matan

11.Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда. Почленнное интегрирование и диффиренцирование функциональных рядов.

Непрерывность суммы функционального ряда.

Пусть все члены ряда ∞ непрерывны на множестве D и данный ряд сходится

=1

равномерно на этом множестве к сумме S(x) тогда сумма ряда S(x) является непрерывной на множестве Dэтой функции.

Следствие : в равномерно сходящимся ряде можно почленно переходить к пределу

∞∞

lim

=

( lim ( ))

→∞

→∞

=1

=1

Теорема об интегрировании функциональных рядов.

Пусть функции

, = 1, 2, …непрерывны на [a;b] и функциональный ряд

∞

=1

Сходится равномерно на отрезке [a;b] функции S(x) тогда для любой точки

; ряд

∞

также равномерно сходится на отрезке [a;b] и справедлива

0

=1 0

формула :

∞

∞

(

( )) =

0 =1

=1

0

Теорема о почленном дифференцировании функционального ряда.

Пусть ряд

∞

непрерывно дифференцируемой функции , = 1,2, … сходится

=1

к сумме S(X) на [a;b], а

∞

=1 ′ сходится равномерно на этом отрезке, тогда ряд

∞

сходится равномерно на отрезке [a;b], его сумма является непрерывно

=1

дифференцируемой функцией и справедлива формула:

∞∞

′ = (	( ))′ =	′( )
	=1	=1

12. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

Опр. Степенным рядом называется ряд вида:

∞

	= + + 2				+ + …
			0 1	2
	=0
Или:
∞
( − )		= + −		+ −		2 + + −		+
	0	0 1	0	2	0		0

=0

Где 0, 1, некоторые действительные числа называемые коэффициентом ряда, 0 −

.

Каждый из этих рядов сходится хотя бы в одной точке x=0 , а ряд два сходится в точке x= 0, Первый ряд называется рядом по степеням x, а ряд два называется рядом по степеням x-0. Ряд два всегда можно привести к первому ряду с помощью заменыx- 0=y.

Теорема Абеля.
Если степенной ряд			∞		сходится в некоторой точке ≠ 0, то он сходится
			=0		0
абсолютно в любой точке xудовлетворяющей неравенство | | < | 0|и сходится
равномерно в области | | ≤ < | 0|.
Если же ряд	∞			расходится в некоторой точке то он расходится во всех точках
	=0				1

xудовлетворяющих условию > | 1|.

Для любого степенного ряда возможны три случая:

1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале (a,b) . Иными словами, если мы выбираем любое значение «икс» из интервала (a,b) и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал (a,b) и называется интервалом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости, это половина длины интервала сходимости:

−

= 2

2)Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении x . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получится абсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают: (−∞; +∞) . Радиус сходимости: R= +∞ .

3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид	∞	, то он
	=1

будет сходиться в единственной точке x=0 . В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю: x=0 . Если ряд

имеет вид	∞	( − ) , то он будет сходиться в единственной точке x=a , если ряд
	=1
имеет вид	∞	( + ) , то, понятно, – в точке «минус а». Радиус сходимости ряда во
	=1

всех случаях, естественно, нулевой: R=0 .

13.Непрерывность суммы, интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

1)Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости

(-R;R)
2) Степенные ряды	∞		и	∞	имеющие радиусы сходимости
	=0			=0

соответственнно 1 и 2 можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел

1 и 2.

3)Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

= + + 2			+ 3 + +
0	1	2	3
то при − < < выполняется равенство
′ = + 2 + 3 2			+ +	−1 +
1	2	3

4)Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости: при этом для ряда

= + + 2 + 3						+ +
	0	1	2	3
при − < < выполняется равенство
t dt =	+	+		2	+ … +			+ …
	0		1	2

14. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия представления функции рядом Тейлора.

Пусть функция f(x) определена в окресности точки 0и имеет в этой окресности производные до порядка n+1 .

Тогда для функции справедлива формула Тейлора:

′

′′

0

= +

0

( − ) +

0

( − )2

…

−

+ ( )

0

1!

0

2!

0

!

