоположным знаком из одной части равенства в другую; умножать обе части равенства на одно и то же число.