İ

kn

=

1n

Ė

+

2n

Ė

+...+

Nn

Ė

.

(2.33)

1Э

2Э

NЭ

Здесь jn — алгебраические дополнения (адъюнкты) элемента jn опреде-

лителя . Уравнение (2.33) может быть также записано в виде

İkn = Y1n (s)Ė1Э +Y2n(s)Ė2Э +...+YNn(s)ĖNЭ,

(2.34)

где Yjn (s) — частная функция проводимости.

2.6.2.Матричные уравнения узловых потенциалов

Втех случаях, когда число узлов меньше числа независимых контуров, целесообразно за искомые величины принять потенциалы узлов, положив потенциал базисного узла равным нулю.

Для составления матричных уравнений узловых потенциалов следует исполь- зовать узловую матрицу А.

Узловая матрица А, как указывалось, может быть получена из полной узловой

матрицы А0 путем отбрасывания одной строки, соответствующей базисному узлу. За базисный можно принять любой из узлов. При нумерации узлов будем нумеровать базисный узел цифрой нуль. Поясним принцип составления уравнений узловых потенциалов на конкретном примере.

Составим узловую матрицу А для графа, изображенного на рис. 2.15:

1		1		2	1	1
	7		8			2
					4	5
	3	4	4			3
	6	5
	3		2		3	2
	5 9					6
		0				0

Рис. 2.15. Граф цепи										Рис. 2.16. Граф цепи
				+1 0		−1 0		0		0	−1 0		0
				−1 +1 0			0	0		0	0	−1	0
A =				0	0	0	+1 0		−1 +1 0				0				.
				0	0	0	−1 +1			0	0	+1 0
				0	0	0	0	−1		+1 0		0	−1

Обозначим токи в ветвях через Im ( индекс m соответствует номеру ветви). Если умножить токи ветвей на соответствующие элементы матрицы А и затем просуммировать полученные произведения по строкам, то получим следующую систему уравнений:

30

+İ			- İ			- İ	7	= 0	ü
	1			3					ï
-İ1 + İ2 - İ8 = 0
									ï
+İ4 - İ6 + İ7 = 0									ýï.	(2.35)
-İ	4	+ İ		5		+ İ		= 0	ï
							8		ï
-İ		+ İ			6	- İ	9	= 0	ï
	5								þ

Эта система уравнений выражает первый закон Кирхгофа для токов ветвей. Ее можно записать в матричной форме:

										AİB = 0												(2.36)
или
																	İ1
																	İ2
				+1 0 -1			0	0	0	-1 0		0					İ3
				-1 +1		0	0	0	0	0	-1	0					İ4				= 0 .	(2.37)
				0	0	0	+1	0	-1 +1 0			0				´	İ5
				0	0	0	-1	+1 0		0	+1 0						İ6
				0	0	0	0	-1 +1 0			0	-1					İ7
																	İ8
																	İ9

Обозначим теперь потенциалы узловых точек через ϕ&n (индекс n соответствует

номеру узла, в котором измеряется потенциал относительно базового узла).

Если умножить элементы матрицы А на потенциалы соответствующих узлов и затем просуммировать полученные произведения по столбцам, то можно видеть, что каждая такая сумма будет представлять собой напряжение ветви графа, равное разности потенциалов в узлах этой ветви:

Ů = +ϕ -ϕ ;Ů = +ϕ -ϕ ;Ů = -ϕ +ϕ ;

ü

&

&

&

&

&

&

1

1 &

2

4

&

3 &

4 7

&

1 &

3

ï

(2.38)

Ů2 = +ϕ2

;Ů5 = +ϕ4

-ϕ5

;Ů8 = -ϕ2

+ϕ4

;

ïý

Ů3 = -ϕ1

;Ů6

= -ϕ3 +ϕ5 ;Ů9

= -ϕ5.

þ

&

&

&

&

Эту систему можно записать в матричной форме:

T &

(2.39)

A ϕу =ŮB.

Умножим левую и правую части уравнения (3.4) на матрицу А и учтем соот- ношения (2.36) и (2.39), в результате получим:

T		&	−YB Ė).	(2.40)
(AYB A )ϕ		у = A(J
	&

Тройное матричное произведение

31

			Y11	Y12	.	Y1P
Y	у	= AY AT =	.	.	.	.			(2.41)
		B	Y21	Y22	.	Y2P
			YP1	YP2	.	YPP

называется матрицей узловых проводимостей.

Здесь Υ11,Υ22, ..., Ypp - собственные проводимости узлов, представляющие собой сумму проводимостей всех ветвей, сходящихся κ данному узлу; Ykl –вза- имная проводимость, представляющая собой проводимость ветви между узлами k и l, взятую с обратным знаком. Предполагается, что цепь не содержит индуктивно связанных ветвей. Если проводимость ветви между узлами k и l будет YBkl, тο соответствующий элемент матрицы (2.41) Yk= - YBkl.

