1. Понятие функции. Ограниченные функции

Пусть X и Y некоторые числовые множества

Если каждому по некоторому правилу f ставится в соответствие единственный элемент то говорят, что задана функция.

Обозначается где х – аргумент или независимая переменная функции; у – значение функции или зависимая переменная.

Множество Х значений независимой переменной называется областью определения функции и обозначается или

Множество всех значений зависимой переменной Y называется множеством значений функции и обозначается или

Частное значение функции при заданном частном значении аргумента обозначается .

Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами , где .

Способы задания числовой функции:

1) табличный – указываются значения переменной х и соответствующие им значения переменной y, составляется таблица

x	…	…	…	(можно использовать для записи наблюдений);
f(x)	…	…	…

2) аналитический – указывается область определения функции и задается формула, по которой каждому значению ставится в соответствие ;

3) графический – задается график функции.

Периодичность функции

Функция с областью определения называется периодической, если существует такое число что для любой выполняются условия:

1)

2)

Число Т называется периодом функции.

Числа где также будут периодами функции.

Наименьший из положительных периодов, если он существует, называется основным периодом.

Значения периодической функции повторяются через период Т, следовательно, для построения графика данной функции достаточно построить часть графика на любом из промежутков длины Т (из ) , а затем произвести параллельный перенос данной части графика вдоль оси Ох на

Если функция – периодическая и имеет период Т, то функция где A, k и b также периодична, причем ее период равен

Справедливы утверждения:

1) если и – периодические функции с общим периодом Т, то функции – также периодические, с тем же периодом Т;

2) для того, чтобы периодические функции и с периодами Т₁ и Т₂ имеет общий период Т (число Т должно нацело делиться на Т₁ и Т₂) необходимо и достаточно, чтобы отношение было числом рациональным.

Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что | f ( x ) |<= M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

2. Функции нечетные, четные, монотонные

Монотонность функции

Пусть х₁, х₂ – произвольные значения из области функции такие что

Если при данном условии выполняется:

то функция называется возрастающей;

– убывающей;

– неубывающей;

– невозрастающей.

Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции называются монотонными функциями (возрастающие и убывающие – строго монотонными).

Функция называется кусочно-монотонной на множестве Х, если данное множество можно разделить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция монотонна.

Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. или ) называются промежутками знакопостоянства.

Значения аргумента при которых , называются нулями функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью Ох.

Четность и нечетность функции

Функция называется четной, если:

1) – симметричное множество относительно ;

2) для любого выполняется

Функция называется нечетной, если:

1) – симметричное множество относительно ;

2) для любого выполняется

Если функция является четной или нечетной, то говорят, что она обладает свойством четности.

График четной функции симметричен относительно оси . График нечетной – относительно начала координат.

Свойства четных (нечетных) функций:

1) если f и g – четные функции на множестве Х, то функции

четные функции на Х;

2) если f и g – нечетные функции на множестве Х, то функции

нечетные функции на Х;

четные функции на Х.