pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

б.4. Некоторые приложения скалярного проиэвеАения

Угол между векторами

Определение угла <р между ненулевыми векторами а= (ах; ау; az)

и Б = (Ьх; Ьу; Ьz):

ii·b

COS<p = ial ·lbl' т. е. COS<p = . / а2 + а2 + а2 .. /ь2 + ь2 + ь2
ух у	zyx	у	z

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а

и Б:

Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции вектора а на направление, заданное векто­

ром Б, может осуществляться по формуле

а· Б	(	-	а. Б)	,
прьа = Т1		праЬ =	ial		т. е.

Работа постоянной силы

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из поло­

жения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей

угол <р с перемещением АВ = S (см. рис. 15).

Из физики известно, что работа си­

лы F при перемещении S равна

			А = F · S · cos <р т. е. А = F ·S.
			Таким образом, работа постоянной силы
	А	s	при прямолинейном перемещении ее точ­
			ки приложения равна скалярному произ­
		Рис. 15	ведению вектора силы на вектор переме-
			щения.

Пример 6.3. Вычислить работу, произведенную силой F=(З; 2; 4),

если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения

А(2;4;6) в положение В(4;2;7). Под каким углом к АВ направлена

сила F?

О Решение: Находим S = АВ = (2, -2, 1). Стало быть,

А= F · S = 3 · 2 + 2 · (-2) + 4 · 1 = 6 (ед. работы).

	-	-			F·S
	Угол <р между F	и S находим по формуле cos<p =			IFl·ISI, т. е.
		6	6	2	2
	cos<p= J9+4+16·J4+4+1 = J29.3 = J29'				<р = arccos -J29 .
					•

50

§7. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ИЕГО СВОЙСТВА

7.1. Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора ii, Б и с, взятые в указанном порядке,

образуют правую mpofi:кy, если с конца третьего вектора с кратчайший

поворот от первого вектора ii ко второму вектору Б виден совершаю­

щимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

праваятройка, У. леваятройка

а

Рис. 16

~Векторным произведением вектора ii на вектор Б называется

вектор с, который:

1)перпендикулярен векторам а и Б, т. е. с 1- а и с 1- Б;

2)имеет длину, численно ранную площади параллелограмма, по­

строенного на векторах а и Б как на сторонах (см. рис. 17), т. е.

lcl = lal ·lbl sincp, где ер= (а, Ь);

3) нектары а, Ь и с образуют правую тройку.

z

j	у

о

х

Рис. 17

Рис. 18

Векторное произведение обозначается ах Били [а, Б].

Из определения векторного произведения непосредственно вытежс8.­

ют следующие соотношения между ортами i, J и k (см. рис. 18): .

i х J = k, J х k = l, k х i = J.

Докажем, например, что i х J = k.

51

а 1) k J_ z,		k J_ J;
2)	Jkl =	1, но Jl х Ji = Jzl . JJI ·sin 90° = 1;
3)	векторы z, J и k образуют правую тройку (см. рис. 16).		•

1~1. Свойства векторного произведения

1.При перестановке сомножителей

векторное произведение меняет знак, т. е.

ах Б = -(Б ха) (см. рис. 19).

Q Векторы ах Б и Б ха коллинеарны, име­

ют одинаковые модули (площадь паралле­ лограмма остается неизменной), но проти­

воположно направлены (тройки а, Б, а х Б

и а, Б, Б ха противоположной ориентации).

Стало быть, ах Б = -(Б ха).

•

ахЬ

/!]!Ш\ШЕIТ7

:·:·:·:·:·:-:·:·:·:·:·:-:-:-:-:-:-:·:·:-:-:-:·~

·:·:·:·:·:·:·:-:·:·:·:·:·:·:-:-:·:-:·:·:·:-:-:·1

:::~:~:~:~:~:~:~~~i:::::~~~~~~~~~~~~~jj~https://studfile.net/

о

	2. Векторное произведение		обладает	Бха
	сочетательным свойством	относительно
	скалярного множителя,	т. е.	Л(а х Б) =

= (М) х Б = ах (ЛБ).	Рис. 19

Q Пусть Л >О. Вектор Л(ахЬ) перпендикулярен векторам а и Б. Вектор (.Ла) х Б также перпендикулярен векторам а и Б (векторы а, Ла лежат

в одной плоскости). Значит, векторы Л(а х Б) и (Ла) х Б коллинеарны.

Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

1.Л(а х Б)I = Лlа х БI = .ЛJal ·IБI ·sin(a, Б)

и	J.ЛaJ ·lbl ·sin(M, Б) = Лlal ·lbl sin(a, Б).
1(.Ла) х БI =
Поэтому Л(а х Б) = Ла х Б. Аналогично доказывается при Л <О.		•

3. Два ненулевых вектора а и Б коллинеарны тогда и только то­

гда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е.

а 11 Б {::::::::> а х Б = о.

Q Если а 11 Б,.!._о угол между ними равен 0° или 180°. Но тогда Ja х БJ =

= lal ·lbl ·sin(a, Ь) =О. Значит, ах Б =О.

Если же ах Б = О, то JaJ ·lbJ sin rp = О. Но тогда rp = 0° или rp = 180°,

т. е. а 11 Б.	•
[i В частности, l	х l = J х J= k х k = О.

4. Векторное произведение обладает распределительным свойст-

вом:

(а + Б) х ё = а х ё + Б х ё.

Примем без доказательства.

52

7 .3.

Выражение векторного

через кооРдинаты

произведения

ров

Мы будем
l, J и k:
	i
i	о
j	-k
k	j

использовать

таблицу

векторного

произведения векто­

	j	k
	k	- j	Чтобы	не ошибиться со
			знаком,	удобно	пользо­
	о	i
			ваться схемой:
	-i	о

если

направление

кратчайшего

пути

от

первого

вектора

к

второму

со­

впадает

с

направлением

стрелки,

то

произведение

равно

третьему

век­

тору,

если

не

совпадает

-

третий

вектор

берется

со

знаком

«минус».

Пусть

заданы

два

вектора

ii

==

a,J

+ау]+

azk

и

Б

=

Ьхl

+

Ьу]

+

Ьzk.

Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая

многочлены (согласно свойств векторного произведения):

их

как

ii Х

Ь

=

(axl

+ау}+

azk)

Х

(Ьхl

+

Ьу}

+

Ьzk)

=

=~~~x~+~~~xh+~~~x~+~~Gx~+~~Gxh+

+

aybz(J

Х

k)

+

azЬx(k

Х

l)

+

azby(k

Х

J)

+

azbz(k

Х

k)

=

=О+

axbyk -

axbzJ -

aybxk

+О+

aybzl

+

azЬxJ

-

azbyl

+О=

==

(aybz

-

azby)l -

(axbz

-

azbx)J + (ахЬу

-

aybx)k =

т.

е.

-	=	la
ii х ь		ь:

aylk		'
ьу
	(7.1)

Полученную

формулу

можно

записать

еще

короче:

iiXb==

i

ах Ьх

j

ау Ьу

k az Ьz

'

(7.2)

так

как

правая

часть

равенства

(7.1)

соответствует

разложениЮ

опреде­

лителя

третьего

порядка

по

элементам

первой

строки.

Равенство

(7.2)

легко

запоминается.

53

7.4.Некоторые приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов

Если а 11 Б, то ах Б =О (и наоборот), т. е.

i j k

ахЬ=

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов а и Б

la х bl = lal ·lbl sin <р, т. е. Впар = la х bl. И, значит, Sд = ~lii х bl.

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила F = АВ и пусть О - некоторая

точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом сил:ы F относительно точки О называется вектор М, который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо						----
IMI	= IFI ·	= IFI ·lrl ·sin	<р	= IFI ·IOAI
	ON				sin(F, ОА);

3) образует правую тройку с векторами ОА и АВ.

Стало быть, М = ОА х F.

