matan

1.Место для формулы.Числовой ряд и его сумма. Остаток ряда. Необходимый признак

сходимости. Простейшие свойства числовых рядов.

Числовым рядом называется выражение вида: ∞=1 = 1 + 2 + + + (1). Где 1, 2, действительные или комплексные числа называемые членами этого ряда, при это0м называется общий или n-й член ряда.

Рассмотрим следующие суммы:

1 = 1,

2 = 1 + 2

3 = 1 + 2 + 3

= 1 + 2 + 3 +

Суммы называются частичными суммами ряда а число называется n-ой частичной суммой ряда

Если сушествует конечный предел последовательности частичных сумм 1, 2…. то ряд (1) называется сходящимся, а число = lim→∞ называется суммой ряда (1).

Если предел не существует или равен 0 то ряд (1) называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда :

Если числовой ряд

∞

сходиться то его общий член стремится к 0 , то есть lim

→∞

= 0

=1

∞

=

+

+ +

+

+1

+

+2

+ (3)

=1

1

2

+1 + +2 … n-ый остаток ряда .

Для того чтобы числовой ряд (1) сходился необходимо и достаточно чтобы его остаток сходился и предел lim→∞ = 0

Опр. Суммой двух рядов

∞

и

∞

называется ряд который обозначается

∞

+

=1

=1

=1

∞

= ∞ (

+ )

=1

=1

Произведение

∞

на число называется

∞

=

∞

( )

=1

=1

=1

Свойства сходящихся рядов.
1.	Если числовой ряд (1) сходится и его сумма = Sто числовой ряд					∞	( ) его сумма
						=1
	равна α*S
2.	∞	и	∞	два сходящихся ряда суммы которых равны		и то ряд		∞	(	+ )
	=1		=1		1	2		=1
	сумма этого ряда равна 1				+ 2

3.Сходимость ряда не нарушается если произвольным образом изменить (переставить , добавить или отбросить) конечное число членов этого ряда.

2.Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Признак сравнения и предельный признак сравнения.

∞

,

≥ 0,

=1

Теорема

∞

сходится, а последовательность – ограничена, тогда ряд

∞

–

=1

=1

сходящийся

Признак сравнения

Пусть ряды

∞

и

∞

знакоположительные. Если существует ≥

0

выполняется

=1

=1

неравенство 0<

≤ , то

1)

Из сходимости ряда

∞

следует сходимость

∞

=1

=1

2)

Из расходимости ряда

∞

следует расходимость ряда

∞

=1

=1

Теорема: Предельный признак сравнения

Пусть

∞

и

∞

(

> 0, )знакоположительные ряды. Если существует

=1

=1

конечный , отличный от нуля предел то ряды сходятся или расходятся одновременно .

3. Признак Даламбера и Коши

Признак Даламбера

Пусть сумма ∞ – числовой ряд с положительными членами. Если существует

=1

конечный предел lim→∞ +1=L То при

< 1 ряд сходится.

> 1 ряд расходится

= 1 ряд может сходится либо расходится .

Признак Коши

Пусть сумма ∞ – числовой ряд с положительными членами. Если существует

=1

конечный пределlim→∞ = , то при

< 1 ряд сходится.

> 1 ряд расходится

= 1 ряд может сходится либо расходится .

4.Интегральный признак Коши. Оценка остатка ряда

Если члены знакоположительного ряда , могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей функции на отрезке [1; +∞] таким

образом что =		1 ,	= 2 ,	= ( )то:
	1	2
1.	Если несобственный интеграл от			+∞ ( ) сходится то и ряд		∞		сходится
				1		=1
2.	Если несобственный интеграл от			+∞ ( ) расходится то и ряд			∞	расходится
				1			=1
	С помощью интегрального признака сходимости ряда можно оценить его остаток
			+∞		+∞
			( ) ≤ ≤		+
					+1
			1		1

5. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов . Достаточное условие абсолютной сходимости знакопеременных рядов .

