ТЭЦ лекции

Если правую и левую части равенства (2.14) поделить на величину L , а затем проинтегрировать по времени в пределах от "минус бесконечность" до t, то получим второе компо-

нентное уравнение для индуктивности

i	(t)=±	1	t	u	L	(t)dt.	(2.15)
L		L −∞∫

Из выражения (2.14) видно, что при постоянном токе в индуктивности (iL(t) = IL) напряжение на индуктивности будет равно нулю. Такое возможно только в случае, когда индуктивность представляет собой короткое замыкание, поэтому схема замещения индуктивности для постоянного тока – короткое замыкание (рисунок 2.3, в). Говорят, что индуктивность обладает нулевым сопротивлением для постоянного тока.

Мгновенная мощность в индуктивности определяется из выражения (1.5)

di

(t)

d

L i2

(t)

p

L

(t)=±u

L

(t) i

(t)=±L L

i

(t)=±

L

L

dt

L

dt

2

Энергия, запасенная в индуктивности,

t

t d

L i2

(t)

L i2 (t)

wL (t)= ∫pL (t)dt =± ∫

L

dt =±

L

.

2

2

−∞

−∞dt

.

(2.16)

(2.17)

Как было замечено ранее, энергия должна обладать положительными значениями для любого момента времени, а из (2.17) следует, что при встречных положительных направлениях тока и напряжения энергия индуктивности отрицательна. Чтобы устранить такое несоответствие, необходимо в компонентных уравнениях индуктивности учитывать знак "минус", что и было рекомендовано ранее.

При одинаковом направлении тока и напряжения на индуктивности мгновенная мощность определяется как

30

	p	L	(t)=L diL (t) i (t).
			dt	L
	Проанализируем последнее равенство. При положительном
	значении тока iL, означающем, что истинное направление тока
	совпадает с условно-выбранным положительным направлени-
	ем, и нарастающем токе (условие diL /dt >0 ) мгновенная мощ-
	ность является положительной. При этом электрическая энер-
	гия тратится на преодоление ЭДС самоиндукции (энергия по-
	ступает в индуктивность). Если же при положительном токе
	его значения убывают ( diL /dt <0 ), мгновенная мощность ста-
	новится отрицательной, поскольку ЭДС самоиндукции стара-
	ется поддержать значения тока неизменными, то есть индук-
	тивность возвращает энергию в цепь.
	2.1.3 Емкость
	Емкость – идеализированная модель, учитывающая спо-
	собность элемента цепи запасать энергию в электрическом по-
	ле. Моделью емкости описывают чаще всего такие реальные
	радиокомпоненты как конденсаторы. Однако в конденсаторах
	помимо накопления электрической энергии наблюдается по-
	теря энергии в диэлектриках, обкладках и подводящих про-
	водниках. Кроме того, в конденсаторе имеет место и аккуму-
	ляция энергии в магнитном поле. Из сказанного следует, что
	емкость представляет собой идеаль-
	ный конденсатор.					iС
	Графическое изображение			ем-
	кости представлено на рисунке 2.4, а.				uС	С	uС
	Так как положительные направ-
	ления тока и напряжения на емкости
	выбираются произвольно, то возмож-
	ны два варианта направления напря-					а	б
	жения по отношению к направлению					Рисунок 2.4
			31

тока: сонаправленное (сплошная) и противоположное (штриховая линия). Рассмотрим первый вариант.

Если емкость зарядить, то между ее зажимами появится напряжение uC, величина которого будет прямо пропорциональна величине сообщенного емкости заряда q:

q=C uC ,

(2.18)

где С – коэффициент пропорциональности между напряжением и зарядом, аккумулированным таким идеальным конденсатором. Коэффициент С называется так же, как и элемент емкостью. Ёмкость С всегда является положительной величиной. Графическое представление равенства (2.18) называют кулонвольтной характеристикой. Ниже будут рассмотрены только линейные емкости, у которых величина C не зависит ни от времени, ни от приложенного к емкости напряжения.

