u3 = 1 0 0 X .

Так как напряжение u1 входит в вектор независимых источников, то: u1 = 1 0 0 Xни .

В итоге получим:

u46 = −1 0 3 X + 1 0 3 Xни = D1X + D2 Xни .

3.Математические модели элементов схем

3.1. Представление моделей элементов в программах автоматизированного проектирования электрических цепей (АПЭЦ)

При создании программ АПЭЦ наряду с выбором алгоритмов формирования и решения уравнений математической модели схемы (ММС) важными задачами

являются определение формы представления моделей элементов и организация вычислений по моделям в процессе расчёта схемы.

Графически модели элементов представляются в виде нуль-полюсников, одно-полюсников, двухполюсников и многополюсников или их комбинаций.

Введём понятия нуль-полюсных и однополюсных элементов.

Нуль-полюсный элемент - это фиктивный элемент схемы, который не имеет узлов подключения и используется для введения в уравнения ММС неэлект- рических величин, например логических функций, описывающих состояние схемы или её элементов. На принципиальной схеме нуль-полюсник может отсутствовать или условно изображаться в виде двухполюсного элемента, оба полюса которого подключены к одному узлу схемы, обычно базисному.

Однополюсный элемент характеризуется электрическими величинами - током и узловым потенциалом. Его можно рассматривать как частный случай двух- полюсника с одним заземлённым полюсом. Нуль- и однополюсники применяются для составления макромоделей элементов.

Понятия двух- и многополюсника общеизвестны, поэтому, не останавливаясь на них подробно, отметим только, что модель многополюсника может включать уравнения относительно его как внешних узлов (полюсов), так и относительно внутренних узлов и контуров, причём тип внешних и внутренних переменных может быть различным. Обычно в программах модель многополюсника преобра- зуется путём исключения внутренних переменных к виду, содержащему уравнения только относительно внешних переменных.

Способ представления математической модели элемента (ММЭ) в программе определяеться следующими основными факторами: 1) базисом переменных и методом формирования уравнений ММС; 2) методами решения уравнений ММС;

3)способом включения уравнения модели элемента в уравнения ММС.

Взависимости от базиса переменных выбирается та или иная запись мате- матических уравнений модели элемента. Так, модель нелинейного источника в ба- зисе узловых потенциалов должна иметь вид i= f(φ), а в базисе переменных состо-

яния - вид i= f(u) или u=φ(i).

Взависимости от метода решения уравнений ММС модель элемента может требовать дополнительных преобразований исходных уравнений модели. Напри- мер способ дискретизации уравнений емкостей и индуктивностей зависит от при-

40

нятого метода решения дифференциальных уравнений.

Важную роль в определении способа представления ММЭ играет третий из указанных факторов. Существуют два наиболее распространённых варианта включение уравнений ММЭ в уравнения ММС.

В первом варианте ММЭ представляется эквивалентной схемой, состоящей из двухполюсных элементов и образующей часть эквивалентной схемы всего устрой- ства. Очевидно этот подход при использовании сложных эквивалентных схем

элементов с большим числом ветвей и узлов ведёт к быстрому увеличению размера ММС с увеличением числа элементов в схеме. Более экономичен второй вариант представления ММЭ - в виде многополюсника, уравнения которого приве- дены к внешним узлам путём исключения внутренних переменных. Включение урав- нения многополюсника в уравнения ММС не вызывает увеличения размера ММС. В связи с этим будем рассматривать в дальнейшем представление моделей в про- грамме АПЭЦ многополюсниками, допуская, однако, возможность включения в программу моделей в виде эквивалентных схем.

