- •ВВЕДЕНИЕ. ОБЩИЕ СРЕДСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ СИСТЕМ
- •ТЕМА 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Законы и тождества алгебры множеств
- •1.4. Принцип двойственности
- •1.5. Уравнение с множествами
- •1.6. Упорядоченное множество. Прямое произведение множеств
- •1.7. Соответствия
- •1.8. Отображения и их виды
- •1.9. Отношения и их свойства
- •1.10. Виды отношений
- •1.11. Нечёткие множества. Способы задания. Понятие лингвистической переменной
- •1.12. Операции над нечёткими множествами
- •1.13. Параметры нечётких множеств
- •1.14. Методы дефаззификации нечётких множеств
- •ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
- •2.1. Основные понятия и определения. Способы задания графов
- •2.2. Типы графов
- •2.4. Числовая функция на графе. Сигнальные графы
- •2.5. Правило Мэзона
- •2.6. Операции над графами
- •2.7. Задача о кратчайшем пути связного неориентированного графа
- •2.8. Деревья. Символ дерева
- •2.9. Покрывающее дерево связного графа. Экстремальное дерево
- •2.10. Корневые деревья. Код дерева
- •ТЕМА 3. ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ
- •3.1. Основные понятия и определения
- •3.2. Задача о максимальном потоке. Алгоритм Форда-Фалкерсона
- •3.3. Транспортная задача
- •ТЕМА 4. СЕТИ ПЕТРИ
- •4.1. Особенности сетей Петри и области их применения
- •4.2. Основные определения. Способы задания сетей Петри
- •4.3. Функционирование сетей Петри
- •4.4. Свойства сетей Петри
- •4.5. Анализ сетей Петри
- •4.6. Подклассы и расширения сетей Петри
- •5.1. Основные понятия алгебры логики
- •5.2. Элементарные булевы функции
- •5.3. Полнота системы булевых функций
- •5.4. Законы и тождества алгебры логики
- •5.6. Минимизация функций алгебры логики
- •5.8. Синтез комбинационных схем
- •5.9. Понятие о конечных автоматах и способы их задания
- •5.10. Синтез конечных автоматов
- •6.1. Временное представление сигналов. Классификация сигналов
- •6.2. Спектральное представление сигналов. Разложение произвольного сигнала по заданной системе функций
- •6.3. Гармонический анализ периодических сигналов
- •6.4. Комплексная форма ряда Фурье
- •6.6. Свойства преобразование Фурье
- •6.7. Представление сигналов в виде ряда Котельникова
- •6.8. Корреляционный анализ детерминированных сигналов
- •6.10. Частотный спектр АМ сигнала
- •6.11. Основные вероятностные характеристики случайных сигналов
- •6.12. Спектральные плотности стационарных случайных процессов
- •ТЕМА 7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
- •7.1. Классификация элементов
- •7.2. Уравнения динамики и статики
- •7.3. Понятие передаточной функции
- •7.4. Передаточные функции различных соединений звеньев
- •7.5. Временные характеристики систем и их элементов
- •7.6. Понятие о частотных характеристиках систем и их элементов
- •7.7. Понятие о логарифмических частотных характеристиках
- •7.8. Построение логарифмических частотных характеристик разомкнутых одноконтурных систем
- •7.9. Математические модели элементов в параметрах пространства состояний
- •7.10. Решение уравнений состояния первого порядка
- •7.11. Представление уравнений состояния при помощи матриц
- •7.14. Каноническая форма уравнений состояния
- •7.15. Понятие об устойчивости линейных систем
- •7.16. Математическое описание дискретных систем и их элементов
- •7.17. Уравнения состояния и моделирование дискретных систем
- •ЛИТЕРАТУРА
Случайный процесс, в котором отсутствует связь между предыдущими и последующими значениями называют чистым случайным процессом или белым
шумом. Корреляционная |
функция белого шума представляет собойd - функ- |
|
цию и изображается |
бесконечно тонким импульсом |
где |
Белый шум в чистом виде не существует в природе (является физически нереальным), однако он представляет собой абстракцию, удобную для решения некоторых задач.
6.12. Спектральные плотности стационарных случайных процессов
Для стационарных случайных функций возможно использование аппарата спектрального анализа. Спектральная плотность случайного процесса определяется как преобразование Фурье автокорреляционной функции , т. е.
С учётом того, что |
, выражение (6.32) преобразу- |
ем к виду |
|
¥ |
¥ |
Sx ( jw) = ò |
K x (t)cos wtdt - j ò K x (t)sin wtdt. |
-¥ |
-¥ |
Так как Kx (t)sin wt – нечётная функция, то второй интеграл равен нулю. Kx (t)cos wt – чётная функция, следовательно
Спектральная плотность является действительной и чётной функцией частоты ω. На графике всегда симметрична относительно оси ординат.
Если спектральная плотность известна, то по формуле обратного преобразования Фурье можно найти автокорреляционную функцию.
Зная, что , можно установить важную зависимость между дисперсией и спектральной плотностью случайного процесса
126
Взаимная спектральная плотность двух стационарных случайных процессов x(t) и y(t) определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции
Спектральная плотность белого шума постоянна во всём диапазоне - ча стот тогда корреляционная функция
При |
обращается в бесконечность. Дисперсия белого шума |
бесконечно велика. |
|
То, что |
означает, что энергия белого шума распределена рав- |
номерно по всему диапазону частот, а суммарная энергия процесса равна бесконечности. Это указывает на физическую нереализуемость процесса.
Если случайный |
процесс |
имеет размерность напряжения[B], то |
|||
спектральная плотность |
имеет |
размерность |
éB2 × с ù |
. Она характеризует |
|
|
|
|
ê |
ú |
|
|
|
|
ë рад |
û |
|
удельную меру мощности, выделяемой на единичном резисторе.
По физическому смыслу , это накладывает жёсткие ограничения на вид допустимых функций корреляции.
При анализе случайных процессов вводится понятие эффективной ширины спектра. Пусть исследуемый процесс имеет спектральную плотность , приведённую на рис. 6.33, где – максимальное значение. Заменим его другим процессом, у которого спектральная плотность постоянна и равна в пределах некоторой полосы частот , а вне этой полосы равна нулю.
Sx (w)
Smax
Dwэф w
Рис. 6.33
Эффективная ширина спектра – это величина, определяемая выражением
¥
Dwэф = S 1(0) 0ò S (w)d w.
127