Тема 6. Средние величины и показатели вариации

Вопросы:

1. Сущность средних величин и их виды.

2. Структурные средние.

3. Показатели вариации.

Литература:основная [10], дополнительная [20, 23], информационные источники [29].

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте понятие и сущность статистической средней. Приведите пример.

2. Перечислите основные свойства средней величины.

3. Раскройте методику расчёта средней арифметической простой и взвешенной. В чем заключается отличие расчёта средней арифметической простой и взвешенной.

4. Раскройте методику расчёта средней гармонической простой и взвешенной.

5. Раскройте методику расчёта средней рядов динамики: средней геометрической и средней хронологической.

6. Дайте понятие структурных средних: моды и медианы. Какова область их применения.

7. Какова сущность и значение вариации?

8. Перечислите абсолютные показатели вариации. Раскройте их сущность.

9. Дайте понятие размаха вариации. Опишите методику расчёта размаха вариации.

10. Опишите методику расчёта среднего линейного отклонения.

11. Что представляет собой среднее квадратическое отклонение? Опишите методику расчёта среднего квадратического отклонения.

12. Что представляет собой дисперсия? Раскройте порядок её вычисления.

13. Перечислите относительные показатели вариации.

14. Раскройте сущность коэффициента вариации. Запишите формулу коэффициента вариации.

Задачи и практические задания

Задание 1.Имеются следующие данные о выработке станков:

Дни недели	Выработка за день, тыс.р.
	1-ый станок	2-ой станок
Понедельник	19	16
Вторник	20	18
Среда	14	17
Четверг	18	13
Пятница	16	8
Суббота	11	12
Воскресенье	15	18

Требуется:

1. По представленным данным рассчитать выработку станков в среднем за неделю.

2. Сформулировать выводы.

Задание 2.Распределение выработки двух станков составило:

Количество дней работы за месяц	Выработка за день, тыс.р.
	1-ый станок	2-ой станок
5	14	12
10	24	22
6	30	26

Требуется:

1. Определить выработку станков в среднем за месяц.

2. Сформулировать выводы.

Задание 3.Распределение рабочих предприятия по стажу работы составило:

Стаж работы, лет	Число рабочих, чел.
Менее 1	50
1 – 3	98
3 – 5	112
5 – 10	140
10 – 20	85
20 и более	15

Требуется:

1. Дать обобщённую характеристику стажа работы работников этого предприятия.

2. Сформулировать выводы.

Задание 4.В цехе завода работало четыре бригады. Имеются следующие данные по каждой бригаде:

Номер бригады	Уровень заработной платы в среднем на 1 работника бригады, тыс.р.	Фонд заработной платы, тыс.р.
1	15,1	151,0
2	13,6	122,4
3	11,8	141,6
4	10,5	147,0

Требуется:

1. Рассчитать размер заработной платы рабочих цеха в среднем на одного человека.

2. Сформулировать выводы.

Задание 5.Имеются следующие данные о распределении рабочих организации по уровню месячной заработной платы:

Месячная заработная плата, р.	Число рабочих, чел.
9400 – 9500	10
9500 – 9600	20
9600 – 9700	48
9700 – 9800	60
9800 – 9900	42
9900 – 10000	20
10000 - 10100	8

Требуется:

1. Рассчитать среднемесячную заработную плату одного рабочего, предварительно уменьшив до предела варианты (т.е. способом моментов).

2. Сформулировать выводы.

Задание 6. Имеются данные о числе родившихся детей за последние 6 лет в Тюменской области:

Показатель	20__ г.	20__ г.	20__ г.	20__ г.	20__ г.	20__ г.
Число родившихся (живыми), чел.	10146	9959	10672	10357	10723	10218

Требуется:

1. Рассчитать число родившихся в среднем за 6 лет.

2. Сформулировать выводы.

Задание 7.Распределение рабочих по процентам выполнения норм выработки составило:

Процент выполнения норм выработки, %	Число рабочих, чел.
До 99,9	21
100,0 – 104,9	59
105,0 – 109,9	112
110,0 – 114,9	48
115,0 и более	10

Требуется:

1. Рассчитать структурные средние процента выполнения норм выработки рабочими цеха. 2. Сформулировать выводы.

Задание 8. Имеются данные о возрасте студентов в группе из 25 человек.