Опр. Ряды знаки членов которых изменяется называется знакопеременным.

	Пусть			∞	– знакопеременный ряд (12)
				=1
		∞	| | =			+	2	+ +		+ Если последний ряд сходится то знакопеременный
		=1			1
	ряд (12) называется абсолютно сходящимся. Если ряд (12) сходится а ряд из модулей
	расходится то ряд (12) называется условно сходящимся.
	Теоремаобщий достаточный признак сходимости ряда
Пусть дан знакопеременный ряд :
∞		=		+	+ +		+(13)
=1		1		2
Если сходится ряд					∞	| | =			+ | | + + | | (14) то сходится и сам знакопеременный ряд
					=1			1	2
(13)

Из сходимости ряда (13) не всегда следует сходимость ряда (14)

Достаточные признаки абсолютной сходимости рядов.

1.

Признак сравнения

Пусть для членов рядов

∞

и

∞

> 0, выполняется неравенство| | ≤

=1

=1

и ряд

∞

сходится, тогда ряд

∞

сходится абсолютно.

=1

=1

2.

Признак Даламбера. Если для ряда

∞

выполняется условие lim

→∞

|

+1

|=L, то при

=1

< 1 ряд сходится абсолютно.

> 1 ряд расходится

= 1 ряд может сходится либо расходится .

∞

3.

Признак Коши. Если для ряда

выполняется условие lim

| | = ,

=1

→∞

< 1 ряд сходится абсолютно.

> 1 ряд расходится

= 1 ряд может сходится либо расходится .

6.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда.

Опр. Знакочередующимся рядом называется ряд вида

	−	2	+	− + +	−1	−1 + =	∞	(15)
1			3	4			=1
Где		> 0,

Признак Лейбница Пусть дан знакочередующийся ряд (15)

Если выполняются следующие два условия

1)Члены ряда убывают по модулю 1 > 2 > 3 > >

2)lim→∞

То числовой ряд (15) сходится, сумма этого ряда не превосходит первого члена ≤ 1а остаток ряда оценивается соотношением ≤ +1

7. Признак Дерехле . Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Признак Дерехле

Ряд

∞

сходится, если частичные суммы ряда

∞

ограничены а

=1

=1

последовательность монотонно стремится к нулю.

Свойства абсолютно у условно сходящихся рядов

1.

Пусть ряды

∞

и

∞

сходится абсолютно к суммам Aи Bсоответственно.

=1

=1

Тогда ряд

∞

+ также сходится абсолютно к сумме A+B/

=1

2.

Пусть ряд

∞

сходится абсолютно к Аа R, тогда ряд

∞

сходится

=1

=1

абсолютно к сумме А

3.

Произведением по Коши рядов

∞

и

∞

называется ряд

∞

С

где

=1

=1

=1

С

= +

+ +

+ =

∞

0

1 −1

−1

1

0

=0

−

4.

Пусть ряд

∞

сходится абсолютно к сумме А, ряд

∞

сходится абсолютно к

=1

=1

сумме В, тогда ряд

∞

также сходится абсолютно к сумме S=A*B.

=1

5.

Если ряд

∞

сходится условно то оба ряда составленные только из

=1

положительных и только из отрицательных членов этого ряда расходится.

6.

Перестановка членов условно сходящихся числовых городов может изменить его

сумму.

8.Ряды с комплексными членами. Основные свойства сходящихся и абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами.

1.Выражение вида 1 + 2 + + + , где 1, 2, … , , … − последовательность комплексных чисел называется числовым рядом с комплексными членами

(обозночается

∞

).

=1

2.

Сумма

+

+ + =

называется n-й частичной суммой ряда,

1

2

=1

обозначается , последовательность, , , … , , …-

— последовательность

1 2

частичных сумм ряда.

3.

∞

называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных

=1

сумм, т.е. существует lim

→∞

. Этот предел называется суммой ряда:

∞

= lim , − сумма ряда; − =

+ − остаток ряда

→∞

=1

4.

