схеме стрелкой. Ток источника в матрице J берется со знаком «плюс», если при обходе контура, состоящего из источника и параллельной ему ветви в направлении ветви, положительное направление тока источника совпадает с направлением обхода. Иначе перед соответствующим током в матрице токов источников ставится знак «минус».

2.6. Матричные уравнения линейных электрических цепей

Рассмотрим ветвь, включающую в себя пассивный элемент с сопротивлением Zn (или проводимостью Yn), источник напряжения Eп и источник тока Jn, как

показано на рис. 2.13.

.

U n

An Bn

E. Zn,Yn n

.

J n

Рис. 2.13. Активная ветвь

Напряжение на зажимах ветви при указанных на рисунке положительных направлениях токов и напряжений равно:

U&n = Zn (I&n + J&n ) − Ėn

или
&	&	(2.21)
Un + Ėn = Zn (İn + Jn).
Уравнение (2.21) можно записать иначе:
&	&	( 2.22)
İn + Jn = Yn (Un + Ėn ).

Если между ветвями нет индуктивных связей, то уравнения вида (2.22) можно записать для каждой ветви произвольной цепи. Таким образом, если цепь содержит Q ветвей, то получится система из Q уравнений:

	&	=Y	&	+ Ė )	ü
İ + J			(U
1	1	1	1	1	ï
	&		&
İ2 + J2		=Y2 (U2		+ Ė2 ) ï		,	(2.23)
.............................					ý
					ï
	&		&		ï
İQ + JQ		= YQ (UQ + ĖQ )ï
					þ

которая в матричной форме выглядит следующим образом:

&	&	(2.24)
İB + JB =YB (UB + ĖB ).

Исходя из уравнений (2.21) аналогичным путем получим:

26

İ	B	+ J&	= Z	B	(Ů	B	+ Ė ).	(2.25)
		B					B

Соотношения (2.24) и (2.25) представляют собой закон Ома в матричной форме.

2.6.1. Матричные уравнения контурных токов

Умножим обе части уравнения (2.25) на контурную матрицу В:

B(İB + J&B) = BYB (ŮB + ĖB).

Учитывая, что произведение равно нулю, так как выражает сумму напряжений на зажимах ветвей замкнутых контуров, получим:

BİBZB = B(Ė -ZB J&).

(2.26)

Но токи ветвей IB можно выразить через контурные токи согласно (2.12), следовательно,

BZBBT İK = B(Ė - ZBJ&).

(2.27)

Уравнение (2.27) является обобщением второго закона Кирхгофа и назы- вается матричным уравнением электрического равновесия в контурных токах. Правая часть этого уравнения выражает результирующее действие всех источ- ников в контурах. Тройное матричное произведение BZBBT в левой части пред- cтавляет собой квадратную матрицу и имеет порядок, равный числу независимых контуров. В этом нетрудно убедиться, учитывая, что матрица ZB является мат- рицей порядка Q , где Q - число ветвей, а матрица В имеет N строк и Q столбцов, где N – число независимых контуров.

Тройное матричное произведение, называемое матрицей контурных сопротивлений, обозначим так:

	z11	z12	z13	.	z1N
ZK =	z21	z22	z23	.	z2N				.	(2.28)
	.	.	. . .
	z1N	z2N	z2N . zNN
Диагональный член матрицы контурных сопротивлений Zkk представляет
собой сумму всех сопротивлений k-го			контура, а в недиагональный член Zkj -

сопротивление, общее для контуров k и j; знак этого сопротивления определяется направлениями контурных токов. Если направления контурных токов контуров k и j в ветви kj совладают, то сопротивление Zkj имеет положительный знак. В противном случае перед Zkj ставится отрицательный знак.

Пример. Составить матрицу контурных сопротивлений для цепи, граф которой показан на рис. 2.14.