Данные о возрасте студентов в группе из 25 человек

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
Возраст	17	19	21	21	17	21	18	17	20	19	18	18	17	21	22	18	17	19	19	22	21	18	19	18	18

Требуется:

1. Рассчитать средний возраст студентов, используя для расчёта формулу средней арифметической простой и средней арифметической взвешенной.

2. Сформулировать выводы.

Задание 9. Имеется информация о численности студентов ВУЗов города и удельном весе (%) обучающихся студентов на коммерческой основе:

ВУЗы города	Общее число студентов (тыс. чел.)	Из них удельный вес (%), обучающихся на коммерческой основе.
УГТУ—УПИ	15	15
УрГЭУ	3	10
УрГЮА	7	20

Требуется:

1. Определить средний удельный вес студентов.

Задание 10.Имеются данные по 2-м заводам, вырабатывающим одноименную продукцию:

Завод	Предыдущий год.		Текущий год
	Затраты времени на единицу продукции, час	Изготовлено продукции, тыс. шт.	Затраты времени на единицу продукции, час	Затраты времени на всю продукцию, час
1	2	2	1,8	3960
2	2,2	3	2	6400

Требуется:

1. Определить для каждого года отдельно средние затраты времени на единицу продукции по двум заводам вместе.

Задание11.Имеются данные о валовом сборе и урожайности с/х культуры «А» по районам области.

Валовой сбор и урожайность с/х культуры «А» по районам области

Район	Валовой сбор, тыс. т.	Урожайность, ц/га
А	45	9
Б	43	15
В	34	16
Г	76	9

Требуется:

1. Рассчитать среднюю гармоническую взвешенную.

2. Сформулировать выводы.

Задание 12.Имеются данные об урожайности с/х культур.

Урожайность с/х культур

Культура	Предприятие 1		Предприятие 2
	Валовой сбор, ц	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га	Урожайность, ц/га
1. Пшеница озимая	33478	26	1570	23
2. Рожь	1780	19	135	20
3. Ячмень	14567	23	487	19
4. Просо	1456	16	82	15
Итого:		-		-

Требуется:

1. Рассчитать среднюю гармоническую взвешенную и невзвешенную.

2. Сформулировать выводы.

Задание 13.Имеются следующие данные о производительности труда рабочих бригады:

Табельный номер рабочего	Произведено продукции за смену, шт.
1	8
2	9
3	10
4	11
5	12

Требуется:

1. Рассчитать основные обобщающие показатели вариации производительности труда рабочих бригады.

2. Сформулировать выводы.

Задание 14.Имеются следующие данные о поголовье коров и суточном удое молока в сельскохозяйственной организации:

Суточный удой молока, кг	Число коров, гол.
12	14
15	26
16	40
17	32
20	8

Требуется:

1. Рассчитать основные обобщающие показатели вариации среднесуточного удоя молока у коров.

2. Сформулировать выводы.

Задание 15.Имеются следующие данные о распределении посевной площади сельскохозяйственной организации по урожайности пшеницы:

Урожайность пшеницы, ц с 1 га	Посевная площадь, га
14 – 16	100
16 – 18	300
18 – 20	400
20 – 22	200

Требуется:

1. Рассчитать основные обобщающие показатели вариации урожайности пшеницы.

2. Сформулировать выводы.

Задание 16.

Требуется:

1. По данным задания 3 рассчитать дисперсию способом моментов.

2. Сформулировать выводы.

Задание 17.Имеются следующие данные по группам рабочих с разным стажем работы:

Стаж работы, лет	Число рабочих, чел.	Средняя заработная плата по каждой группе, р.	Среднее квадратическое отклонение, р.
До 3	10	5500	910
3 – 10	25	7600	1200
10 и более	15	9700	1620

Требуется:

1. Определить среднюю заработную плату для всей совокупности рабочих, общую дисперсию и среднее квадратическое отклонение зарплаты.

2. Сформулировать выводы.

Задание 18. Имеются следующие данные дискретного ряда распределения:

Группы сотрудников по стажу работы, лет (х)	Число сотрудников (f)	х i fi	х i -		fi
А	1	2	3	4	5
7	15
8	19
9	31
10	23
11	12
Итого:	100

Требуется:

1. На основе данных дискретного ряда распределения рассчитать размах вариации и среднее линейное отклонение.

2. Сформулировать выводы.