0

Где

=

+1

−

+1,

+ 1 !

0

– остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

С = + − 0 ,0 < < 1

=

+

( )где

Pn x =f x0

+

f′ x0

(x − x0)

+

f′′ x0

(x − x0)2 …

f n

x0

x − x0 n − многочлен Тейлора

n!

1!

2!

Если функция f(x)определена в окресности 0 и имеет в этой окрестности производные любого порядка и остаточный член → 0 при → ∞то есть lim→∞ = 0то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням − 0называемое рядом Тейлора.

∞			0
					( − 0)
=0			!
При 0 = 0 – ряд Маклорена.
			∞	0
		=
					!

=0

Теорема: Для того чтобы ряд Тейлора функции f(x) сходился к этой функции f(x) в некоторой точке xнеобходимо и достаточно чтобы в этой точке → 0при → ∞.

lim = 0

→∞

Замечание. Если ряд Тейлора сходится к порождающей его функции f(x) то равен остатку ряда Тейлора =

Теорема. Достаточный признак разложения функции f(x) в ряд Тейлора.

Если производные любого порядка функции f(x) ограничены одним и тем же числом nв некоторой окрестности точки 0то есть ≤ , = 1,2, …то для любого значения переменной x из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к функции f(x) то есть имеет место равенство

	∞			0
=	=0			!	( − 0)

15. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.

1) ′	, ′′	… ( )
2) Вычислить значение производных ′				; ′′		… ( )для ряда Тейлора и
			0		0	0
′ 0	; ′′ 0	… (0) для ряда Маклорена.

3) Написать разложение функции f(x) в ряд Тейлора или Маклорена воспользовавшись формулами

=	∞		0			и
	=0	!

= ∞ ! 0 ( − 0)

=0

4)Найти область сходимости получанных рядов.

5)Найти интервал - в котором остаточный член ряда Тейлора или Маклорена стремится к нулю при nстремящемуся к бесконечности. Если такой интервал существует, то в этом интервале сумма ряда и функция f(x) совпадают.

Таблица разложений в ряд Тейлора основных элементарных функций.

1)

= 1 +

+

2

+ +

+

1!

2!

!

+ −

2

4

2

2)

=

= 1 +

+

+ +

+

2

2!

4!

2 !

−−

3

5

2 +1

3)

=

= +

+

+ +

+

2

3!

5!

2 +1 !

4)

= −

3

+

5

−

7

+ +

−1

2 +1

+

3!

5!

7!

2 +1 !

5)

= 1 −

2

+

4

−

6

+ +

−1

2

+

2!

4!

6!

2 !

(−1)

2

(−1)(−2)

3

−1 … −+1

6)

(1 + ) = 1 +

+

+

+ +

+

1!

2!

3!

!

7)1−1 = 1 + + 2 … + +

	8)	ln 1 + = −						2	+			3	−	4	+ + −1					+1
							2				3			4						+1
	9)	Arctgx=x-	3	+	5		−		7		+ +				−1		2 +1		+
					5				7								2 +1
		3

16. Применение степенных рядов для вычисления приближенных значений функции, неопределенных и определенных интегралов.

Для приближенного вычисления значения функции эту функцию разлагают в ряд Тейлора или Маклорена и сохраняют в этом ряду первые nчленов, а остальные отбрасывают чтобы получить точность.

Вслучае если это знакопостоянный ряд, то ряд состоит из отброшенных членов сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В качестве оценки остатка исходного ряда берут оценку остатка ряда геометрической прогрессии

Вслучае если исходный ряд знакочередующийся и его члены удовлетворяют признаку Лейбница то справедлива следующая оценка:

| | < | +1 |

Интегралы:

Для вычисления определенного интегралов если подинтегральная функция f(x) раскладывается в равномерно сходящуюся на отрезке [a;b] можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда.

17. Применение степенных рядов для вычисления пределов дробей, значений производных различных порядков.

Для вычисления предела функции, представляющей собой дробь, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю при → 0, необходимо числитель и знаменатель дроби разложить в ряды по степеням → 0, произвести необходимые сокращения вследствии чего неопределенность 0 на 0 исчезает.