Решение. Составим контурную матрицу для заданною графа:

27

1

6	I	4
	III	II
3		2
		5

			Рис. 2.14. Граф цепи
				+1	0	0	−1	0	+1
B =				0	+1 0		+1	−1	0				.
				0	0	+1	0	+1	−1

Далее найдем произведение матрицы сопротивлений ветвей ZВ и транспо- нированной контурной матрицы ВT:

	Z1		0	0	0 0 0						+1 0			0			Z1	0	0
	0		Z2	0		0	0	0			0		+1 0				0	Z2	0
ZB BT =	0	0 Z3				0	0	0		×	0	0			+1	=	0	0	Z3				.
	0		0	0		Z4	0	0			−1		+1		0		−Z4	Z4	0
	0		0	0		0	Z5	0			0		−1		−1		0	−Z5	Z5
	0		0	0		0	0	Z6			+1		0		−1		Z6	0	−Z6

Наконец, определим тройное матричное произведение, равное матрице кон- турных сопротивлений:

Z1

0

0

+1

0

0

−1

0

+1

0

Z2

0

0

0

Z3

ZK =

0 +1 0 +1 −1 0

×

=

0

0

+1

0

+1

−1

−Z4

Z4

0

0

−Z5

Z5

Z6

0

−Z6

Z1 + Z4 + Z6

−Z4

−Z6

=

−Z4

Z2 + Z4 + Z5

−Z5

.

−Z6

−Z5

Z3 + Z5 + Z6

Из сопротивления полученной матрицы Ζk с матрицей (3.8) следует:

Z11 = Z1 + Z4 + Z6 ,Z12 = −Z4 ,Z13 = −Z6 ,

Z21 = −Z4,Z22 = Z2 + Z4 + Z5,Z23 = −Z5,

Z31 = −Z6,Z32 = −Z5,Z33 = Z3 + Z5 + Z6.

28

Если в цепи имеются индуктивно связанные ветви, то матрицу сопротивлений ZB удобно разбить на подматрицы Z LM, r, ZC.

Тогда тройное матричное произведение BZBBT может быть представлено в виде:

Z

LM

0

0

Bl

Z

LM

Bl

=

L

=

L

T

BL

Br

BC

×

0

r 0

×

l

BL Br BC

×

r

l

=

BZB B

Br

Br

0

0

Z

C

Bt

Z

C

Bl

C

C

T

T

T

(2.29)

= BLZLM BL

+ BrrBr

+ BCZC BC .

Если ввести обозначения

Z'

= B Z

LM

BT ü

LM

L

L ï

r' = B rBt

ï

,

(2.30)

ý

Z'

r

r

ï

= B Z

BT

ï

C

C

C

C

þ

то основное уравнение электрической цепи для контурных токов примет вид

'	'	'	&	&	(2.31)
(ZLM	+ r	+ ZC )İK	= B(E − ZB J).

Вернемся к рассмотрению уравнения (2.27). Если подставить в левую часть этого уравнения значение тройного матричного произведения из (2.28) и записать его в развернутом виде, то получим систему уравнений контурных токов в той форме, в какой она обычно приводится в курсах ТОЭ:

Z11İ11 + Z12İ22 +

+ Z1N İNN = Ė1ЭКВ

ü

ï

Z

İ + Z

İ

+....+ Z

İ

NN

= Ė

ï

(2.32)

21 11

22

22

2N

2ЭКВ

ý.

...............................................

ï

ZN1İ11 + ZN 2 İ22 +

ï

+ ZNN İNN = ĖNЭКВ þ

Здесь Ė1ЭКВ , Ė2ЭКВ ,..., ĖNЭКВ эквивалентные э.д.с.,

соответствующие правой

части (2.27). Каждая из них равна сумме э.д.с. источников соответствующего контура за вычетом суммы падений напряжений от токов источников тока.

Любой контурный ток системы уравнений (3.1.2) можно найти из выражения Inn= n/ , где определитель

=		BZB BT		=		Z11	Z12	.	Z1N
						.	.	.	.		,
						ZN1	ZN 2	.	ZNN

а алгебраическое дополнение n получается из определителя путем замены п- го столбца на элементы матрицы ЕЭКВ (правая часть системы (2.32)). Разлагая n по элементам n-го столбца (правило Крамера), получим

29