matan

21. Тригонометрический ряд Фурье. 2п-периодичных функций.

Тригонометрическим рядом называется, функциональный ряд вида:

0

2 + 1 cos + 1 sin + 2 cos 2 + 2 sin 2 … cos + sin + =

= 20+ ∞=1( cos + sin )где 0, 1 – действительные числа называемые коэффициентом ряда.

Пусть функция f(x) является непрерывной периодической функцией с периодом 2п. Предположем, что эта функция разлагается в тригонометрический ряд.

0

∞

= 2 + ( cos + sin )

=1

Так как функция имеет период 2п, то её можно рассматривать на любом промежутке 2п. В качестве основного промежутка выбирают отрезок [-п;п]. В некоторых случаях удобно [0;2п]

Предположим, что ряд сходится равномерно на всей числовой прямой следовательно, этот ряд можно почленно интегрировать на отрезке [-п;п].

							1
						0 =
								−
			1			+2
	=						cos		, = 0,1,2 …
				1		+2
		=						sin	, = 1,2 …

Теорема Дирихле. Пусть 2п-периодическая функция f(x) на отрезке [-п;п] удовлетворяет двум условиям:

1)F(x) кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода.

2)F(x) кусочно-монотонна, то есть монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна. Тогда соответствующий функции f(x) ряд Фурье, сходится на этом отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией :S(x)=f(x)

	В каждой точке 0разрыва функции сумма ряда равна: 0		=		0−0 + ( 0	+0)
2.							т.е.
					2
	равна среднему арифмитическому пределов функции f(x) справа и слева.
3.	В точках x=-п и x=п, (на концах отрезка) сумма ряда равная
	− = ( ) =	− + 0 + ( − 0)
	2

22. Разложение четных и нечетных функций в тригонометрический ряд Фурье

Если разлагаемая на отрезке [-п;п] в ряд Фурье функция f(x) является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда( он становится так называемым неполным)

Если функция f(x) четная, то её ряд Фурье имеет вид:

					0				∞
				=		+			(		cos )
				2
									=1
Где
							2
				0 =
									0
		2
=							cos			, = 0,1,2 …
			0

Если функция f(x) нечетная, то её ряд Фурье имеет вид:

∞

	=		(	sin )
			=1
Где
	2
=			sin		, = 1,2 …
		0

23. Тригонометрический ряд Фурье для непереодических функций, заданных на отрезке длины 2п, на отрезке [0;п].

24. Тригонометрический ряд Фурье дляфункций с произвольным периодом, ряд Фурье для функций заданных на отрезке [a,b]

Пусть функция f(x) является кусочно-непрерывной и ограниченной на отрезке [a,b]тогда для неё можно указать периодическую функцию с периодом T=b-a, которая является периодическим продолжением исходной функции f(x) с отрезка [a,b]на всю числовую ось.

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Дерехле и следовательно её можно разложить в ряд Фурье.

0

∞

=

=

+

cos

+

sin

2

=1

; где =

2

−

2

0

=

−

2

=

cos

, = 1,2 …

−

2

=

sin

, = 1,2 …

−

25. Комплексная форма ряда Фурье.

Ряд Фурье может применятся к комплексной форме записи. Пусть дана f(x) на промежутке [-п;п]

0

∞

=

+

cos

+

sin

2

=1

+ −

=

;

2

=

+ −

2

∞

+ −

+ −

=

0

+

(

+

)

2

2

2

=1

−

+

0

= ,

= ;

=

2

0

2

2

−

∞−1

	=	+						+	−
	0
			=1					=−∞
∞
=	− Комплексная форма ряда Фурье.
=−∞
			1
		=						−
			2
						−
						1
		0	=
				2
								−

26. Ортогональные системы функций и ряды Фурье по ним.

Две функции f(x) и g(x) называются ортогональными на отрезке (a;b) если их скалярным произведением является.

, = = 0

Система функции.

	,	2		, … ,		, называетсяортогональнойнаотрезке(a;b) если(	) =
1
	=			0, ≠
					; =

Система функции ( ) называется ортонормированной если система его функций ортоггональны и норма каждой системы ортогональны.

							0, ≠
	(	, ) =				=
							1 ; = ; = 0,1, 2 …

Ряд Фурье по ортогональным системам функции.