Задание 19.Имеются данные о распределении студентов одного из факультетов по возрасту:

Группы студентов по возрасту лет (х)	Число студентов (f)	х i fi	(х i -)	(х i -)^2	(х i -)^2fi
А	1	2	3	4	5
15	30
16	70
17	80
18	100
19	120
20	150
21	100
22	70
Итого	720

Требуется:

1. Рассчитать среднее квадратическое отклонения по данным дискретного ряда распределения студентов одного из факультетов по возрасту.

2. Сформулировать выводы.

Задание20.Имеются данные, характеризующие производительность труда двух рабочих:

1-я бригада				2-я бригада
№ рабочего	изготовлено деталей за час, шт., х i	х i	(х i -)^2	№ рабочего	изготовлено деталей за час, шт, х i	х i	(х i -)^2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	10			7	19
2	13			8	16
3	14			9	20
4	17			10	21
5	16			11	22
6	17			12	24
Итого	87			Итого	122

Требуется:

1. Рассчитать групповые дисперсии, среднюю из групповых дисперсий, межгупповую и общие дисперсии по данным таблицы.

2. Сформулировать выводы.

Задание 21. При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты:

Размер месячного вклада, рубли	Число вкладчиков
	Банк с рекламой	Банк без рекламы
До 500	-----		3
500-520	-----		4
520-540	-----		17
540-560	11		15
560-580	13		6
580-600	18		5
600-620	6		-----
620-640	2		-----
Итого	50		50

Требуется:

1. Определить:

- для каждого банка: а) средний размер вклада за месяц; б) дисперсию вклада;

- средний размер вклада за месяц для двух банков вместе;

- дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы;

- дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы;

- общую дисперсию используя правило сложения;

- коэффициент детерминации;

- корреляционное отношение.

2. Сформулировать выводы.

Задание 22. Имеются следующие данные о расходах граждан в январе условного года:

Вид поселения	Количество обследованных хозяйств	Среднедушевой расход, денежных единиц, за месяц	Дисперсия расходов
Город	36	120	324
Село	64	50	196

Требуется:

1. Определить: 1) среднедушевой расход городских и сельских жителей; 2) дисперсии душевого расхода: среднюю из групповых, межгрупповую, общую; 3) зависимость расходов от места жительства, исчислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

2. Сформулировать выводы.

Тестовые задания

1. Для расчёта средней величины по несгруппированным данным в случае возможности их прямого суммирования следует применять формулу:

а) арифметической простой;

б) арифметической взвешенной;

в) гармонической простой;

г) гармонической взвешенной.

2. Наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности называется…

1. частостью;

2. медианой;

3. модой;

4. вариацией.

3. Варианта, делящая ряд ранжированных значений на две равные части, называется…

1. вариацией;

2. модой;

3. медианой;

4. частостью.

4. Средняя арифметическая взвешенная величина определяется по формуле:

1. ;

2. ;

3. .

5. К структурным средним величинам относится …

1. геометрическая;

2. медиана;

3. хронологическая;

4. квадратическая.

6. Чем отличается формула для расчёта средней арифметической простой величины от средней арифметической взвешенной?

1. объёмом включаемых значений признака;

2. показателем времени;

3. отсутствием частот (повторяемостью признака).

7. Размахом вариации называется _______ максимального и минимального значений признака.

1. частное от деления;

2. сумма;

3. произведение;

4. разность.

9. Если все варианты значений признака уменьшить в 3 раза, то дисперсия…

1. уменьшится в 9 раз;

2. не изменится;

3. увеличится в 3 раза;

4. уменьшиться в 3 раза.

10. Показателем, характеризующим тенденцию динамики, является…

1. средняя арифметическая;

2. дисперсия;

3. темп прироста;

4. коэффициент вариации.

11. Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней, называется…

1. средним линейным отклонением;

2. дисперсией;

3. средним квадратическим отклонением;

4. размахом вариации.

12. Уровень однородности статистической совокупности определяется значением…

1. дисперсии;

2. коэффициента вариации;

3. среднего квадратического отклонения;

4. размаха вариации.

13. Коэффициент вариации является _________ показателем вариации.

1. средним;

2. абсолютным;

3. относительным;

4. натуральным.

14. Вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию, измеряет…

1. общая дисперсия;

2. внутригрупповая дисперсия;

3. межгрупповая дисперсия;

4. средняя из внутригрупповых дисперсий.

15. Если коэффициент вариации составляет 25% , то совокупность…

1. умеренной однородности;

2. средней однородности;

3. однородная;

4. неоднородная.