В системе единиц емкость С измеряется в фарадах (Ф). Найдем соотношение между мгновенными значениями тока и напряжения на зажимах линейной емкости (компонентное уравнение емкости). Взяв производную по времени от ра-

венства (2.18), получим

dqdt(t) =C dudtC (t).

Учитывая, что стоящая слева производная dq(t)/dt определяет ток iC(t), протекающий через емкость, придем к выражению

iC(t)=C dudtC (t). (2.19)

Из (2.19) следует, что ток, протекающий через емкость, прямо пропорционален производной по времени от напряжения на ее зажимах. Так, если временная зависимость напряжения на емкости uC(t) описывается кривой, показанной на рисунке 2.5, а, то временная диаграмма тока будет соответствовать кривой, представленной на рисунке 2.5, б. При известном

32

аналитическом описании uC(t) временную зависимость iC(t)
легко получить, взяв первую производную duC /dt ,				а затем
подставив ее в выражение (2.19). Если же аналитическое вы-
ражение для напряжения uC(t) отсутствует, то временную диа-
грамму тока iC(t) можно получить качественно.
Так, из математики известно, что
геометрический смысл производной –	uC(t)
тангенс угла наклона касательной к оси
	А	B	C
абсцисс. На рисунке 2.5, а выделены
наиболее характерные точки A, B, C, D,			D	E
E, к которым проведены касательные.					t
Из рисунка видно, что все касательные	0
			а
имеют наклон, соответствующий отри-	iC(t)				t
цательным значениям тангенса. В точ-
ках А и B значения тангенса угла на-	0
клона касательных практически одина-
ковы и близки к нулю. В точке С абсо-
лютная величина тангенса увеличива-			б
ется, что отображено на рисунке 2.5, б.
		Рисунок 2.5
Самое большое абсолютное значение
тангенса приходится на точку D (точка
перегиба кривой uC(t)), поэтому в этой точке имеет место ми-
нимум тока iC(t). В точке Е значение тангенса угла наклона ка-
сательной вновь становится близкой к нулю.
Как и для предыдущих моделей, при встречных направ-
лениях тока и напряжения в компонентном уравнении емко-
сти (2.19) необходимо ввести знак минус. Тогда

	iC(t)=±C	duC (t)	,	(2.20)
		dt

где знак плюс берется в случае одинакового направления тока и напряжения, а минус – противоположного.

Если к емкости приложено постоянное напряжение uC(t) = U, то, как следует из выражения (2.20), ток через ем-

33

кость будет равен нулю, так как производная duC /dt =0 . Из-

вестно, что ток в цепи равен нулю, если цепь обладает бесконечно большим сопротивлением, т.е. разомкнута. Поэтому схема замещения емкости под воздействием постоянного напряжения фактически представляет собой разрыв цепи (рису-

нок 2.4, б).

Интегрируя обе части выражения (2.20), несложно полу-

чить второе компонентное уравнение емкости

u	C	(t)=±	1	t	i (t)dt.		(2.21)
			C −∞∫			C

Мгновенная мощность согласно (1.5) и (2.20) имеет вид

p	(t)=±u	C	(t) i	(t)=±u	C	(t) C duC (t)	=±	d	C uC2		(t) . (2.22)
C			C			dt				2
								dt

Из выражения (2.22) следует, что если при одинаковом направлении тока и напряжения (в формуле принимается знак "плюс") напряжение на емкости положительное (т.е. положи-

тельное направление напряжения совпадает	с истинным)	и
имеет тенденцию возрастать (производная	duC /dt > 0),	то

мгновенная мощность будет положительной по величине. По-

следнее означает, что энергия поступает в емкость (емкость заряжается). Если же напряжение uC(t) > 0, но с течением времени убывает ( duC /dt < 0), то мгновенная мощность в ем-

кости отрицательна. В этом случае емкость разряжается, т.е. отдает ранее накопленную энергию во внешнюю цепь.

