Физика_Задачник_3_4_My

5 Контрольные работы

При выполнении контрольных работ студенты изучают физические явления и закономерности, а также учатся численно их рассчитывать (ниже приведен пример). Одновременно студент должен научиться пользоваться нормативными документами (ГОСТами) и рекомендуемыми справочными материалами, с тем, чтобы уметь в дальнейшем правильно выбрать материал при курсовом и дипломном проектировании.

Задача 1. Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием – 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему молот–изделие– наковальня считать замкнутой.

Дано:

m1=70 кг, h=5 м,

m2=1330 кг.

Найти Ед.

Решение По условию задачи система молот–изделие–наковальня считается замк-

нутой, а удар - неупругий. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.

Так как во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, то незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда энергия деформации изделия

		m	V2		m	1	m	2	U2
E		1								,	(1)
	д	2					2

где V–скорость молота в конце падения с высоты h; U–общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h без учета сопротивления воздуха и трения определяется из закона сохранения энергии:

		m	V 2
	m1 gh	1		, откуда V =	2gh .		(2)
		2

Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения импульса:

11

m1V = (m1 + m2)U, откуда U	m1	V .
	m1 m 2

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (3), получим

Eд	m1	m2	gh .
	m1
		m2

Выполним проверку размерности:

	Eд	кг кг м			м	кг м	м Н м Дж .
		кг кг с2				с2

Произведем вычисления по расчѐтной формуле (4):

70 130

EД 70 1330 9,8 5 325,85 (Дж).

Ответ: Eд = 325,85 Дж.

(3)

(4)

12

7 Содержание и оформление контрольных работ

Во втором семестре обучения физике студенты должны выполнить две контрольные работы. Контрольные работы состоят из 10 задач, номера которых выбираются по соответствующим таблицам. Контрольная работа №1 выполняется по разделу №3 “Физика колебаний и волн” (смотри номера задач согласно вариантам таблицы №1 раздела 6 “Варианты для контрольных работ”). Контрольная работа №2 выполняется по разделу №4 “Квантовая физика” (смотри номера задач согласно вариантам таблицы №2 раздела 6 “Варианты для контрольных работ”).

Контрольные работы выполняются в обыкновенных 18-листовых тетрадях в клетку. Текст должен быть выполнен рукописно с использование пасты синего цвета.

При оформлении текста, заголовков, иллюстраций, таблиц, следует руководствоваться требованиями ГОСТ Р 1.5-2002, ГОСТ 2.105-95, используя стандартную терминологию, а при ее отсутствии - принятую в технической литературе.

Условия задач необходимо переписать.

Значения всех величин из условия (и справочные данные) записать столбиком, перевести в единицы СИ.

В большей части задач необходимы чертежи или графики. Их следует выполнять аккуратно, обозначения на чертежах должны соответствовать записям в «Дано».

Для пояснения решения задачи необходимо:

-назвать вид колебаний (в задачах по колебяниям);

-назвать, записать и сформулировать законы, на основании которых должна быть решена задача;

-вывести формулу для расчета, поясняя преобразования с соблюдением обозначений на чертежах и в «Дано»;

-проверить размерность по расчетной формуле;

-произвести вычисления;

-записать ответ.

Вычисления следует проводить с точностью, соответствующей точности исходных данных условия задачи. Числа следует записывать, используя множитель 10, например не 0,000347, а 3,47·10-4.

Пример:

Задача 2. Воздух, заключенный между двумя пластинами с площадью 200 см2, находящимися на расстоянии 3 см, ионизируется рентгеновским излучением. При напряжении 120 В между пластинами идет ток силой 2 мкА. Определить концентрацию ионов между пластинами. Заряд каждого иона равен элементарному заряду.

13

Дано:

S = 200 см2 = 2 . 10–2 м; d = 3 см = 3 . 10–2 м;

U = 120 В;

I = 2 мкА = 2 . 10–6 А.

Найти: n0.

Решение
Из выражения плотности тока:
J = n0e(u+ + u–)E,	(1)
где е = 1,6 . 10–19 Кл – заряд иона; n0 – концентрация ионов;

u+ = 1,4·10–4 м2/(В . с) и u– = 1,9·10–4 м2/(В . с) – подвижности положительных и отрицательных ионов; Е – напряженность электрического поля.

Найдем концентрацию ионов между пластинами:

j

n0=eu u E .

В случае однородного поля: Е = U/d,

где U – напряжение на пластинах; d – расстояние между ними. Плотность тока равна j = I/S, где S – площадь пластин; I – сила тока.

Учитывая эти равенства,

Id

n0=eu u US .

(2)

(3)

Выполним проверку размерностей:

n

A м

м 3 .

0

м 2

м 2

Кл

В м 2

В с

В с

Произведѐм вычисления по расчѐтной формуле

n0

2 10 6 3 10 2

4,6 1014

(м–3)

1,6 10

19 (1,4 10 4 1,9 10 4 ) 120

2 10 2

Ответ: n0 = 4,6 . 1014 м–3.

