Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный педагогический университет»

Толстопятов В.П.

ГЕОМЕТРИЯ

Курс лекций 3 семестр

Учебное пособие

Екатеринбург

2012

Геометрия. Курс лекций 3 семестр / Учебное пособие / Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург, 2012. – 77 с.

Толстопятов В.П., к.ф.-м.н., профессор кафедры геометрии УрГПУ

.

Уральский государственный

педагогический университет, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Раздел V. Многомерные пространства 4

Раздел VI. Проективная геометрия 13

Раздел VII. Топология 48

Литература 62

Раздел V. Многомерные пространства

Лекция 1.-мерное аффинное (точечное) пространство.-плоскости и их взаимное расположение

§1. Воспоминания о будущем

В математике новые идеи рождаются и развиваются, прежде всего, под влиянием требований, предъявляемых к ней другими науками, техникой.

Другим двигателем развития математики является её внутренняя логика, например, обобщение уже известных идей.

Вспомним, что рассматривая геометрическое пространство , мы определили свободный вектор как множество всех сонаправленных отрезков одинаковой длины.

Множество всех свободных векторов геометрического пространства является трехмерным векторным пространством.

Для того, чтобы задать свободный вектор, достаточно указать его представитель – направленный отрезок, а значит, задать упорядоченную пару точек. Таким образом, имеем отображение .

При этом было показано, что любой вектор можно отложить от данной точки, то есть для любой точки и любого векторасуществует единственная точкатакая, что.

Для свободных векторов было определено сложение по правилу треугольника. Таким образом, для любых трех точек имеет место векторное равенство.

Обобщая эти наблюдения можно дать аксиоматическое определение -мерного аффинного пространства.

§2. -Мерное аффинное пространство

Пусть –-мерное векторное пространство над полемдействительных чисел. (Повторите аксиоматическое определение-мерного векторного пространства, модели векторных пространств).

О п р е д е л е н и е. Непустое множество называетсяаффинным -мерным пространством, если задано отображение (будем обозначать), удовлетворяющее аксиомам Вейля:

.

.

Элементы множества будем называтьточками.

Векторное пространство называетсяпространством переносов аффинного пространства.

Примеры (модели) аффинных пространств:

1. Из предыдущего параграфа следует, что прямая, плоскость, пространство, рассматриваемые в школьном курсе геометрии, являются примерами соответственно одномерного, двумерного и трехмерного аффинного пространства.

2. Пусть –-мерное векторное пространство над полемдействительных чисел. И пусть. Определим отображениепо следующему правилу:. Несложно проверить выполнение аксиом Вейля.

EMBED Equation.DSMT4 .

3. Арифметическая модель аффинного -мерного пространства.

Возьмем и(точки и векторы – упорядоченные наборы издействительных чисел). Определим отображениепо следующему правилу:

.

Аналогично предыдущему примеру несложно проверить выполнение аксиом Вейля.

§3. Аффинная система координат

По аналогии с трехмерным геометрическим пространством определим аффинную систему координат в -мерном аффинном пространствес пространством переносовкак точку и базис:.

Координатами точки назовем координаты её радиус-вектора: .

Очевидно, если , то.

§4. -Мерные плоскости

Пусть –-мерное подпространство-мерного векторного пространства.

Напомним, что подмножество векторного пространстваявляетсявекторным подпространством тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1. ;

2. .

Приведите примеры векторных пространств и их подпространств.

О п р е д е л е н и е. -мерной плоскостью с направляющим подпространством, проходящей через точку, называется множество всех точек аффинного пространства таких, что вектор принадлежит пространству:

.

Примеры -плоскостей:

1. –нульмерное векторное пространство.

–каждая точка – нульмерная плоскость.

2. –одномерное векторное пространство.

–прямая.

3. Максимальная размерность подпространства -мерного векторного пространства может быть.

-мерная плоскость называется гиперплоскостью.

Так в геометрическом пространстве, рассматриваемом в школьном курсе геометрии, плоскости играют роль гиперплоскостей, прямые – роль одномерных плоскостей.

Отметим свойства -плоскостей

1. Если , то. Таким образом, если две-плоскости имеют общую точку и обющее направляющее подпространство, то они совпадают.

2. Для любых точек -плоскостивекторпринадлежит.

3. -мерная плоскость является-мерным аффинным пространством с пространством переносов.

4. Точки аффинного пространства называютсяточками общего положения, если векторы образуют линейно независимую систему.

Имеет место обобщение известных аксиом школьного курса геометрии о прямой и плоскости

Для любых точек общего положения () существует единственная-мерная плоскость, проходящая через эти точки.