matan

41. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора. Основные тейлоровские разложения.

Всякая аналитическая в круге | − 0| < функция f(z) может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд.

∞

= ( − 0)

=0

Этот степенной ряд называется рядом Тейлора для функции f(z) в рассматриваемом круге.

Коэффициенты которого определяются формулами:

				0		1
	=				=					= 0,1,2, …
			!			2		− 0	+1

Где lrпроизвольная окружность с центром в точке 0 лежащая внутри круга.

Основные разложения:

= 1 +

+

2

+

1!

2!

3

5

7

sin

= −

+

−

…

3!

5!

7!

cos ( ) = 1 −

+

4

−

6

+ + −1

2

+

2!

4!

6!

2 !

( − 1)

2

( − 1)( − 2)

3

− 1 … − + 1

(1 + ) = 1 +

+

+

+ +

+

1!

2!

3!

!

Ln 1 + = −

2

+

3

−

4

+ + −1

+1

2

3

4

+ 1

42. Ряд Лорана. Единственность разложения функции в ряд Лорана.

Всякая аналитическая в кольце < | − 0| < (0≤ < ≤ ∞) функция f(z) может быть единственным образом разложена в этом кольце в ряд.

+∞

= ( − 0)

=−∞

Ряд выше называется рядом Лорана для функции f(z) в рассматриваемом кольце.

Коэффициенты которого определяются формулой:

=	1				= 0, ±1,±2, …
	2		− 0	+1

Где L – произвольная окружность с центром в точке 0, лежащая внутри данного кольца.

Ряд Лорана для функции :

	+∞		∞		∞	−
=	( − ) =		( − ) +
						( − )
		0		0
	=−∞		=0		=1	0

Состоит из двух частей

Правильная часть ряда Лорана.

∞

			=			( − )
1						0
			=0
Главная часть ряда Лорана
				∞		−
2			=
					( − )
				=1		0

43. Нули аналитической функции. Критерий кратности нуля.

Нулем аналитической функции в области Dфункции f(z) называется комплексное число , такое что f(a)=0

Разложение f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z=a(т. е. нуле функции) не будет содержать нулевого члена т.к.

	С0 =		= 0
				∞
= − + − 2		+ + − =		−
1	2

=1

Если условие выше выполняется то 0 функции называется простым.

Опр. Точка z=aназывается 0 порядка кили нулем кратности, функции f(z) Если в разложении это функции в ряд Тейлора:

= + − + − 2		+ +	− −1 + − +
0 1	2	−1

0 = 1 = = −1 = 0; ≠ 0

Для того чтобы точка z=aбыла нулем порядка kфункции f(z) необходимо и достаточно чтобы выполнялось условия:

= ′ = ′′ = = −1 ′ = 0; ( ) ≠ 0

Опр. Нули аналитической функции f(z) называются изолированными если каждый из них можно окружить окресностью содержащей единственный нуль функции.

Нули аналитической функции ( ) ≠ 0изолированы.

44. Изолированные особые точки аналитической функции. Связь между нулями и полюсами аналитической функции.

Пусть функция аналитическая в некоторой окрестности самой точки a, в этом случае z=a называется изолированной особой точкой f(z) следовательно:

	∞	∞		−1
	=	( − ) +
				( − )
	=0	=1
При этом возможны следующие случаи:
1) −1 = 0, > 0
lim	= 0 но сама функция		в точке не определена.
→

В этом случае точка z=aназывается устранимой особой точкой f(z). Ряд Лорана не содержит главной части, т. е. в ряде нет членов с отрицательными показателями.

2)Пусть в главной части ряда Лорана, функция имеет конечное число ряда слагаемых, в таком случае точка называется полюсом порядка k:

=	−		+	−+1	+ +	−1	+
	( − )			−1		−
				( − )

3)Точка z=aназывается существенно особой точкой функции f(z) если главная часть ряда Лорана в окрестности точки а, содержит бесконечное число слагаемых.

	Связь между нулем и полюсом функции:
	Если точка z=(a) является полюсом порядка k, функции f(z) то функция =			1	имеет в этой
				( )
	точке ноль порядка k;
	Функция g(z) в точке z=aнуль порядка k, то функция =	1	имеет полюс порядка k.
		( )

45. Поведение аналитической функции в бесконечно удаленной точке.

Окрестностью бесконечно-удаленной точки = ∞называется внешность круга > , достаточно большого радиуса R.

Пусть функция f(z) является аналитической в окрестности = ∞, тогда (1)будет аналитична в окрестности z=0 и следовательно в этой окрестности её можно разложить в ряд Лорана.

1

=

∞

+

∞ −1

=0

=1

Заменив в выражении выше:

→

1

;

→

получим:

−

=

∞ −

+

∞

=0

=1

Ряд выше называется рязложением функции f(z) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки = ∞. При этом левая часть выражения называется правильной частью, а правая главой частью.