14

8 Условия задач

Раздел 3. Физика колебаний и волн

Глава 1. Кинематика и динамика гармонических колебаний

1.1 Амплитуда, период, частота, круговая частота, фаза гармонических колебаний

3.1 Гармонические колебания величины x описываются уравнением x=0,02cos(6πt+π/3), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) циклическую частоту; 3) частоту колебаний; 4) период колебаний.

Ответ: 1) А=0,02 м; 2) ω0=6π 1/с; 3) ν=3Гц; 4) Т=0,33 с.

3.2Запишите уравнение гармонического колебательного движения точки, совершающей колебания с амплитудой А = 8 см, если за t = 1 мин совершается n = 120 колебании и начальная фаза колебаний равна 45°.

Ответ:x=8cos(4πt+π/4), см.

3.3Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой

А= 4 см и периодом Т = 2 с. Напишите уравнение движения точки,

если ее движение начинается из положения х0 = 2 см.

Ответ: x=0,04cos(πt+π/3), м.

3.4Точка совершает гармонические колебания с периодом Т = 6 с и начальной фазой, равной нулю. Определите, за какое время, считая от начала движения, точка сместится от положения равновесия на половину

амплитуды. Ответ: t = 1c.

3.5 Материальная точка совершает колебания согласно уравнению x=Asinωt. В какой-то момент времени смещение точки х1 = 15 см. При возрастании фазы колебания в два раза смещение х2 оказалось равным 24 см. Определите амплитуду А колебания.

Ответ: А = 25 см.

15

1.2 Скорость и ускорение гармонических колебаний. Основное уравнение динамики гармонических колебаний.

3.6Напишите уравнение гармонического колебания точки, если его амплитуда

А= 15 см, максимальная скорость колеблющейся точки vmax = 30 см/с,

начальная фаза φ0 = 10°.

Ответ: x=0,15cos(2t+π/18), м.

3.7Точка совершает гармонические колебания по закону x=3cos(πt/2+π/8), см. Определите: 1) период Т колебаний; 2) максимальную скорость vmax

точки; 3)максимальное ускорение аmах точки.

Ответ: 1) Т = 4 с; 2) vmax = 4,71 м/с; 3) аmах = 7,4 м/с2.

3.8Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А =10 см и периодом T = 5 с. Определите для точки: 1) максимальную скорость; 2) максимальное ускорение.

Ответ: vmax = 12,6 см/с; аmах = 15,8 см/с2.

3.9 Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением v(t)= - 6sin(2πt). Запишите зависимость смещения этой точки от времени.

Ответ: x= 3/π cos(2πt).

3.10Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению x=0,02cos(πt + π/2), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) начальную фазу колебаний; 4) максимальную скорость точки; 5) максимальное ускорение точки; 6) через сколько времени после начала отсчета точка будет проходить через положение равновесия

Ответ: 1) A=2 см; 2) Т=2 с; 3)φо=π/2; 4) vmax =6,28 м/с; 5) amax=19,7 см/с2; 6)t=0,1,2,3,c.

3.11Определите максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой А = 3 см и периодом Т = 4 с.

Ответ: vmax = 4,71 см/с; 2) amax = 7,4 см/с2.

3.12Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой v = 1 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой х0 = 5 см, со скоростью v0 =15 см/с. Определите ам-

плитуду колебаний. Ответ: А = 5,54 см.

16

1.3 Возвращающая сила. Энергия

3.13Тело массой m = 10 г совершает гармонические колебания по закону x=0,1cos(4πt+π/4), м. Определите максимальные значения: 1) возвращающей силы; 2) кинетической энергии.

Ответ: 1) |Fmax| = 0,158 Н; 2) Tmax = 7,89 мДж.

3.14Материальная точка массой m = 50 г совершает гармонические колебания согласно уравнению, x=0,1cos(3πt/2), м. Определите: 1) возвращающую силу F для момента времени t = 0,5 с; 2) полную энергию Е точки.

Ответ: 1) F = 78,5 мН; 2) Е = 5,55 мДж.

3.15Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания по закону x=0,1cos(4πt+π/4), м. Определите полную энергию Е

этой точки.

Ответ: Е = 15,8 мДж.

3.16 Полная энергия Е гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж, а максимальная сила Fmax, действующая на точку, равна 0,5 мН. Напишите уравнение движения этой точки, если период Т колебаний равен 4 с, а начальная фаза φ =π/6.

Ответ: x=0,04cos(πt/2+π/6), м.

3.17Определите отношение кинетической энергии Т точки, совершающей гармонические колебания к ее потенциальной энергии П, если из-

вестна фаза колебания.

Ответ: Т/П = tg2(ω0t+φ).

3.18Определите полную энергию материальной точки массой m, колеблющейся по закону х=Аcos(ω0t+φ).

Ответ: Е=mА2ω02/2.

