5.2 Толқындық теңдеу

Толқынның теңдеуі уақыт пен кеңістіктікке тәуелді функция болып табылады. осі бойымен ауытқулар таралғанда, орта бөлшегінің тепе-теңдіктенығысуыкоордината менуақыттың функциясы болып есептеледі, яғни.

Егер тербеліс көзі жазықтығында жататын нүктелердің тербелісі функциясымен сипатталса, онда тербеліс көзінен қандай да бірқашықтықта орналасқан бөлшектерге тербелісуақытқа кешігеді, мұндағы- толқынның таралу жылдамдығы.қашықтықта орналасқан орта бөлшектерінің тербеліс теңдеуі

.

Толқындарды сипаттау үшін толқындық сан қолданылады

. (5.1)

Толқындық сан ұзындығы тең кесіндіге қанша толқын ұзындығы сәйкес келетінін көрсетеді.

Ендеше

, (5.2)

мұндағы - толқынның бастапқы фазасы;

- жазық толқынның фазасы.

(5.2) теңдеуі – осінің бойымен таралатын жазық толқынның теңдеуі.

Толқын фронтына перпендикуляр бағытталған бірлік вектормен сипатталатын кез келген бағытта жазық толқын таралғандатолқындық вектор енгізеді

.

Бұл жағдайда жазық толқынның теңдеуі келесі түрде жазылады:

,

мұндағы .

5.3 Толқындық теңдеу

Материялық нүктенің барлық мүмкін болатын қозғалыстарын сипаттайтын динамиканың негізгі теңдеуі сияқты толқындық процестер үшін де толқынның түріне тәуелсіз теңдеулер бар. Бұл теңдеулер - толқынды сипаттайтын, кеңістік пен уақыттағы функцияның өзгерісін байланыстыратын дербес туынды түріндегі дифференциалдық теңдеулер.

Оларды толқындық теңдеулер деп атайды. Толқындық теңдеуді алу үшін (5.2) теңдеуді алдымен уақыт бойынша, сосын х бойынша екі рет дифференциал аламыз. Нәтижесінде

, .

Бірінші теңдеуді екінші теңдеуге қойып, х осі бойымен жазық толқынның теңдеуін аламыз:

. (5.3)

(5.2) жазық толқынның теңдеуі (5.3) толқындық теңдеудің шешімі болып табылады.

Жалпы жағдайда, ығысу төрт айнымалының функциясы болып табылады және ол келесі түрде жазылады

, (5.4)

мұндағы

.

5.4 Толқынның энергиясы. Умов векторы

Кеңістікте энергия тасымалдайтын толқындар қума толқындар деп аталады. Толқын таралатын серпімді орта бөлшектердің тербелмелі қозғалысының кинетикалық энергиясына және ортаның деформациясынан пайда болатын потенциалдық энергияға ие болады.

Барлық нүктелерде қозғалыс жылдамдығы және деформациясын бірдей (және) деп есептеуге болатын және сәйкесінше х осі бойынша таралатын толқын үшін болатыназ көлемді ойша белгілеп аламыз.

Белгіленген көлем кинетикалық энергияға ие, мұндағы-көлемдегі заттың массасы,.

Теңдеуге , мәнін қойып, келесі өрнекті аламыз

.

Қарастырылып отырған көлем потенциалдық энергияға ие

,

мұндағы - Юнг модулі;

- салыстырмалы ұзару немесе сығылу. Қума толқындардың жылдамдығы менекенін ескерсек, потенциалдық энергияның өрнегін аламыз

.

Толық энергия менқосындысына тең

. (5.5)

Осы энергияны көлемге бөлсек, энергия тығыздығын аламыз

.

Сонымен ортаның әрбір нүктесінде энергияның орташа тығыздығы

. (5.6)

Қандай да бір бет арқылы бірлік уақытта толқын тасымалдайтын энергия осы бет арқылы өтетінэнергия ағыны деп аталады:

.

Беттің әртүрлі нүктесінде энергия ағыны әртүрлі болуы мүмкін, сондықтан энергия ағынының тығыздығы деген ұғым енгізіледі. Бұл энергия тасымалының бағытына перпендикуляр бағытталған бірлік аудан арқылы өтетін энергия ағыны:

. (5.7)

Гармоникалық толқындар үшін толқынның энергия тасымалының жылдамдығы фазалық

5.1 cурет жылдамдыққа тең . Табанының ауданыжәне

ұзындығы тең қиық цилиндр ішінде жинақталған энергия(5.1 суретті қара)

.

Бұл формуланы (5.7)-ге қойып, энергия ағынының тығыздығы үшін формуланы аламыз: .

Ағынның тығыздығын және оның бағытын анықтау үшін Умов векторын енгізеді:

, (5.8)

мұндағы - модулі толқынның фазалық жылдамдығына тең берілген нүктеде толқынға нормаль жылдамдық векторы.

Энергия ағынының тығыздығының уақыт бойынша орташа мәні толқынның қарқындылығы деп аталады:

.