14. Моделирование и прогноз при алгоритмические методах сглаживания временных рядов.

К классу алгоритмических методов выявления тенденций во временных рядах относятся разнообразные процедуры усреднения данных по ряду, т.е. построению их сглаженных усредненных значений. Способ усреднения ряда, как правило, и определяет наименование метода.

Могут применяться с двумя целями:

- выявление общей тенденции развития ряда;

- прогнозирование тенденции в ряду.

Наиболее широкое применение методы алгоритмического сглаживания находят либо в условиях, когда исследователь имеет дело с так называемыми короткими рядами, либо в условиях высокой нестабильности, хаотичности исследуемой системы, что впрочем, по последствиям, практически адекватно предыдущему случаю.

При использовании алгоритмических методов сглаживания, мы не пытаемся найти модель, которая лучше всего описывают данные; скорее, мы подгоняем предопределенную модель к данным.

Эти методы наиболее полезны в ситуации, когда более «мудрые» методы моделирования не могут использоваться. Во-первых, доступные выборки данных иногда очень маленькие.

Наконец, методы сглаживания производят оптимальные прогнозы в некоторых условиях, которые, оказывается, глубоко связаны с присутствием единичных корней в ряде, по которому строится прогноз, т.е. его скрытыми математическими свойствами. Кроме того, более обоснованные методы производят оптимальные прогнозы только при известных условиях, типа правильной спецификации модели для прогноза.

15. Метод скользящего среднего выделения неслучайной составляющей (линейная аппроксимация)

16. Метод скользящего среднего выделения неслучайной составляющей (аппроксимация второго порядка).

17. Метод простого экспоненциального сглаживания (метод Брауна)

Он позволяет более обоснованно и сбалансировано учитывать в текущем сглаженном уровне временного ряда его историю. Для расчета сглаженного значения уровня t нам необходимо знать предыдущее сглаженное значение S_t-1 и фактическое значение временного ряда у_t.

формулу для расчета S_t - сглаженного значения для t-го уровня ряда:

где S_t – значение экспоненциальной средней в момент t;

S_t-1 – значение экспоненциальной средней в момент t-1;

- параметр сглаживания, т.н. сглаживающий фильтр изменяется в пределах .

Если записать значение сглаженного ряда S_t и последовательно раскрывать значения S_t-1, S_t-2, …, через предыдущие уровни ряда и так до y₀=S_0, используя рекуррентное соотношение, то в итоге легко получаем следующее представление исходного соотношения:

.

В итоге получаем следующее рекуррентное соотношение для вычисления усредненного значения ряда методом Брауна:

,

где t в данном случае число членов ряда; y₀ - является начальным уровнем временного ряда.

Вопрос о выборе начального уровня может быть решен несколькими путями. В первом случае, если имеются прошлые данные, то можно использовать среднюю арифметическую этих данных или их части. Если такими данными мы не располагаем, то в качестве нулевого уровня может быть выбрано среднее арифметическое нескольких начальных значений исходного ряда, либо просто первое значение ряда. Также начальное значение может быть оценено исходя из уже полученной формулы, из которой следует, что начальному значению после t итераций придается вес .

Определим модельную дисперсию ряда.

Чем больше величина приближается к единице, тем более «актуальным» становиться ряд. Чем меньше параметр сглаживания, тем больше сокращается дисперсия исходного ряда.

Простое экспоненциальное сглаживание Брауна предполагает оценивание текущего значения одного коэффициента в прогнозной модели динамики временного ряда следующим образом

.

Окончательно, с учетом сделанных ранее объяснений, интервальный прогноз, проведенный методом простого экспоненциального сглаживания можно оценить следующим образом:

.