Чтобы представить модель многополюсного элемента в наиболее общей форме, воспользуемся векторным уравнением многополюсника в узловом базисе Ι = F(ϕ,ϕ′,t) , задающим вектор полюсных токов, как функцию векторов

узловых потенциалов ϕ и их производных ϕ′ по времени t. Заменив вектор

производных разностной формулой вида

m

ϕn+1 = -1/ t å α jϕn+1− j , j=0

получим разностное уравнение модели, соответствующее использованию для чис- ленного интегрирования ММC неявного многошагового метода ФДН:

I	n+1	= F*(ϕ	n+1	,...,ϕ	n+1− j	,t	), j = 1,2,...,m.	(3.1)
						n+1

Для нелинейной модели с помощью разложения в ряд Тейлора в окрестности точки ϕnp+1 уравнение (3.1) преобразуется κ форме, соответствующей итераци- онной процедуре Ньютона,

I p+1	=	¶F*
n+1		¶ϕ

или

p	(ϕ p+1	-ϕ p		) + F*(ϕ p		,...,ϕ	t	n+1	), j =1,2,...,m (3.2)
ϕ=ϕn+1	n+1	n+1			n+1		n+1− j,
I p+1 =YDϕ p+1			+ I p		,				(3.3)
n+1		n+1		n+1

где Inp++11- вектop полюсных токов многополюсника на текущей (р+1)-й ньютоно- вской итерации; Inp+1 = F*(ϕnp+1,...,ϕn+1− j ,tn+1)- вектор полюсных токов на преды-

дущей р-й интерации; Y = ∂F* / ∂ϕ		ϕ=ϕ p	- неопределённая матрица
		n+1

дифференциальных полюсных проводимостей многополюсника , вычисляемая как матрица Якоби уравнения (3.1); Dϕnp++11 =ϕnp++11 -ϕnp+1 - вектор поправок узловых

41

потенциалов на текущей итерации.

Учитывая использование в модели (3.2) разностной аппроксимации производных и итерационного ньютоновского процесса, будем называть эту модель разноитерационной (РИ).

Представление элементов в виде (3.2) является наиболее общим. Можно отметить ряд важных частных случаев.

Безынерционные нелинейные элементы. В этом случае РИ - модель является только итерационной (И - моделью), поскольку все её составляющие относятся к одному моменту времени. Модель также записывается в форме (3.2), но без индекса «n+1».

Инерционные линейные элементы. В этом случае РИ - модель является только разностной (Р - моделью), так как в итерационном процессе матрица Υ модели не изменяется. Опуская индекс «р», уравнение (3.2) Ρ - модели можно представить в

виде

In+1 = Yϕn+1 +Q(ϕn,...,ϕn− j ), j=1,2,...,m-1.

(3.4)

Безынерционные линейные элементы. В этом случае, опуская все индек-

сы, получаем I = Yj + Q.

При использовании метода узловых потенциалов РИ - модели легко включаются

в общую систему уравнений ММС на основании простейших правил позиционного суммирования матрицы полюсных проводимостей и вектора полюсных токов ММЭ с матрицей узловых проводимостей и вектором узловых токов ММС. Лёгкость включения РИ - модели в общую систему уравнений ММС в сочетании с практи-

ческим отсутствием ограничений на характер моделируемых элементов позволяет считать РИ - модели этого типа наиболее перспективными для применения в программах АПЭЦ. В связи с этим в последующих разделах данной главы показана возможность представления рассматриваемых моделей элементов схем в разностно- итерационной форме базисе узловых потенциалов.

3.2.Модели двухполюсных элементов

Вобщем случае РИ - модель двухполюсного элемента с учётом обозначений полюсов, принятых на рис. 3.1, а, можно записать в виде уравнения (3.2) в следу- ющей форме (индекс «n+1» для простоты опустим):

éip+1	ù	é 1
ê l	ú	= y ê	−1
ê p+1	ú	ê
ëim	û	ë

	−1ù é			ϕ p+1	ù	é ip ù
		ú	×ê	l	ú	+ ê		ú,	(3.5)
	1			p+1			−i
		ú	ê		ú	ê		p ú
		û	ë	ϕm	û	ë		û

где y - дифференциальная проводимость двухполюсника.

Для безынерциального нелинейного двухполюсника, описываемого уравнением

i=f(u), составляющие модели (3.5) запишутся как y = ∂f /∂u		u=u	p ,ip = f (u p ), а для

простейших линейных безынерциальных двухполюсников, изображённых на рис. 3.1, б - г, значения y и i приведены в табл. 3.1.