Мгновенная энергия, запасенная в емкости к произвольному моменту времени t, определяется только квадратом мгновенного значения напряжения на емкости:

t

wC (t)= ∫ pC (t)dt

−∞

t	d C u2			(t)	C u2	(t)
=±			C	dt =±	C		.	(2.23)
−∞∫	dt		2		2
	34

Из выражения (2.23) следует, что при встречных направлениях тока и напряжения на емкости энергия wC(t) < 0 при любом знаке uC(t), а это противоречит физическому смыслу. Поэтому

в компонентных уравнениях емкости при встречных направлениях тока и напряжения необходимо брать знак "минус".

2.1.4.Ф Дуальные элементы цепи

Ниже в таблице приведены соотношения между мгновенными значениями тока и напряжения для различных нагрузок. В первом столбце размещены компонентные уравнения относительно тока, во втором – компонентные уравнения относительно напряжения, а в третьем – основные энергетические соотношения.

Анализ формул, приведенных в таблице, позволяет установить определенную аналогию между ними. Сравнивая, например, выражения для напряжения на индуктивности и тока в емкости или для энергии в этих элементах, убеждаемся в их одинаковой структуре. Аналогия состоит в следующем: если в первом выражении напряжение заменить током, ток –

Компонентные и энергетические соотношения для нагрузок

Модель

Уравнение

Уравнение для

Энергетическое

нагрузки

для тока

напряжения

уравнение

Сопро-

i (t)=u

R

(t) /R

u

R

(t)=i

(t) R

p

R

(t)=i2

(t) R

тивление

R

R

R

Прово-

i (t)=u

G

(t) G

u

G

(t)=i

(t) /G

p (t)=u2

(t) G

димость

G

G

G

G

Индук-

1

t

diL (t)

L i2 (t)

i (t)=

u (t)dt

u

(t)=L

wL (t)=

L

тивность

L

L −∞∫ L

L

dt

2

duC (t)

1

t

C u2 (t)

Емкость

iC (t)=C

dt

uC (t)=

∫iC (t)dt

wC (t)=

C

C −∞

2

35

напряжением и индуктивность – емкостью, то оно переходит во второе. Если же такую замену произвести во втором уравнении, то оно переходит в первое. Также переходят друг в друга соотношения для сопротивления и проводимости при дополнительной взаимной замене R и G.

Два соотношения, обладающие указанными свойствами

взаимного перехода друг в друга, называются дуальными.

При этом взаимно заменяемые величины называются дуальными величинами, а элементы, характеристики которых дуальны, являются дуальными элементами. Понятие дуальности является взаимным: если элемент L дуален элементу С, то элемент С дуален L.

Дуальность основных элементов приводит к дуальности цепей и их уравнений, что находит применение при анализе и синтезе цепей.

2.1.5Схемы замещения реальных электрических цепей

Каждый рассмотренный ранее идеализированный элемент отражает только одну основную особенность воздействия на электромагнитную энергию в электрической цепи. В то же время отмечалось, что процессы в реальных элементах гораздо сложнее, чем в идеализированных. В каждом реальном элементе, кроме основных процессов преобразования энергии электромагнитного поля, существуют еще, так называемые, паразитные процессы. Поэтому реальные элементы электрической цепи при необходимости учета паразитных процессов представляют в виде набора идеализированных элементов, токи и напряжения в которых близки к значениям токов и напряжений в реальных элементах цепи. Такой набор идеализированных элементов называется схемой замещения реального элемента электрической цепи, либо моделью электрической цепи.