Пусть f(x) интегрируемая на отрезке (a;b) функция и пусть (x) это системаортогональных функций на этом же отрезке (a;b). Предположим , что функция f(x) может быть представлена как:

Ряд Фурье:

∞

=	+ + +		+ =
0 0	1 1

=0

Где 0, 1, некоторые постоянные числа называемые коэффициентом ряда.

( ; )

=

=

, = 0, 1, 2 …

|

|

2

Числа называются коэффициентами Фурье функции f(x) на промежутке [a;b] по ортогональной системе функции ( ).

27. Свойства минимальности коэффициентов Фурье.

Пусть ( ) ортогональная система функций на [a;b]

Выражение вида:
		=	0	+	+ +
		0		1 1
Где выражение называется многочленом n-ого порядка ( )где							, , –некоторые
							0	1
действительные числа.
f(x) является интегрируемым квадратом на [a;b]
										2
2 =	( −		)2 =		( −				( ))
						=0
Выражение называется квадратичное уклонение ( )от многочлена										на [a;b].

Коэффициент при котором квадратичное уклонение 2							будет минимальным называется
коэффициентом наилучшего приближения многочлена									к функции ( ).
					2
2 =		2 −	2			+		( − )2			| |2
		=0				=0

Из равенства следует что 2 будет зависеть только от последней суммы и следовательно будет

минимальным в том случае если = таким образом коэффициентом наилучшего приближения функции f(x) многочлена является коэффициентом Фурье, этой функции f(x) по ортогональной системе функции ( )

В этом и состоит свойство минимальности коэффициента Фурье из свойства минимальности коэффициента Фурье и последней формулы следует :

						2	= 2 −			2
min 2	=	2	−	2				2
			=0					=0

28. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.
Так как 2	≥ 0то из формулы:
								2 = 2 −			2
	min 2 =	2	−			2			2
				=0					=0
Следует неравенство:
						2 =
			2	| |2	≤			2

=0

Равенство выше справедливо для любых n.

Левая часть этого равенства возрастает монотонно при возрастании числа nи при этом остается ограниченным числом.

2- означает , что		2|		|2	является сходящимся и имеет место неравенство:
	=0
					2	|	|2 ≤	2
					=0
Неравенство называется неравенством Бесселя.
Из формул выше следует, что величина min						2	→ 0 тогда и только тогда, когда
					2	|	|2 =	2

=0

Равенство выше называется равенством Парсеваля.

Если система ( ) является ортонормированной то неравенство Бесселя и равенство Парсеваля преобразуются в:

2	≤	2
=0
2	=	2

=0

Вчастности если f(x) является 2п периодичной то для кэффициента этой функции неравенство Бесселя запишется :

		∞			1
0		+ ( 2	+ 2) ≤			2
2						−
		=1
		∞			1
0	+ 2		+ 2	=		2
2						−
		=1

29. Комплексные числа. Формы записи комплексных чисел. Последовательности комплексных чисел.

Опр. Комплексным числом называется число вида = + , где = действительная часть, а= мнимая части числа z.

I – мнимая единица.

Формы записи комплексных чисел.

1)Алгебраическая - = +

2)Тригонометрическая = ( + )

3)Экспоненциальная =

30. Кривые и области на комплексной плоскости.

Опр. Множество точек z в комплексной плоскости C удовлетворяющие неравенству | − 0| <называется открытым кругом радиуса cцентром в точке 0или окрестностью точки 0.

окресность точки 0 обозначается ( 0)

Если из ( 0) исключить точку 0 , то получим проколотую окрестность и обозначается ( 0)

Комплексная плоскость Cдополненная бесконечно-удаленной точкой = ∞ называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается символомС.

Окрестность = ∞ называется множеством точек z

| | >

То есть окрестность = ∞ представляет собой внешнюю часть круга радиуса R с центром в начале координат.

Пусть Dнекоторое множество точек расширенной комплексной плоскостиС, точка 0 называется внутренней точкой множества Dесли существует окрестность 0целиком содержащаяся на множестве D.

Точка 1называется граничной точкой множества D; Если в любой её −окрестности найдутся точки которые как принадлежат множеству Dтак и не пренадлежат этому множеству.

Совокупность граничных точек множества Dобразуют его границу которая обозначается Г.

Множество Dс присоединенной границей Г называется замкнутым.

Множество D называется открытым если каждая его точка является внутренней точкой этого множества.

Множество Dназывается связным, если две любые точки этого множества можно соединить непрерывной прямой которая лежит на множестве D.

Открытое связное множество называется областью если граница области состоит из нескольких не пересикающихся частей такая область называется многосвязной.