matan

31. Понятие функции комплексной переменной, её геометрическая интерпретация. Предел и

непрерывность ФКП.

Пусть = + определена в некоторой области D.

Опр.

Если в каждой точке zиз области Dпо некоторому правилу fпоставлена в соответствие вполне определенное комплексное число = ( ), то говроят что в области Dопределена однозначная функция = ( ), комплексной переменной z.

Если каждой точке zиз области Dсоответствуют несколько значений wто функция = ( ), называется многозначной.

Однозначная функция = ( ), осуществляет отображение точек комплексной плоскости на соответствующей точке комплексной плоскости образом области Dпри отображении = ( ), в плоскости будет некоторая область w

Опр. Комплексное число A=a+ibназывается пределом функции f(z) в точке 0если для любого

> 0 существует = ; 0 так что для любых ( 0)выполняется неравенства | − | <

Опр. A=a+ibвf(z) называется пределом в точке 0 если для любой последовательности где

( 0)сходящийся к точке 0 соответствует последовательность ( ) сходящаяся к числу А.

lim =

→0

Опр. f(z) комплексной переменной zопределена в некоторой окрестности точки 0 называется непрерывной в этой точке если:

lim = ( 0)

→0

32. Основные элементарные функции комплексной переменной: степенная, целая рациональная, дробная рациональная, показательная, тригонометрические.

1) Степенная

= ,

Эта функция определена непрерывно и однозначно, на всей расширенной плоскости

2Целая рациональная функция или многочлен:

= + −1		+ +	−1	+
0	1

, = 0, для любых

3Дробно-рациональная функция

= 0 + −1 + + −1 +0 + 1 −1 + + −1 +

n<m

;

Эта функция определена непрерывно и однозначно для любых за исключением тех точек где знаменатель обращается в ноль

4)Показательная функция

= = + = = +

= ; =

Свойства:

1) 1+ 2 = 1 2

2 является переодической с T=2Пi, то есть +2 =

3)Функция является непрерывной на всей комплексной плоскости. Точка z=∞предела не имеет.

5_ Тригонометрические функции

sin =	− −	; cos =	+ −	;	=	sin	;		=	cos
	2		2			cos				sin

33. Основные элементарные функции комплексной переменной: гиперболические, логарифмическая, обратные тригонометрические, обратные гиперболические.

	=	− −	; =	+ −	;
		2		2

Эти функции являются переодическими с периодом 2kпi.

Функция логарифмическая.

= = + = ln + ( + 2 )

Обратные тригонометрические функции
= = −(2 +		1 − 2
= = −( +	1 − 2

11 +

= = 2 1 −

1+ 1

= = − 2 − 1

Обратные гиперболические функции

= = ( +	2 + 1)
= = ( +	2 − 1)

11 +

= = 2 1 −

= =	1		+ 1
	2		− 1

34. Производная ФКП. Условие Коши-Риммана.

Пусть функция = определена в некоторой окрестности 0.

Опр. Поизводнойf(z) точки 0 называется число равное пределу отношения − ( 0)при z→ 0

− 0

Если предел существует.

′	= lim		− ( 0)		= lim	∆( 0)
0	→ 0	−			∆ →0 ∆
			0

Функция имеющая производную в точке 0 называется дифференцируемой в этой точке.

Функция f(z) называется дифференцируемой в области Dесли она дифференцируема в каждой точке этой области.

Из дифференцируемости функции f(z) в точке 0 следует непрерывность функции в данной точке.

Правила нахождения производной ФКП

1) Если функции f(z) и g(z) дифференцируема в некоторой точке 0, то

		±		′	= ′ ± ′
′				= ′ ( ) + ′
			′	′	− ′
			=
					2

2)Если функция w=f(z) имеет производную ′ ( ) в точке zа функция w=F(w) имеет производную F’(w) в точке w=f(z), то сложная функция W=F(f(z)) дифференцируема в точке z.