1)Если главная часть в ряде отсутствует т.е все = 0, то точка = ∞. Называется устранимой особой точкой функции f(z), в этом случае lim→∞ = 0

2)Точка = ∞ называется нулем порядка k функции f(z) если главная часть ряда Лорана отсутствует а для правильной части выполняется условие:

0 = −1 = = −1 = 0; − ≠ 0

3)= ∞Называется полюсом порядка kфункции f(z) если главная часть ряда Лорана содержит kслагаемых:

	∞ +
=				+ ; ≠ 0
	=0			=1

4)Если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых то = ∞ Называется существенно особой точкой f(z)

46. Вычеты аналитических функций. Вычисление вычетов в полюсах. Вычет в бесконечно удаленной точке.

Вычетом функции f(z) в точке z=aназывается коэффициент −1в разложении этой функции в ряд Лорана.Вычет обозначается = = −1

		=	=	1
=		−1		2

Где – замкнутый контур окружающий особую точку a и ориентированный положительно.

В качестве можно взять окружность с центром в a имеющую малый радиуси не содержащий внутри других особых точек.

= 2 = ( )

Вычисление вычетов:

1)Пусть z=a устранимая особая точка f(z), тогда в окрестности этой точки, в ряде Лорана отсутствует главная часть поэтому −1 = 0

= = 0

2)Пусть z=aявляется простым полюсом функции f(z) тогда ряд Лорана имеет вид:

∞∞

= −1( − ) +

=0

=1 −

= lim − ( )

=

→

Если в окрестности точки может быть представлена как

=

то

= lim

−

=

( )

=

→

′

3) Пусть f(z)имеет в точке z=a полюс порядка k, тогда вычет находится по формуле

=

1

lim

−1

( − )

=

− 1 ! →

−1

4) Вычет в бесконечно-удаленной точке.

Вычетом в бесконечно-удаленной точке называется коэффициент при 1в разложении

функции в ряд Лорана взятой с обратным знаком

	= −	= −	1		=	1
=∞	−1		2			2

ориентирована отрицательно - окружность |z|>Rдостаточно большого радиуса ориентирована положительно.

47. Основная теорема о вычетах. Теория суммы вычетов.

Пусть f(z) однозначная и аналитическая в односвязной области D за исключением конечного числа особых точек 1, 2, … ,

Пусть далее Г замкнутая положительно ориентированнаякривая целиком лежащая в области Dи содержащая внутри 1, 2, … , .

= 2		( )
	=

Г=1

Следствие если f(z) является аналитической на всей расширенной комплексной плоскасти за исключением 1, 2, … , то сумма вычетов во всех особых точках:

			+		= 0
=				=∞
=1
	= −
=∞				=

=1

48. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов.

Основная теорема теории вычета и следствие из неё позволяют вычислить интеграл по замкнутому контуру если подинтегральная функция внутри области ограниченной этими функциями контуром имеет конечное число особых точек.

49. Приложение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов. Лемма Жордана.

1) Интеграл вида

2

= ,

0

Равен

=		+ −1	;	− −1
		2		2
	=1

2 Интеграл вида:

+∞

−∞

+∞

= 2 = , > 0

−∞

=1

3 Лемма Жордана

+∞

−∞

Если = max где Г , стремится к нулю, Г −верхняя полуплоскость радиуса R с центром в начале координат то при t<0

lim = 0

→∞

Г

Если f(z) удовлетворяет всем условиям то

+∞

> 0 ;	= 2		;		> 0
		=
−∞		=1
+∞
< 0 ;	= −2			;	< 0
		=
−∞		=1

50. Оригиналы и изображения. Теорема о существовании изображения. Необходимый признак существования изображения.

Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1)f(t)=0 при t<0

2)f(t) – кусочно-непрерывная при ≥ 0. Т.е она непрерывна или имеет точки разрыва первого рода, причем на каждом конечном промежутке оси tтаких точек лишь конечное число.

3)Существуют такие числа > 0 и 0 ≥ 0, что для всех tвыполняется неравенство

≤ 0 , т.е при возрастании tфункция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции.

Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменнгоp=s+i

Определяемая интегралом:

∞

= −

0

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) зазывают преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде f(t)=..F(p)

Теорема о существовании изображения.

Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) существует(определено) в полуплоскости

= > 0,

где 0 − показатель роста функции f(t) причем функция F(p) является аналитической в этой полуплоскости( > 0).

Необходимый признак существования изображения.

Если функция F(p) является изображением функции f(t) то

lim = 0

→∞

51. Линейность преобразования Лапласа. Теоремы подобия, смещения, запаздывания.

Линейность:			+			.	=.			+
1	1		2	2			1	1		2	2

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

1 и 2 постоянные числа.

	Подобие:	. =.	1			, > 0

Т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

Смещение:

. =. −

Т.е. умножение оригинала на функцию ведет за собой смещение переменной .

Запаздывание: −

. =. − , > 0;

Т.е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на −