5. Уравнение Клейна-Гордона.

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ):

где — оператор Д’Аламбера.

— является релятивистской версией уравнения Шрёдингера. Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (впрочем, пока с определенностью не известных в фундаментальной физике).

Кроме прочего, легко видеть, что уравнение Клейна — Гордона — Фока является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

в одномерном случае — натянутая тяжелая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.

макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, еще и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.

более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона в координатах, лежащих в плоскости слоев.

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

Замечание: положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона гармонический осциллятор с частотой , что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой m частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.

7. Тема

   1. Нестационарное и стационарное уравнение Шрёдингера.

Уравнение Шредингера играет в квантовой теории такую же роль, как основное уравнение динамики (2-й закон Ньютона) в нерелятивистской механике. Уравнение Шредингера имеет следующий вид: iћ(∂Ψ /∂t)= -(ћ2 /2m)∆Ψ +UΨ - времен­ное или общее уравнение Шредингера, где i — мнимая единица (), m — масса частицы, ∆ — опе­ратор Лапласа, U — потенциальная энергия (мы ограничимся рассмотрением потенциальных силовых полей, для которых функция t/(r) не зависит явно от времени).

Согласно интерпретации Ψ-функции, час­тица, как говорят, «размазана» в пространстве, потенциальная энергия U рассматривается как функция локализован­ной точечной частицы в силовом поле.

Стационарные состояния. Особую роль в квантовой теории играют стационарные состояния — состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени. Сама Ψ-функция, как уже говорилось, принципиаль­но ненаблюдаемая. В стационарных состояниях она имеет вид Ψ (r, t )= ψ (r) e-iωt , ω = E/ћ, где функция ψ (r) не зависит от времени. При таком виде Ψ -функции плотность вероятности Р остает­ся постоянной. В самом деле, Р = Ψ*Ψ = ψ (r) ψ* (r), т. е. действительно, плотность вероятности Р от времени не за­висит. Для нахождения функции ψ (r) в стационарных состояниях: -(ћ2 /2m)∆ ψ +Uψ=Еψ или : ∆ ψ +(2m / ћ2)(Е-U)ψ=0 Это уравнение называют уравнением Шредингера для стацио­нарных состояний. Потенциальная энергия — функция U(r) —здесь определяется классически, как если бы никакими волновыми свойствами частица не обладала.

Квантование. В отличие от первоначальной теории Бора, где квантование вводилось искусственно, в теории Шредингера оно возникает автоматически. Достаточно только учесть, что физи­ческий смысл имеют лишь те решения уравнения, кото­рые удовлетворяют естественным или стандартным услови­ям. Эти условия состоят в том, что пси-функция ψ (r) должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой даже в тех точках (линиях, по­верхностях), где потенциальная энергия U(r) разрывна. Решения, удовлетворяющие этим условиям, оказываются воз­можными лишь при некоторых значениях энергии Е. Их назы­вают собственными значениями, а функции ψ (r), являющиеся решениями уравнения при этих значениях энергии, — собственными функциями, принадлежащими собственным зна­чениям Е. В этом и состоит естественный и общий принцип квантования.

Собственные значения энергии Е и принимаются за возмож­ные значения энергии в соответствующих стационарных состо­яниях. Эти значения энергии Е могут быть дискретными (кван­тованными) или непрерывными, образуя дискретный или непре­рывный энергетический спектр.