1.4 Сложение колебаний одного направления. Векторные диаграммы. Биения

3.19Два одинаково направленных гармонических колебания одинакового периода с амплитудами А1 = 4 см и А2, = 8 см имеют разность фаз

φ=45°. Определите амплитуду результирующего колебания. Ответ: А = 11,2 см.

3.20 Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний оди-

17

наковой частоты, обладающих разностью фаз 60°, равна А = 6 см. Определить амплитуду А2 второго колебания, если А1= 5 см.

Ответ: А 2= 1,65 см.

3.21Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода Т = 4 с и одинаковой амплитуды А = 5 см со-

ставляет π/4. Напишите уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.

Ответ: x=9,24cos(πt/2+π/8), см.

3.22 Определите разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты и амплитуды, если амплитуда их результирующего колебания равна амплитудам складываемых колебаний.

Ответ: φ = 120°.

3.23Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями x1=3cos(2πt), см, x2=3cos(2πt+π/4), см.

Определите для результирующего колебания 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колебания и представьте векторную диаграмму сложения амплитуд.

Ответ: 1) А = 5,54 см; 2) φ = π/8.

3.24Точка одновременно участвует в n одинаково направленных гармоничес-

ких колебаниях одинаковой частоты: А1cos(ωt+φ1), А2cos(ωt+φ2),… Аncos(ωt+φn). Используя метод вращающегося вектора амплитуды, определите для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу.

		n		n			y
	Ответ:				x 2 y2 ; tg
		x	Ai cos i ; y	Ai sin i ; A				.
		i 1		i 1			x

3.25Частоты колебаний двух одновременно звучащих камертонов настроены на 560 и 560,5 Гц. Определите период биений.

Ответ: Тб = 2 с.

3.26В результате сложения двух колебаний, период одного из которого Т1 = 0,02 с, получают биения с периодом Тб = 0,2 с. Определить пери-

од Т2 второго складываемого колебания. Ответ: Т2 = 18,2 мс.

3.27Складываются два гармонических колебания одного направления, имеющие одинаковые амплитуды и одинаковые начальные фазы с перио-

18

дами Т1 = 2 и Т2 = 2,05 с. Определите: 1) период результирующего колебания; 2) период биения.

Ответ: 1)Т = 2,02с; 2)Тб = 82с.

3.28Результирующее колебание, получающееся при сложении двух гармонических колебаний одного направления, описывается уравнением

вида х =Acos(t)cos(45t) (t – в секундах). Определите: 1) циклические частоты складываемых колебаний; 2) период биений результирующе-

го колебания Ответ: 1) ω1 = 46 с-1, 2) ω2 = 44 с-1; 2) Т6 = 3,14 с.

1.5 Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний

3.29Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описы-

ваемых уравнениями x= 3 cosωt, см и у= 4 cosωt, см. Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.

Ответ: у=4х/3.

3.30Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = 3 cos(2ωt), см и у = 4 cos(2ωt + π), см. Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.

Ответ: у=-4х/3.

Глава 2. Гармонические и ангармонические колебания

2.1 Механические гармонические колебания – математический и физический маятники, пружинный маятник

3.31Найдите период математического маятника длины l, подвешенного в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением a.

Ответ: Т=2l / g2 a 2 .

3.32За одинаковое время один математический маятник делает N1=50 колебаний, а второй – N2=25 колебаний. Найти их длины l1 и l2 , если

один из них короче второго на l=33см.

Ответ: l1=0,11м; l2=0,44м.

19

3.33Секундный маятник колеблется в движущемся с ускорением лифте, делая N=10 колебаний за t=15с. Куда движется лифт и чему равно его

ускорение a? Ответ: a=5,4м/с2.

3.34Чему равен период колебаний математического маятника, находящегося в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением a?

Ответ: Т=2l / g2 a 2 .

3.35 Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине, на 600г, то период колебаний груза возрастѐт в 2 раза. Определите массу первоначального подвешенного груза.

Ответ: m = 200г.

3.36На горизонтальной пружине жѐсткостью к=900н/м укреплѐн шар массой М=4кг, лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без трения. Пуля массой m = 10г, летящая с горизонтальной

скоростью V0 = 600м/с и имеющая в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нѐм. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определите: 1)амплитуду колебаний шара; 2) период колебаний шара.

Ответ: А=10см; Т=0,419с.

3.37Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 35см. Определите, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.

Ответ: x=10,1см.

3.38 Однородный диск радиусом R=20см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии l=15см от центра диска. Определите период Т колебаний диска относительно этой оси.

Ответ: Т=1,07с.

3.39Тонкий однородный стержень длиной l = 60см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии х = 15см от его середины. Определите период колебаний стержня, если он совершает малые колебания.

Ответ: Т=1,19с.

3.40Упругая пружина под действием подвешенного к ней груза растянулась на x0. Если груз ещѐ немного оттянуть вниз и отпустить, то он

20