7.7. Понятие о логарифмических частотных характеристиках

Частотные характеристики удобно строить в логарифмическом масштабе, так как существенно сокращается объем вычислений. При этом все степенные функции становятся линейными, а наклон линии определяется показателем степени соответствующей характеристики. При построении логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) по оси абсцисс откладываются значения частот в логарифмическом масштабе. Отрезок этой оси, соответствующий изменению частоты в десять раз, называется декадой. Длина отрезка, равного декаде, не зависит от частоты и определяется выражением:

На рис. 7.7 отложены 3 декады, которые соответствуют изменениям частоты от 0,1 до 1, от 1 до 10 и от 10 до 100.

Для разметки логарифмической шкалы внутри каждой декады следует пользоваться значениями десятичных логарифмов чисел, которые приведены в таблице 7.1.

Таблица 7.1

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0,301	0,47	0,602	0,7	0,78	0,85	0,9	0,95	1

Значение логарифма произвольного числа показывает какую часть декады следует взять от ее начала, чтобы обозначит данные числа на оси (рис. 7.7).

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,8 1

2

3

4

5

6 7 8 9 10

20

30

40

50

80

100

Рис. 7.7. Типовая масштабная сетка

По оси ординат при построении логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) откладывают в равномерном масштабе значение коэффициента усиления, выраженное в децибелах и вычисляется по формуле Так как логарифма нуля не существует, нуль

137

на оси отсутствует и ось ординат является плавающей. Она может быть проведена через любое значение. Наклон отрезков прямых линий, из которых состоят ЛАЧХ, определяется по изменению усиления на интервале частот, соответствующем одной декаде.

Интегрирующее звено с передаточной функцией имеет следующие частотные характеристики:

Тогда при переходе к ЛАЧХ:

Вычислим значения	при	и найдем как измениться
при изменении частоты	на одну декаду. При	; при

т. е. усиление уменьшится на 20 дБ и наклон характеристики будет равен -20 дБ/дек во всем диапазоне частот, как показано на рис. 7.8.

Фазовая характеристика интегрирующего звена не зависит от -ча стоты и равна

Дифференцирующее звено с передаточной функцией W(s) = Ks имеет следующие частотные характеристики:

60

40

20

0

0,1

1

10

Рис. 7.8. ЛАЧХ интегрирующего звена с W (s) = 100s и дифференцирующего звена с

При переходе к ЛАЧХ L(w) = 20 lg A(w) = 20 lg K + 20 lg w.

138

	Вычислим изменение	при изменении частоты на одну декаду, зада-
вая	При	; при

т. е. усиление увеличится на 20 дБ и наклон ЛАЧХ будет равен-20 дБ/дек во всем диапазоне частот, как показано на рисунке 7.8.

Апериодическое звено с передаточной функцией								имеет
следующие характеристики:

.

Здесь – постоянная времени звена. При переходе к ЛАЧХ:

Частота		называется сопрягающей частотой. Для построения

асимптотической (приближенной) ЛАЧХ рассмотрим два диапазона частот:

и . В первом случае и слагаемым в выражении для

можно пренебречь, тогда							Во втором случае			и,
пренебрегая	единицей		в	скобках			в выражении		для,	получим
							. Таким образом, до со-
прягающей	частоты		ЛАЧХ идет				параллельно	оси частот		на уровне
, а	начинается		с			характеристика		идет	под	наклоном

-20 дБ/дек, как показано на рисунке7.9, а. Для упрощения обозначения наклоны будут обозначаться через, а наклоны через .

Для построения асимптотической ФЧХ рассмотрим ее значения при

При		при
; при		. По этим характерным точкам и

строится ФЧХ, как показано на рисунке 7.9, б. При построении ФЧХ ось частот размечается так же, а по оси ординат откладывается фаза в градусах или в радианах в линейном масштабе.

Частота , при которой носит название частоты среза, она соответствует коэффициенту усиления . Следовательно, при происходит усиление , а при ослабление гармонического входного сигнала.

139

40	0
20lgK
20	-1

0,1

1/T 1

10

w, рад/с

-20

а

0,1

1/T 1

10

w, рад/с

б

Рис. 7.9. ЛЧХ апериодического звена: а – ЛАЧХ, б – ЛФЧХ.

Форсирующее звено первого порядкас передаточной функцией имеет следующие частотные характеристики:

При переходе к ЛАЧХ:

Как и в предыдущем примере рассмотрим диапазон частот справа и слева

от сопрягающей частоты				, где – постоянная времени звена. При
имеем T 2w2 =1	и слагаемым					в выражении для L(w) можно пренебречь,
тогда	При					значение T 2w2 ?1, тогда пренебрегая едини-
цей в скобках в выражении для						получим L(w) = 20 lg K + 20 lg wT. Таким

образом асимптотическая ЛАЧХ представляет собой две прямые линии, сопря-

гающиеся в точке		(рис. 7.10, а). До сопрягающей частоты		ЛАЧХ
140

идет параллельно оси частот на уровне. После этой частоты характеристика идет под наклоном , это означает, что при изменении частоты

на одну декаду усиление увеличится на	,	изменяется от 0 до		, при

(рис. 7.10, б).

40			+1
20	0
	0,1	1/T 1	10

20lgK

0,1

1/T 1

10

Рис. 7.10. ЛЧХ форсирующего звена: а – ЛАЧХ, б – ЛФЧХ.

ЛАЧХ, изображенные на рис. 7.9, а и 7.10, а, являются асимптотическими. Максимальная погрешность между точной и асимптотической ЛАЧХ со-

ответствует частоте и равна , так

как именно под знаком корня поочередно пренебрегали одним из слагаемых при построении асимптотической ЛАЧХ.

Колебательное звено с передаточной функцией W (s) =	K
		.
	T 2s2 + 2xTs +1

Это звено второго порядка. Здесь – показатель колебательности, Частотные характеристики имеют вид:

141

При переходе к ЛАЧХ получим

.

Удобно строить ЛЧХ для , при этом передаточная функция

соответствует последовательному соединению двух апериоди-

ческих звеньев, а ЛАЧХ этих звеньев будут складываться. Результирующая ЛАЧХ приведена на рис. 7.11, а. Переход от прямой проведенной на уровне с наклоном на прямую с наклоном происходит на

сопрягающей частоте Фазовая характеристика изменяется в пределах от

0 до , при		0					(рис. 7.11, б).
40						-2
20lgK
20
0,1				1/T 1		10
-20

а

0,1

1/T 1

10

б

Рис. 7.11. ЛЧХ колебательного звена: а – ЛАЧХ, б – ЛФЧХ

При точном построении ЛАЧХ колебательного звена на частоте

возникает «всплеск», величина которого зависит от (штриховые линии на рис. 7.11, а). Существуют номограммы, которые позволяют уточнить вид ЛАЧХ с учетом значения .

142