W’=F’(w)*f’(z); w=f(z)

3)Если функция w=f(z) является взаимнооднозначной в окрестности точки 0 и функция= −1( )является обратной то:

′

=

1

или ′

′ =

1

( −1 )′

′( )

0

0

0

0

Условие Коши-Рамана.

Если функцию w=f(z)=u(x;y)+iv(x;y), дифференцировать в точке 0

= 0

+ 0, то функция u(x;y) и

v(x;y) имеют первые частные производные в точке ( 0, 0)

=

;

= −

35. Аналитические функции. Гармонические функции. Востановление аналитической функции по её известной действительной или мнимой части.

Однозначная функция f(z) называется аналитической в точке 0 если она дифференцируема в самой точке 0так и в её окрестности.

Функция f(z) называется аналитической в точке 0 если она аналитическая в каждой точке этой области.

Точка 0 в которой функция f(z) является аналитической называется правильной точкой функции f(z) . Точка 0 в которой функция f(z) не является аналитической или не определена называется особой точкой этой функции

Однозначная аналитическая функция f(z) называется регулярной.

Гармонические функции.

Пусть функция w=f(z)=u(xy)+iv(xy) является аналитической в некоторой области Dпричем u(xy) и v(xy) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

Части аналитической функции f(z) удовлетворяют в области Dуравнению Ла-Пласа.

2 2 ∆ = 2 + 2 = 0

Действительные и мнимые части комплексной функции w=f(z) являются гармонической в области D функции.

U(xy) и v(xy) удовлетворяющие в области Dусловиям Коши Римананазываются сопряженными.

Всякая гармоническая в односвязной области Dфункция служит дуйствительной(мнимой) частью некоторой аналитической в области Dфункции.

36. Интеграл от ФКП его свойства и вычисление.

Пусть в некоторой области Dкомплексной области C определена однозначная функция

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

l-кусочно-гладкая ориентированная кривая в области Dс начальной точкой А и конечной точкой В.

Разобьем lна nчастей(элементарных дуг) в направлении от точки

= 0 к точке = , точками z1,z2 …

Выберем произвольным образом точку и составим интегральную сумму.

=		∆	где ∆	=	−
					−1
	=1
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм =								∆
						=1

И он не зависит от способа разбиения дуги lна элементарные дуги ни от выбора точек на этих дугах, то он называется интегралом функции f(z) по кривой l.

= lim		∆

=1

Вычисление интеграла от функции f(z) комплексной переменной z по кривой lсводится к вычислению криволинейных интегралов второго ряда от действительных функций действительных переменных.

=

− +

+

=

+

+

Если кривая lзанята параметрически то есть задана уравнением z=z(t)=u(t)+iv(t) то последнюю формулу можно записать как:

=		′

Свойства интеграла ФКП.

1)		= −
2)		±		=		±
3)	Оценка модуля интеграла.
					Если ≤ ; |				( | ≤
4)		=	+		2	, где = 1			+ 2
			1

37. Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной области. Интеграл с переменным верхним пределом. Первообразная. Теорема Мореры.

Пусть в односвязной области D задана непрерывная однозначная аналитическая функция f(z) тогда интеграл от функции f(z) по любой замкнутой кривой Г целиком лежащий в области Dравен 0 то есть

= 0

Г

Следствие: f(z) аналитическая функция в многосвязной области Dи на её границах которая состоит из внешнего контура Г и внутренних контуров 1, 2 …

Тогда интеграл по внешнему контуру Г.

=

Г=1

Интеграл с переменным верхним пределом.

Пусть функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) аналитическая в некоторой области D, т.к. для криволинейных интегралов второго рода стоящих в правой части выполняются условия = (− ) ; =

То эти интегралы не зависят от пути интегрирования, а следовательно и интеграл			не
зависит от вида кривой lсюединяющей точки zи 0, а зависит только от zи 0
=
	0

Формула выше называется интегралом с переменным верзним пределом. Теорема Мореры.

Пусть f(z) функция непрерывная в однозначной области Dи интеграл не зависит от пути

интегрирования по кривой lсоденияющей начальную и конечную точки из области Dтогда функция f(z) является аналитической в области D, причем F’(z)=f(z) то есть F(z) является первообразной для функции f(z) в области D.

