éIa ù
êêIb úú	=	1
ê ú
				L
êIc ú
		R +		t
ëêId ûú

é P +1 1- P -T -1
ê	1- P P +1 T -1
ê
ê
ê-K -1 K -1 H +1
ë	K -1 -K -1 1- H

T -1 ù

éϕ

a

ù

L

êéIa*

úù

êϕ

ú

êI

*

ú

ú

b

ú

t

ú

-T -1ú

×

ê

+

ê

b

+

-

ú

ê

ú

L

ê

ú

1

H

ú

êϕc

ú

R +

êIc*

ú

H +1

û

ëêϕd ûú

t ê

ú

ëêId*

ûú

				é-E ù
1			ê		E	ú
				ê		ú	, (3.26)
		L
R +				ê-F ú
			ê		F	ú
		t ë				û

Рассмотренная методика легко распространяется на случай неоднородной линии. При этом достаточно постоянные погонные параметры в (3.25) заменить погонными параметрами на концах неоднородной линии. Так, Р – модель не- однородной линии без потерь, имеет следующий вид:

éIa ù				é	P +1
				ê	c1
êI	ú	=	Dt	ê	1- Pc
ê	b ú			ê	1
êIc ú			L	ê-Kc2 -1
ê	ú			ê	Kc -1
ëId û
				ë	2

1- P	-T -1 T -1		ù	éϕ		ù	é	*	ù
c1	c1	c1	ú		a		ê	Ia	ú
Pc +1 Tc						ú
		-1 -Tc -1ú		êϕ			êI*		ú	+
1	1	1	ú	´ ê	b	ú	+ ê	b	ú
Kc -1 Hc		+1 1- Hc	ú	êϕc		ú	ê	I*	ú
2	2	2		ê		ú		c
			ú	ϕ		û	ê	*	ú
-Kc2 -1 1- Hc2 Hc2 +1û				ë d			ëId		û

	é-Eù
t	ê	E	ú	,	(3.27)
	ê		ú
L	ê	F	ú
	ê		ú
	ë-F û

где L – полная индуктивность линии; с1=L/L(0), c2=L/L(l) - коэффициенты, ха- рактеризующие неоднородность; L(0), L(l) - погонная индуктивность на концах неоднородной линии.

3.5.3. Определение коэффициентов моделей

Как было сказано выше, коэффициенты Т, Р, H, К, входящие в состав неопре- деленных матриц, проводимостей P–моделей, и величины Ε и F вычисляются в результате численного интегрирования уравнений (3.16) и (3.20). В данном случае для решения используется неявная разностная схема, при которой произ- водные аппроксимируются конечно–разностными выражениями :

∂u ≈ u(x + x,t + t) −u(x − x,t + t) ;
∂x		2	x
∂2u ≈	u(x + x,t + t) − 2u(x,t + t) + u(x − x,t + t)				;
∂x2			x2
∂u ≈ u(x,t +Δt) −u(x,t);
∂t		t
∂2u ≈ u(x,t +Δt) − 2u(x,t) + u(x,t − t).
∂t2			t2
Результирующее разностное уравнение, аппроксимирующее уравнения
(3.16) и (3.20) имеет вид:
A un+1		− 2B un+1	+C un+1	+ D = 0.	(3.28)
m m−1		m m−1	m m−1	m

Здесь индексы m и n определяют положение сеточной функции umn в узлах

разностной сетки, причем индекс т отражает изменение сеточной функции по коор- динате x (m=0,1,2,…,М), а индекс n–по координате t (n=1,2,…). Граничные и на-

57

чальные условия (3.17) также аппроксимируются на разностной сетке:

u(0,t) ≈ un+1

=Фт+1, u(l,t) ≈ un+1

=ϕn+1, u(x,o) ≈ u0 .

0

l

m

Таблица 3.2

Неоднородная

Коэффициент

R-C-NR–структуры

распределённая линия

без потерь

Am

1

1

Bm

2 t + x2μ(xm )

2 t2 + x2 μ(xm )

t [2 + xσ (xm )]

t2 [2 + xσ (xm )]

Cm

2 − xσ (xm )

2 − xσ (xm )

2 + xσ (xm )

2 + xσ (xm )

2 x2 μ(x )

n

2 x2 μ(x

m

)

n

n−1

m

Dm

t [2 + xσ (xm )]

um

t2 [2 + xσ (xm )]

(2um

− um

)

Коэффициенты уравнения (3.28) выражаются по-разному для распреде- ленных структур разных типов. В табл. 3.2 приведены значения этих коэффи- циентов для R-С-NR – струкгуры и двухпроводной линии, выраженные через коэф- фициенты уравнений (3.16) и (3.20).

Можно показать, что используемая для решения (3.16) и (3.20) неявная

разностная схема удовлетворяет спектральному критерию устойчивости Неймана и позволяет получить решение при любом соотношении шагов ∆х и ∆t.

Наиболее эффективным методом решения разностного уравнения (3.28) яв- ляется метод прогонки. В соответствии с этим методом, решение отыскивается в два этапа. На первом вычисляются коэффициенты прямой прогонки am и bm по рекуррент- ным формулам:

am = Cm /(2Bm − a		),a = C /(2b ),				(3.29)
b = a (b	m−1	1	1	1	+ D )/C .
	+ D )/C ,b = a (Фn+1
m m m−1	m	m	1	1	1 1

Далее с помощью коэффициентов аm , bm при известном правом граничном условии ψn+1 определяется решение (3.28) (обратная прогонка):

un+1	=ϕn+1,un+1	= a	un+1 +b		,...	(3.30)
M	M −1	M −1 M		M −1	+b .
un+1	= a un+1 +b ,...,un+1			= a un+1
m	m m+1	m	1	1 2	1

Если теперь аппроксимировать производные на краях линии в виде

∂u		≈	un+1	−Фn+1		∂u		≈	ϕn+1 −un+1
∂x			1		,	∂x			M −1	,
				x					x
		x=0						x=l

то с помощью формул прямой и обратной прогонки можно доказать справедливость соотношений (3.21) и определить значения входящих в их состав коэффициентов.

В общем случае коэффициенты Т, Р, Н, К неопределенных матриц проводимо- стей, а также коэффициенты Ε и F, характеризующие состояние распределенной структуры на предыдущих шагах численного интегрирования, вычисляются по сле-

58