3. Золотое сечение и симметрия

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

2. Методы одномерной оптимизации

Правила, по которым ведется поиск экстремума функции, называются стратегиями. Поскольку в рамках одной и той же задачи можно применять различные стратегии поиска, естественно попытаться найти ту из них, которая является наилучшей в смысле уменьшения объема необходимы вычислений, поэтому наряду с главным требованием – найти точку экстремума – возникает дополнительно (но не менее важное) требование выбора стратегии поиска, обладающее нужными свойствами.

Существует два вида стратегий: пассивные, в которых еще до начала эксперимента назначены все , и активные, в которых выбор очередных значенийзависит от результатов предшествующих экспериментов (имеет место накопление и активное использование информации о свойствах целевой функции). Всякая стратегия, предусматривающая последовательно (пошаговое) проведение опытов и оценку возникающих ситуаций, представляется более прогрессивной, так как позволяет экономить средства и время, с расходованием которых неизбежно связана постановка эксперимента. Именно это характерно для активных стратегий, рассматриваемых в данном разделе.

Простейшей и наиболее трудоемкой активной стратегией является метод общего поиска, согласно которому интервал делят на несколько равных частей с последующим вычислением значений целевой функции в узлах полученной сетки. Ясно, что эффективность метода при уменьшении интервала неопределенности быстро падает.

В методе дихотомии (половинного деления) выбираются два эксперимента и размещаются на исходном интервале неопределенности наилучшим образом (симметрично относительно середины отрезка на расстоянияхот нее). В результате сравнения полученных величинистановится возможным указать новый интервал неопределенности. Применяя к новому интервалу вышеописанную процедуру, процесс продолжают до тех пор, пока длина требуемого интервала не будет меньше заданной величины. Метод прост, однако требуемых вычислений функции можно проводить меньшее количество раз.

К методам, в которых при ограничениях на количество вычислений значений достигается в определенном смысле наилучшая точность, относятся метод Фибоначчи и метод золотого сечения.