	---
	о
Рис. 20	Рис. 21

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой ско­ ростью GJ вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v = GJ х f, где f = ОМ, где О - некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

54

§ 8. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

8.1.Определение смешанного произведения, его геометрический смысл

Рассмотрим произведение векторов а, Б и с, составленное следу­

ющим образом: (ах Ь) ·с. Здесь первые два вектора перемножаются

векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведе­

ние называется векторно-ска.л.ярным, или смешанным, произведением

трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое

число.

Выясним геометрический смысл ны­

ражения (ахЬ)·с. Построим параллелепи­

пед, ребрами которого являются векторы

а, Б, ё и вектор d =ах Б (см. рис. 22).

Имеем: (а х Ь) ·с = d·с = ldl ·пpil с, ldl = la х bl = S, где S - площадь парал-

лелограмма, построенного на векторах а

и Б, пpilc = Н для правой тройки век-

торов и пра с = -Н для левой, где Н --

высота параллелепипеда. Получаем:

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Н~

'1"----------

а

	(а х Б) · с = S · (±Н), т. е. (а х Б) ·с =		Рис.	22
	= ± V, где	V ·-объем параллелепипеда,

образованного векторами а, Б и с.

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объ­

ему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со зна­

ком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком

«минус», если они образуют левую тройку.

8.2. Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической переста­

новке его сомножителей, т. е. (ах Ь) ·с= (Ь х с) ·а= (с ха)· Б.

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллеле­ пипеда, ни ориентация его ребер.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами зна­

ков векторного и скалярного умножения, т. е. (ах Ь) ·с= а· (Ь х с). Действительно, (ах Ь) ·с= ±V и а· (Ь х с)= (Ь х с)· а= ±V. Знак

в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки

векторов а, Б, с и Б, с, а - одной ориентации.

55

Следовательно, (ii х Б) ·ё = а(Б х с). Это позволяет записывать сме­ шанное произведение векторов (ii х Б)ё в виде аБс без знаков векторного,

скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест

любых двух векторов-сомножителей, т. е. iibё = -аёБ, iibё = -Бас, аБс =

= -ёbii.

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке

сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения

знак.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов а, Ь и ё равно нулю

тогда и только тогда, когда они компланарны.

Q Если аБс = О, то а, Ь, ё - компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллеле­

пипед с объемом V "::/: О. Но так как аЬё = ±V, то получили бы, что аЬё =f. О. Это противоречит условию: аЬё =О.

Обратно, пусть векторы а, Б, ё - компланарны. Тогда вектор d = = ii х Ь будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы ii, Б, ё, и, следовательно, d J_ ё. Поэтому d. ё =о, т. е. аЬё =о. •

8.3. Выражение смешанного произведения

через координаты

Пусть заданы векторы а = ажl + ау] + azk, Ь = Ьжl + Ьу} + Ьzk,

ё = сжl + су] + с)~. Найдем их смешанное произведение, используя вы­

ражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

i	j	k
(ах Б)с = аж	ау	az · (сжl +су]+ Czk) =
Ьж	Ьу	Ьz

= (1 :; Ьz lz-1 ::		bz			Ьж	:; 1k) .~(сжl+су}+Czk) =
az		az 1} +			1аж
-1 ау		az 1·	Сж	-1 аж		az 1	1аж	ау 1		(8.1)
-	Ьу	bz			Ьж	bz . Су+ Ьж		Ьу	· Cz.
Полученную формулу можно записать короче:
				аж	ау	az
		аБс = Ьж			Ьу	Ьz ,
				Сж	Су	Cz

так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение

определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю тре­

тьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

56

8.4. Некоторые приложения смешанного произведения

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

Определение взаимной ориентации векторов а, Б и ё основано на следующих соображениях. Если аЬё > о, то а, Б, ё - правая тройка; если аЬё <О, то а, Б, ё - левая тройка.