Пример. Составить матрицу узловых проводимостей для цепи, граф которой показан на рис. 2.16.

Решение. Для заданного графа составим узловую матрицу:

				+1	0	−1	−1	0	0
A =				−1	+1	0	0	−1	0				.
				0	0	0	+1	+1	+1

Запишем произведение матрицы проводимостей ветвей ΥB и транспонированной узловой матрицы АT:

	Y1	0	0	0 0			0						+1	−1 0									Y1	−Y1	0
	0	Y2	0		0	0	0						0	+1	0								0	Y2	0
Y AT =	0 0 Y3				0	0	0		×				−1 0		0				=				−Y3	0	0				.
B	0	0	0		Y4	0	0						−1 0		+1								−Y4	0	Y4
	0	0	0		0	Y5	0						0	−1	+1								0	−Y5 Y5
	0	0	0		0	0	Y6						0	0	+1								0	0	Y6

Следовательно, матрица проводимостей

								Y1	Y1	0
	+1	0	−1	−1	0	0		0	Y2	0
Yу = AYB AT =								Y3	0	0
	−1	+1 0		0	−1	0	×						=
								Y 0		Y
	0	0	0	+1	+1	+1		4		4
								0	Y5	Y5
								0	0	Y6

	Y1 +Y3 +Y4	Y1	−Y4
=	−Y1	Y1 +Y2 +Y5	−Y5			.
	−Y4	−Y5	Y4 +Y5 +Y6

32

Подставим в уравнение (2.40) значение тройного матричного произведения (2.41), произведём умножение матриц в левой и правой частях и запишем полученный результат в виде системы алгебраических уравнений:

	Y11ϕ1		+Y12ϕ2	+Y13ϕ3	+...+Y1pϕp = İ1э	ï
	&		&	&	&	ü
	Y21ϕ1		+Y22ϕ2	+Y23ϕ3	+...+Y2 pϕp = İ2э ï
	&		&	&	&	ý.
	....................................................
						ï
	Yp1ϕ1	+Yp2ϕ2		+Yp3ϕ3		ï
					+...+Yppϕp = İpэ ï
	&		&	&	&	þ

Здесь İ1э, İ2э,..., İpэ - эквивалентные токи, каждый из которых для данного

узла представляет собой сумму токов от всех источников тока за вычетом суммы токов короткого замыкания ветвей, сходящихся к данному узлу.

Из последней системы уравнений значение, например, потенциала ϕ&n мо- жет быть выражено следующим образом:

&	n		1n		2n		pn
jn =		= İ1y		+ İ2y		+...+ İny		.

Определив значения узловых потенциалов, можно найти напряжения на за- жимах ветвей как разность соответствующих узловых потенциалов, а затем по- лучить токи ветвей.

2.6.3. Уравнения переменных состояния

Вынесем за пределы анализируемой схемы независимые источники и реактивные элементы. Оставшаяся часть схемы будет представлять собой линейную пассивную R-цепь, токи и напряжения в которой не изменят своих значений, если индуктивные элементы заменить источниками тока, а емкостные

– источниками напряжения. В результате линейная часть схемы оказывается под воздействием источников двух типов: независимых источников, представляемых

вектором

U X ни = I ,

и источником замещения реактивных элементов

X = UC , IL

называемым вектором состояния.

При известных напряжениях и токах независимых источников напряжения и токи всех элементов схемы в любой момент времени определяются вектором состояния для этого момента времени. Поэтому метод анализа схемы с

описанием протекающих процессов с использованием вектора состояния называется методом переменных состояния. Согласно этому методу для анализа схемы необходимо составить два уравнения:

∙
X (t) = A1X (t) + A2 Xни (t),	(2.42)

33

Xвых (t) = D1X (t) + D2 Xни (t),

(2.43)

∙

где X (t) – производная вектора состояния по времени, X вых (t) – вектор подле- жащих расчету токов и напряжений, A1, A2, B1, B2 – матричные коэффициенты.

Уравнение (2.42) называют уравнением состояния, уравнение (2.43) –

уравнением выхода.

Для составления уравнения состояния необходимо выбрать дерево графа так, чтобы оно содержало все конденсаторы и источники ЭДС, но не содержало катушек индуктивности и источников тока. Такое дерево графа будем называть нормальным деревом. Сечением будем называть замкнутую линию, которая

однократно пересекает ветви некоторой совокупности ветвей графа и разделяет граф на две несвязанные части. Если такая линия пересекает одно ребро, то будем называть ее главным сечением.

Матрица F, называемая матрицей главных сечений, определяет связь между токами ребер I р и токами хорд Ix :

I р = -F × Iх .

