Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный педагогический университет»

Толстопятов В.П.

ГЕОМЕТРИЯ

Курс лекций 2 семестр

Учебное пособие

Екатеринбург

2012

Геометрия. Курс лекций / Учебное пособие / Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург, 2012. – 47 с.

Толстопятов В.П., к.ф.-м.н., профессор кафедры геометрии УрГПУ

.

Уральский государственный

педагогический университет, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Раздел III. Аналитическая стереометрия 4

Раздел IV. Геометрические преобразования плоскости и пространства 21

Литература 40

Раздел III. Аналитическая стереометрия

Лекция 1. Плоскость в пространстве как поверхность первого порядка. Задание полупространства. Расстояние от точки до плоскости

§1. Аффинная система координат в пространстве

О п р е д е л е н и е. Аффинной системой координат в пространстве (аффинным репером) называется точка и три некомпланарных вектора: .

Прямые ,,, определяемые точкойи векторами,,называются соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.

Частным случаем аффинной системы координат является прямоугольная система координат , определяемая точкойи ортогональными ортами.

О п р е д е л е н и е. Вектор называетсярадиус-вектором точки .

О п р е д е л е н и е. Координатами точки называются координаты её радиус-вектора:

.

У п р а ж н е н и е. Построить точку по координатам в заданном аффинном репере в пространстве.

Аналогично тому, как это делалось на плоскости, с помощью координат решаются простейшие задачи

1. Определение координат вектора по координатам начала и конца в аффинной системе координат.

2. Определение координат точки по заданному простому отношению трех точек прямой и координатам двух из них в аффинной системе координат.

3. Вычисление расстояния между точками по координатам относительно прямоугольной системы координат .

Задавая в пространстве аффинную систему координат, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между точками и упорядоченными тройками действительных чисел. Это позволяет находить условие, определяющее геометрическую фигуру.

Под условием, определяющим геометрическую фигуру, понимаем упорядоченные тройки действительных чисел, уравнения, неравенства или их системы, которым удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей фигуре, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих фигуре.

Тогда геометрическую задачу можно перевести на язык алгебры, решить методами алгебры и полученный результат интерпретировать геометрически.

§2. Уравнение плоскости

Через данную точку проходит единственная плоскость, параллельная двум данным неколлинеарным векторами.

Пусть в пространстве задан аффинный репер и,. Точкапринадлежит плоскоститогда и только тогда, когда векторыкомпланарны, то есть векторможно выразить через векторыи:

.

Переходя к координатам, найдем уравнения, которым должны удовлетворять координаты точки, принадлежащей плоскости:

–параметрические уравнения плоскости.

Условием компланарности векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:

–общее уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости приводится к виду

, где .

Пусть плоскость пересекает все три оси координат в точках. Имеем два неколлинеарных вектораи, параллельных плоскости. Тогда получаем уравнение плоскости

или –уравнение плоскости в отрезках.

Через данную точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данному ненулевому вектору. Вектор, как и любой другой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называетсянормальным вектором плоскости.

Точка принадлежит плоскоститогда и только тогда, когда векторыиортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю. Чтобы выразить условие ортогональности векторов через координаты, необходим ортонормированный базис, а значит, в пространстве должна быть задана прямоугольная система координат. Пусть,. Выразив условие ортогональности векторовичерез координаты, получим уравнение плоскости:.

Выводы:

1. Чтобы составить уравнение плоскости, надо знать точку и два неколлинеарных вектора, параллельных этой плоскости, либо точку и нормальный вектор.

2. Уравнение плоскости приводится к виду , где–общее уравнение плоскости, то есть плоскость является алгебраической поверхностью первого порядка.

Т е о р е м а. Любая алгебраическая поверхность первого порядка является плоскостью.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для алгебраической поверхности первого порядка существует аффинная система координат, относительно которой поверхность задается уравнением , где.

Пусть . Приведя уравнение поверхности к виду, получим равносильное уравнение

.

Это есть уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторами.

§3. Условие параллельности плоскости и вектора

Относительно аффинной системы координат плоскостьзадана уравнением. Найдем условие параллельности вектораплоскости.

От точки , принадлежащей плоскости, отложим вектор. Точкабудет иметь координаты

.

Вектор параллелен плоскоститогда и только тогда, когда точкалежит в плоскости, то есть

.

Подставляя координаты точки и учитывая, что, получим условие параллельности вектора и плоскости:

. (*)

Очевидно, вектор не параллелен плоскости. Если система координат прямоугольная, то из условия  (*) следует, что векторортогонален любому вектору, параллельному плоскости, то есть является нормальным вектором этой плоскости.

§4. Взаимное расположение двух плоскостей

Относительно аффинной системы координат в пространстве две плоскости заданы своими уравнениями:

.

Пусть в уравнении . Тогда определяются точка, принадлежащая плоскости, и два вектораи, параллельные этой плоскости.

Плоскости исовпадают тогда и только тогда, когда векторыипараллельны плоскостии точкапринадлежит этой плоскости:

–коэффициенты и свободные члены в общих уравнениях плоскостей пропорциональны.

Плоскости ипараллельны тогда и только тогда, когда векторыипараллельны плоскостии точкане принадлежит этой плоскости:

–в общих уравнениях плоскостей коэффициенты пропорциональны и не пропорциональны свободным членам.

Плоскости ипересекаются тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторовине параллелен плоскости, то есть имеет место хотя бы одно из неравенствили, а значит, в общих уравнениях плоскостей коэффициенты не пропорциональны.