Ряд

∞

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из

=1

модулей его членов, т.е. ряд

∞

| |

=1

Осн свойства:

1.

Необходимый признак сходимости

Если ряд

∞

сходится то его общий член стремится к нулю. Т.еlim

→∞

= 0.

=1

2.

Если ряд

∞

сходится абсолютно то он сходитсяю

=1

3.

Признак сравнения.

Если для ряда

∞

существует сходяшийся числовой ряд

∞

С

с

=1

=1

положительными членами такой что модуль | | ≤ начиная с некоторого

номера N, то ряд

∞

сходится абсолютно.

=1

4.

Признак Даламбера.

∞

∞

Если для ряда

выполняется условие lim

→∞

+1

= , < 1ряд

=1

=1

Сходится абсолютно.

5.

Признак Коши.

∞

Если для ряда

выполняется условие lim

→∞

= , < 1

=1

9. Функциональный ряд и его область сходимости. Сумма ряда.

Функциональным рядом называется ряд вида

∞

= ( ) +

2

+ +

+

=1

1

, где 1

+ 2

+ +

некоторые функции от переменной x, определенные на

множестве X.

Сумма

+

2

+ +

=

( )называется n-ой частичной суммой а

1

=1

выражение

=

+1

+

+2

+ называется остатком ряда.

Придавая переменной xопределенной значение 0

, получим что функциональный ряд

∞

= ( ) +

2

+ +

+ превращается в числовой ряд

=1

1

∞

= ( ) +

2

+ +

+… который может как сходится так и

=1

0

1

0

0

0

расходится.

Если он сходится то говорят, что 0есть точка сходимости ряда , если же он расходится то

это точка расходимости.

Совокупность всех значений

при которых ряд

∞

сходится называется

0

=1

областью сходимости этого ряда.

Сходимость ряда

∞

для каждого конкретного значения называется

=1

0

поточечной сходимостью этого ряда.

Суммой ряда

∞

на множестве называется функция:

=1

= lim

→∞

=

+

где

→ 0 при → ∞

Различают области абсолютной и условной сходимости функционального ряда. Для определения области сходимости функционального ряда можно применить признаки Коши и Даламбера.

10. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признаки равномерной сходимости.

Функциональный ряд

∞

=1 называется равномерно сходящимся в области

к сумме если для любого > 0существует номер = ( )и не зависящий от X.

Такой что выполняется неравенство

−

< для любых и любых ≥

.

С геометрической точки зрения неравенство

−

< означает , что начиная с

некоторого номера Nграфики частичных сумм

ряда

∞

не выходят за

=1

пределы ε окружности графика его суммы.

Признаки равномерной сходимости.

Критерий Коши равномерной сходимости функциональных рядов.

∞

равномерно сходится на множестве D тогда и только тогда, когда для любого

=1

> 0существует =

так что для любого и для любого , >

0 выполняется неравенство:

|

+

+ +

| <

+1

+2

+

Таким образом если функциональный ряд сходиться на области D, то необходимо чтобы

выполнялось условие

lim sup

= 0

→∞

+1

Если же предел не равен нулю то функциональный ряд не сходится равномерно.

Теорема. Признак Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда

∞

для любого и для любого

=1

удовлетворяют неравенству |

| ≤ ,

> 0и числовой ряд

∞

сходится, то

=1

функциональный ряд

∞=1

сходится равномерно и абсолютно.

Замечание: при выполнении условия |

| ≤

говорят, что сходящийся ряд

∞

=1

является мажарантным функционального ряда

∞

.

=1

Теорема Дерехле.

Функциональный ряд :

∞

( ) ( )сходящимся равномерно на множестве D, если выполняются два

=1

условия:

1)

∞

( )последовательность частичных сумм ряда равномерно ограничена на

=1

множестве D. Существует > 0; такое что для любого , для любого

2) lim

sup

= 0.

→∞