С помощью транспонированной матрицы F можно выразить зависимость между напряжениями хорд Ux и напряжениями ребер U р :

Ux = Ft ×U р .

Строки и столбцы матрицы F можно сгруппировать по типам элементов:

			Rx	L	I
F =	U		FURx	FUL	FUI		(2.44)
	C		FCRx	FCL	FCI	.
	Rр		F	F	F
			Rр Rx	Rр L	Rр I

Матрицу главных сечений можно получить из узловой матрицы. Это

осуществляется путем проведения последовательных операций исключения переменных узловой матрицы так, чтобы в левой части получилась единичная матрица. Матрица в правой части при этом будет представлять собой искомую матрицу главных сечений.

Пример: получим матрицу главных сечений для схемы рис. 2.17.

С3		3		R7
				3
С4	2			L8	4
1	R5		R6	2
5
	0,1		0,2
	5
u1	u2			I9

6

Рис. 2.17. Принципиальная схема цепи

34

Решение: граф рассматриваемой схемы имеет вид, представленный на рис.

2.18.

	3	3	7
		2
1	4		8	4
		5	6
	1	5	9
		2

6

Рис. 2.18. Граф цепи Узловая матрица для рассматриваемой схемы имеет вид:

				1			2 3		4	5	6	7	8	9
	1				1		0	1	1	0	0	0	0	0
A =	2				0	0		0	-1 1 0 0				1	0
	3				0		0	-1	0	0	1 1 0			0
	4				0		0	0	0	0	0	-1 -1 -1
	5				0		1 0		0	-1 0		0	0	0

Получим матрицу главных сечений:

	1	2		3 4			5	6	7	8	9
	1	0		1		1	0	0	0	0	0
A =	0	0	0		-1 1 0 0					1	0			Þ
	0	0		-1		0	0	1	1 0		0
	0	0		0		0	0	0	-1 -1 -1
	0	1		0		0	-1	0	0	0	0

1						2		3	4	5	6	7	8	9
				1		0		1	1	0	0	0	0	0
Þ				0		1		0	0	-1 0 0			0	0			Þ
				0	0		-1		0	0	1 1 0			0
				0		0		0	0	0	0	-1 -1 -1
				0		1		0	0	-1	0	0	0	0

35

	1							2		3		4	5		6		7		8	9
	1							0		0		1	0			1		1	0	0
Þ	0							1		0		0	-1			0		0	0	0								Þ ....Þ
	0						0			1	0 0 -1						-1 0 0
	0						0			0	0 0					0	-1 -1 -1
	0						0			0		-1	1			0		0	1	0
									Ребра								Хорды
	1							2		3		4	7		5		6		8	9
						1		0		0		0	0		1		1		0	-1
Þ						0		1		0		0	0		-1		0		0	0
						0		0		1		0	0		0		-1		1	1
						0 0				0 1 0					-1		0	-1 0
						0		0		0		0	1		0		0		1	1

Мы видим, что матрица главных сечений

						Хорды
				5		6	8	9
Р	1				1	1	0	-1
F = е	2				-1	0	0	0				.
б	3				0	-1	1	1
р	4				-1	0	-1	0
а	7				0	0	1	1

Запишем топологические уравнения для токов резистивных ребер и напряжений резистивных хорд:

IRр		= −FRр L IL − FRр I I − FRр Rx IRx ,							(2.45)
U	Rx	= Ft	U	C	+ Ft	U + Ft	U	.	(2.46)
		CRx			URx	Rр Rx		Rр

Дополним уравнения (2.45), (2.46) компонентными уравнениями для резистивных элементов:

URp = RRp IRp ; URx = RRx IRx .

Выразим в (2.46) напряжения на резистивных элементах через токи, пользуясь компонентными уравнениями, после чего запишем (2.45) и (2.46) в виде:

36

1

FRp Rx

IRp

=

0

-FRp L

UC

+

0

-FRp I

U

Þ

-Ft

R

I

Ft

0

IL

Ft

0

I

Rx

Rp Rx

x

CRx

URx

Þ A11I рез = B11X + B12 Xни .

(2.47)

Из уравнения (2.47) можно выразить вектор Iрез:

I рез = B1X + B2 Xни ,

(2.48)

где B = A−1B ; B = A−1B .

1

11

11

2

11

12

Пример: получить уравнение для токов резистивных элементов в схеме рис.

2.17.