Для вычисления производных n-огопорядка необходимо воспользоватся формулой:

0 = !

18. Применение степенных рядов для вычисления диффиренциальных уравнений.

′′ = ; ; ′

Метод последовательных дифференциалов. Метод применяется в том случае если необходимо найти частное решение = ( )удовлетворяющих начальным условиям

0 = 0; ′ 0 = 0′ .

решение = ( ) ищем в виде ряда тейлора :

	′					′′
= +	0	− +				0	−		2		+ +			0	−			+
0	1!			0	2!			0					!				0
Первые 2 коэффициэнта известны из начальных условий										, , ′
									0		0	0
Подставив в уравнение ′′		= ; ; ′			значения = , = , ′ = ′											0	, находим третьий
									0			0
коэффициент: ′′	= ( , , ′ )Значения ′′′								, (4)( )… находим путем
0		0	0	0				0				0
последовательного дифференцирования уравнения ′′											= ; ; ′			по x и вычисления

производных при x= 0. Найденные значения производных подставляем в равенство ряда Тейлора. Ряд Тейлора представляет собой искомое частное решение уравнения ′′ =

; ; ′ для тех значений x при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением этого дифференциального уравнения.

2 Способ неопределенных коэффициентов.

Этот способ приближенного решения наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

′′	+ ′ +		= ( )
	1	2
Начальные условия уравнения 0	= 0, ′	0 = ′0
Предпологая , что коэффициенты 1	, 2	и свободный член ( ) разлагаются в ряды по

степеням − 0, сходящиеся в некотором интервале ( 0 − ; 0 + ) искомое решение = ( )

Ищем в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами.

= + −		+ −		2 + + ( −	0	) +
0 1	0	2	0

Коэффициенты 0 и 1 определяются при помощи начальных условий 0 = 0, 1 = ′0

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируемый степенной ряд два раза( каков порядок уравнения ) и подставляем выражения для функции yи её производных в уравнение ′′ + 1 ′ + 2 = ( ), заменив в нем 1 , 2 и ( ) их разложениями. В результате получаем тождество из которого методом неопределеных коэффициентов находим недостающие коэффициенты. Построенный степенной яд сходится в том же интервале ( 0 −; 0 + ) и служит решением дифференциального уравнения.

19. Периодические функции. Периодические процессы.

Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется периодической , с периодом T>0, если при каждом значение ( + ) и выполняется равенство + = ( )

+ = – условие переодичности.

Основные свойства:

1.Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период T, есть периодическая функция с периодом T.

2.Если функция f(x) имеет период T, то функция f(ax) имеет период : действительно,

	+		= + =

3. Если f(x) имеет период Tи является интегрируемой на некотором отрезке [a, a+T], длины T, эта функция интегрируема на любом отрезке длины T.

+		+
=	=

0

Простейшим периодическим процессом(движением) называется простое гармоническое колебание (гармоника).

Гармоника описывается функцией:

= ( + )

Где A – амплитуда колебания, − частота, − начальная фаза.

Основным периодом такой функции является = 2п. То есть одно полное колебание совершается за промежуток времени 2П.

20. Тригонометрические многочлены. Ортогональные системы функций.

Опр.

=

sin +

+

2

sin +

2

+

sin +

=

sin ( + )

1

1

=1

Тригонометрический многочлен n-ого порядка состоит из nгармоник с разными частотами.

Гармоника 1 sin + 1 называется основной.

=	2	, =	2	, … =	2
1		2	2

Следовательно тригонометрический многочлен имеет период , 2 который составляет период основной гармоники.

Ортогональные системы функций.

Пусть на отрезке [a;b] заданы две функции таким образом , что их произведение( )является интегрируемой функцией на отрезке [a;b]. Функции и ( )Называются

ортогональными если

( ) = 0

Опр. Система функций

( )

=

,

,

2

…

… ,называется ортогональной на

0

1

[a;b] если

( ) = 0для любых n≠ .

Система функций

называется ортонормированной на отрезке [a;b]. Если

( ) =

= 0; ≠ .

1; ≠