42

		Таблица 3.1
Тип элемента	Проводимость, y	Ток, ip
Сопротивление	1/R	yup
Источник тока	1/Rвн	J- yup
Источник напряжения	1/Rвн	Y(E-up)

Если источники тока и напряжения в табл. 3.1 являются источниками сигналов, то в модель достаточно ввести функциональную зависимость сигнала от времени: J (tn+1) и E(tn+1) .

Рассмотрим представление РИ - моделей реактивных двухполюсников. При

моделировании нелинейных емкостных элементов в зависимости от способа определения ёмкости через накапливаемый на ней заряд будем различать диф-

ференциальную C(uc ) = dq(uc) / duc и интегральную C*(uc ) = q(uc )/uc ёмкости. В соответствии с таким представлением ток через нелинейную ёмкость ic = dq / dt

может быть выражен двумя способами:

для дифференциальной ёмкости

i =

dq(uc )duc

= C(u ) duc ,

c

du dt

c

dt

c

для интегральной ёмкости

d

êéC*ucduc úù

é

dC

*

(uc )

ù

duc

i =

ë

û

= êC*(u )

+u

ú

.

dt

du

C

ê

c

c

ú

dt

ë

c

û

Далее будем использовать математически более простое и чаще используемое в моделях понятие дифференциальной ёмкости.

Переходя к разностному представлению емкостного тока по формуле метода ФДН, получаем

i = -C(u )α0 (u + 1 å α u

).

m

cn+1

cn+1 Dt

cn+1

j=1 j cn+1− j

α0

u

u

R i

J

2x-по-

люсник

l

m l

m l

m

l

Rвн

а)

б)

в)

(3.6)

u

Rвн E m

г)

Рис. 3.1. Графическое представление РИ-моделей двухполюсных элементов: а - общий вид модели; б - сопротивления; в - источник тока; г- источник

напряжения

43

	uСn+1	uLn+1
		JL
yC	iCn+1	iLn+1
	EС	yL
	а)	б)

Рис. 3.2. Графическое представление P-моделей реактивных элементов: а - ёмкости; б -индуктивности

Этому выражению можно поставить в соответствие эквивалентную схему разностной модели ёмкости (рис. 3.2, а), в которой элементы yc и Еc опреде- ляются следующими выражениями:

m

yc = C(ucn+1 )α0 / t; Ec = (-1/α0 )å α jucn+1− j .

j=1

Из разностной модели (3.6) нетрудно выразить составляющие у и i РИ - мо- дели нелинейной ёмкости вида (3.5):

	y = -y -	dCα0	(u p	- E );	ip = −y (u		− E ).	(3.7)
		duDt
	c		cn+1	c	c	cn+1	c

Для сравнения отметим, что получены более сложные выражения, определяющие проводимость у нелинейной интегральной емкости С*(и). В линейном случае проводимости дифференциальной и интегральной емкости совпа-

дают: y = yc.

Используя дуальное по отношению к емкости представление индуктивности, нетрудно получить РИ - модель нелинейной дифференциальной индуктивности. За- пишем разностное выражение для тока индуктивности:

t

1

m

i

=

u

-

å α i

.

(3.8)

α

L(i

)

Ln+1

α

Ln+1

0

0

j=1

j Ln+1− j

Ln+1

Эквивалентная схема, соответствующая разностной модели индуктивности (рис. 3.2,б), содержит проводимость yL и источник тока JL определяемые форму- лами:

y = é1/ L(i			)ù Dt /α ;				m			.
					J = (-1/α )å α i
L	ê	L	ú	0	L	0		j	L
	ë		û				j=1
		n+1							n+1− j

Воспользовавшись принятыми обозначениями, выразим составляющие РИ – мо- дели нелинейной индуктивности вида (3.5):

y= 1	êé-	1	-	dLα0	(ip	- J		)úù; iLpn+1 = -yLuLpn+1 + JL.	(3.9)
		yL		di t
	ë				Ln+1		L	û

44