Решение:

IRp

i7

U

u1

U

C

u3

I

рез

=

=

i

;

X

ни

=

=

u

2

; X =

=

u

4

;

IRx

5

I

IL

i6

i9

i8

R

p

= R7;

R =

0,1

0

.

x

0

0,2

С использованием матрицы главных сечений получим:

	A	=								1									FR R					=									1			0						0									,
			-Ft							R									p x														0			0,1						0
	11										p								R														0			0						0,2
									Rp Rx										x
		B								0	-FRp L																	0								0						-1
			=																		=							0								-1						0								,
								Ft						0
		11
									CRx																			-1								0						0
		B								0	-FRp L																					0				0						-1
			=																		=											1				-1						0				.
									Ft					0
		12
В итоге:										URx																						1				0						0
B = A−1B =							1			0	0								0			0 1																			0										0 -1
							0 10 0												0 -1 0																		=				0 -10 0														;
1	11	11
							0 0 5												-1 0 0																						-5										0 0

37

			B = A−1B =																				1 0								0																0 0 −1																							0															0 −1
																							0 10								0																1 −1							0									=						10 −10 0																												;
					2	11				12
																							0		0						5																1		0					0																5											0											0
							i7								0										0 −1																				u3								0															0 −1																	u1
							i5		=						0 −10 0																														u4						+	10 −10 0																																	u2							.
							i6								−5																		0 0												i8								5											0 0																					i9
IC :	По матрице главных сечений запишем топологические уравнения для UL и
																			= Ft																												+ Ft												+ Ft
													U			L													U			Rp																				U		C																U ;																													(2.49)
																									Rp Rx																								CL																			UL
															IC = −F CRx IRx																																− FCL IL − FCI I .																																																				(2.50)
вид:	Компонентные уравнения для индуктивных и емкостных элементов имеют
																												d																															d
																	UL								= L						IL ;																	IC = C																UC .
																												dt																															dt
	Используя компонентные уравнения, из (2.45) и (2.46) получим:
													A						d						X = A									I										рез				+ B							X + B																X					ни					,																	(2.51)
															22 dt														21																							21												22
где	A =		C 0		,	A =					0														−FCRx									,													B		=					0 −FCL																							,								B							=					0 −FCI			.
	22		0 L			21							FRt p L												0																						21						FCLt																	0											22													FULt				0
	Сравнив (2.51) с (2.42) с учетом (2.48) получим:
																	A = A−1												(B																		+ A B ),																																																			(2.52)
																			1						22							21																21					1
																	A = A−1(B																														+ A					B ) .																																														(2.53)
																		2							22							22																21					2
	Пример: для схемы рис. 2.17 получить уравнение состояния.
	Решение:
							A =										C 0										=			C3																		0					0						=									1			0										0
																														0 C4 0																																						0 5 0																					,
						22											0								L
																															0																	0					L8															0			0										2
															A				=						0									−FCRx																		=					0							0						1
																																																									0							1						0					,
																									Ft																						0
																21
																										Rp L																															3							0						0

38

							B =							0 -FCL																							=								0									0									-1
																																													0 0 1																																		,
			21										Ft											0
														CL																															1 -1																		0
							B =								0 -FCI																										=								0					0									-1
																																																	0 0 0																										,
			22											Ft										0
															UL																																		0					0									0
							1 0								0								æ								0 0 -1																																								0 0 1																									0	0 -1									ö
A1 = A22−1(B21 + A21B1) =							0					0,2			0								ç								0					0																		1									+								0								1	0																0	-10	0									÷	=
																							ç																																																																																				÷
							0					0			0,5								ç								-1					-1																		0																	3								0	0																-5	0	0									÷
																							è																																																																																				ø
															-5									0												-1
													=		0									-2												0,2																			,
															0,5									-0,5 -1,5
											1 0														0				æ						0 0 -1																																0 0 1																									0					0 -1					ö
A = A−1		(B	+ A B ) =								0	0,2			0														ç						0	0																		0					+								0												1	0												10					-10	0				÷					=
2	22	22	21 2																										ç																																																																									÷
											0		0		0,5														ç						0	0																		0													3												0	0												5					0	0				÷
																													è																																																																									ø
																			5					0												-1																	.
													=						2					-2												0
																			0					0												-1,5

В итоге запишем полученное уравнение состояния:

	d			u3			-5	0	-1								u3								5	0	-1								u1
				u4		=	0	-2	0,2								u4				+				2	-2	0								u2				.
	dt
				i			0,5	-0,5	-1,5								i								0	0	-1,5								i
				8													8																		9

Для получения уравнения выхода (2.43) необходимо вектор интересующих нас реакций цепи Хвых выразить через вектора переменных состояния и незави- симых источников.

Пример: получить уравнение выхода для цепи рис. 2.17 для напряжения

u46 .

Решение: найдем искомое напряжение суммированием напряжений ветвей при обходе контура из узла 4 к узлу 6:

u46 = −u7 − u3 + u1 = −i7 R7 − u3 + u1.

Ток i7 выразим из полученного ранее уравнения токов резистивных элементов: i7 = 0 0 -1 X + 0 0 -1 Xни .

Так как напряжение u3 входит в вектор состояния, то:

39