Совокупность всех первообразных для функции f(z) в области Dназывается неопределенным интегралом от функции f(z) и обозначается

Таким образом = +

Пусть функция	=		является первообразной f(z) в области D				= +
		0				0
= 0получим 0 = 0				+ следовательно = − 0	=			− ( 0)
					0

Интегралы от элементарных ФКП вычисляются аналогично соответствующим интегралам от функции действительного переменного.

38. Интегральная формула Коши для односвязной и многосвязной области.

Пусть f(z) аналитична некоторой односвязной аналитической области Dи пусть Г это граница этой области.

Тогда:

0	=	1				где 0
		2п			− 0
				Г

А интегрирование ведется по контуру Г в положительном направлении. Интеграл правой части последнего равенства называется интегралом Коши, а сама формула называется интегральной формулой Коши.

Эта формула позволяет находить значение функции f(z) для любых z через её значения на границе этой области. Формула справедлива также и для многосвязной области. Но в этом случае обходится так чтобы область Dоставалась слева.

Если f(z) является аналитичной в области Dи на её границе Г то длялюбых

				!			( )
		0	=
				2 !			( − ) +1
						0
						Г

39. Функциональные ряды в комплексной области. Равномерная сходмость. Теорема Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

Функциональным рядом в комплексной области называется ряд вида:

∞

= 1 + 2 + + +

=1

Где ( )фкпz=x+iy, определенные на некотором множестве G.

= + + + =				( )
	1	2

=1

− n-ая частичная сумма функционального ряда.

Функциональный ряд называется сходящимся к сумме если lim	→∞			= ( )

Множество , точек zв которых ряд сходится называется областью сходимости этого ряда.

			=		+	+
			+1		+2
	остаток функционального ряда.
Ряд сходится в некоторой точке Zтогда и только тогда, когда lim							→∞		= 0

Опр. Ряд называется равномерно сходящимся в области D к сумме f(z) если для любого > 0

существует = ( )такой, что для любого n>N выполняется неравенство:| | = | −
	| < для любых
Теорема Вейерштрасса.
	Если члены функционального ряда для любого и для любого удовлетворяют
	неравенству |	| ≤ ,		> 0и числовой ряд	∞	сходится, то функциональный
					=1

ряд сходится равномерно в области D. Свойства функционального ряда:

Если члены равномерно сходящихся в области D являются аналитическими функциями в области D то этот ряд можно почленно интегрировать вдоль любой кривой причем справедливо равенство:

∞ ∞

		=
	=1	=1
2Пусть функциональный ряд сходится в каждой точке , а ряд					∞		′	( ) сходится равномерно
					=1
в области
		∞	∞
′	= (	( ))′ =		′ ( )
		=1	=1

3Пусть члены функционального ряда являются аналитическими в области D к сумме f(z) тогда f(z) также будет аналитической в области Dфункцией.

40. Степенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля. Круг сходимости степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Опр. степенным рядом называется ряд вида:

∞

( − ) = + −				+ ( − )2		+ + −		+
	0	0 1	0	2	0		0

=0

Где 0 = 0 + 0

Теорема Абеля.

Пусть степенной ряд сходится в некоторой точке 1 ≠ 0тогда этот ряд сходится абсолютно в

− 0 < 1 − 0 =

И сходится равномерно в круге

| − 0| ≤ <

Если ряд сходится в точке 2 то он сходится во всех точках zудовлетворяющих − 0 > 2 − 0

Для каждого степенного ряда существует так называемый круг сходимости с центром в точке 0 и Rсходимости R≥ 0

= lim | |

→∞ +1

= lim		1
→∞

Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Пусть R>0 это Rсходимости степенного ряда тогда этот ряд можно почленно дифференцировать в круге

| − 0| <

Любое число раз. Получаемые при этом дифференцировании степенные ряды имеют тот же Rсходимости, что и степенной ряд можно почленно интегрировать вдоль любой гладкой кривой принадлежащей целеком кругу

| − 0| <