Установление компланарности векторов

Векторы а, Б и ё компланарны тогда и только тогда, когда их сме­ шанное произведение равно нулю (а "1- О, Б "1- О, ё "1- О):

ах	ау	az
аЬё = О {::::=} Ьх	Ьу	Ьz = О {::::=} векторы а, Б, ё компланарны.
Сх	Су	Cz

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пираМИАЫ

Нетрудно показать, что объем пара.ттлелепипеда, построенного на

векторах а,	Б и ё вычисляется как V = labёl,				а объем треугольной
пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V = i labёl.
Пример		8.1.	Вершинами пирамиды	служат точки A(l; 2; 3),
В(О; -1; 1), С(2; 5; 2)			и D(З; О; -2). Найти объем пирамиды.
а Решение:	Находим векторы а, Б, ё:
а= АВ = (-1; -3;-2), Б =АС= (1;3;-1),					ё = AD = (2;-2;-5).
Находим аЬё:
-1 -3 -2			= -1 · (-17) + з. (-3) -	2. (-8) = 17 - 9 + 16 = 24.
аБё = 1	3	-1
2 -2 -5
Следовательно, V = i ·24 = 4.					•

Глава 111. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Лекции 7-9 1

§ 9. СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

9.1.Основные понятия

~Под системоii координат на плоскости понимают способ, по­

зволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной

из таких систем является nря.моуго.л:ьная (декартова) система ко"

ординат.

у

У	----------- ,М(х;у.)
		1
		1
		1
		1
j		1
	i	1
о		х

Прямоугольная система координат за­

дается двумя взаимно перпендикулярными

прямыми - осями, на каждой из которых

выбрано положительное направление и за­

дан единичный (масштабный) отрезок.

Единицу масштаба обычно берут одинако­ вой для обеих осей. Эти оси называют OCJl- мu координат, точку их пересечения О -

на'Чалом координат. Одну из осей называ­

Рис. 23	ют осъю абсцисс (осью Ох), другую - осью
	ординат (осью Оу) (рис. 23).

На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и на­

правленной слева направо, а ось ординат - вертикально и направлен­

ной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области - 'Четверти (или квадранm'Ы).

Единичные векторы осей обозначают l и J (lzl = IJI = 1, z..1_ ]).

Систему координат обозначают Оху (или Ol]), а плоскость, в ко­

торой расположена система координат, называют координатноi1 плос-

костъю.

Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху. Вектор ОМ

называется радиусом-вектором точки М.

~Координатами точки М в системе координат Оху (Ol]) на­

зываются координаты радиуса-вектора ОМ. Если ОМ= (х; у), то

координаты точки М записывают так: М(х; у), число х называется аб­ сциссоii точки М, у - ординатоu точки М.

Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на

плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единствен­

ная точка М плоскости, и наоборот.

58

Способ определения положения точек с помощью чисел (коорди­

нат) называется методом координат. Сущность метода координат на

плоскости состоит в том, что всякой линии на ней, как правило, сопо­

ставляется ее уравнение. Свойства этой линии изучаются путем иссле­

дования уравнения линии.

Другой практически важной системой координат является пол.я.р­ нш~ система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, н&:~ываемым пол.я.рноil, осью, и еди­

ничным вектором ё того же направления, что и луч Ор.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение

точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О

и углом <р, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки)

(см. рис. 24).

у

д:М(r;~)

		j
		х
	р•	р
о е
Рис. 24		Рис. 25

Числа r и <р называются nол.ярными координатами точки М, пишут M(r; <р), при этом r называют nоJ1.Ярным радиусом, ер -

пол.я.рньtм углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол

ер ограничить промежутком (-п; п] (или О ~ ер < 2п), а полярный радиус - [О; оо). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О)

соответствует единственная пара чисел r и ер, и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координа­

тами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось·-·· с положительной полуосью Ох. Пусть х и у - пря­

моугольные координаты точки М, а r и ер - ее полярные координаты.

Из рисунка 25 видно, что прямоугольные и полярные координаты

точки М выражаются следующим образом:

х = r. c~s<p,	{r = Jx2 + у2 ,
{у = r ·sщ<р;	tg <р = ;; .

Определяя величину <р, следует установить (по знакам х и у) че­

тверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -1Г <ер~ п.

59