36

	Существуют два вида моделей элек-
	трических цепей: физическая, вытекаю-	LВ
	щая из принципа работы и конструктив-
	ных особенностей элементов цепи, и ма-	RВ
	тематическая. Чтобы пояснить сущность
	формирования физической модели, рас-
	смотрим более подробную схему замеще-	LR
	ния резистора, которая показана на ри-
		CB
	сунке 2.6. Как известно, резистор включа-
	ется в электрическую цепь с целью расхо-	R
	дования электромагнитной энергии. По-	RИЗ
	этому в эквивалентной схеме резистора
	должен быть отображен основной пара-	Рисунок 2.6
	метр – сопротивление R токонесущего
	(например, угольного) слоя. Кроме того,
	резистор можно охарактеризовать и паразитными параметра-
	ми: сопротивлением RИЗ изоляции, наносимой поверх токоне-
	сущего слоя; при протекании тока вокруг резистора образует-
	ся слабое магнитное поле, которое учитывается паразитной
	индуктивностью LR; ток, протекающий по выводам резистора,
	также создает магнитное поле за счет наличия у проводников
	индуктивности LВ; выводы резистора к тому же обладают не-
	которым сопротивлением RВ и емкостью СВ относительно
	друг друга. Расположение соответствующих элементов в схе-
	ме физической модели, как правило, соответствует месту кон-
	структивной локализации учитываемого физического процес-
	са. Так, элемент СВ, характеризующий емкость между выво-
	дами резистора, включен в схеме замещения ни где-либо, а
	именно между ее зажимами.
	Аналогичным образом реализована физическая модель
	биполярного транзистора для малых сигналов, показанная на
	рисунке 1.7, в.
	Итак, вид физической схемы замещения и характер со-
	единения входящих в нее идеализированных элементов суще-

37

ственным образом зависят от конструкции реального элемента, технологии его изготовления и особенностей применяемых материалов. Чем выше требования к точности расчета, тем больше число факторов должно быть принято во внимание (тем более громоздкой будет схема замещения), что приведет к усложнению математических расчетов. Поэтому при инженерных расчетах цепей целесообразно использовать упрощенные схемы замещения, отбрасывая элементы, которые мало влияют на точность расчета.

Несколько иной принцип формирования математической схемы замещения рассмотрим опять же на примере резистора. Как было показано выше, в резисторе помимо сопротивления R токонесущего слоя, в котором собственно и расходуется основная доля энергии, имеют место паразитные реактивные элементы, приводящие к аккумуляции энергии в магнитном и электрическом поле. Учет всех этих процессов в реальном резисторе может быть произведен в рамках разных по структуре эквивалентных схем, показанных на рисунке 2.7.

Из рисунка видно, что во всех схемах присутствуют элементы, обуславливающие особенности преобразования энергии электромагнитного поля в реальном резисторе. Очевидно, что для всех приведенных схем значения элементов будут отличаться. Чтобы определить значения элементов принятой ма-

i

u D u

i		i		i
L1		R2	C2	R3	C3
	u
R1		L2		u
	C1			L3

a	б	в	г
		Рисунок 2.7
		38

тематической модели, за основу используют характеристики реального элемента. Реальный резистор показан на рисунке 2.7, а в виде двухполюсника D, через который протекает ток i(t), а на его зажимах выделяется напряжение u(t). В эквивалентных схемах резистора (рисунки 2.7, б-г) ток и напряжение должны быть точно такими же, как и в реальном элементе. Чтобы определить эти значения элементов R, L и С, необходимо решить задачу синтеза цепи, при которой по известным характеристикам цепи определяют ее структуру и производят расчет составляющих ее элементов. После расчета параметров все схемы на рисунке 2.7, а-г будут эквивалентны относительно внешних характеристик цепи, каковыми являются u(t) и i(t).

В заключение данного раздела рассмотрим в качестве примера методику формирования математической модели

передающей антенны. Не вдаваясь в тонкости физической сущности электромагнитных процессов в передающей антенне, примем простейшую трактовку процесса излучения электромагнитных волн, известную из курса физики: если в проводнике протекает высокочастотный переменный ток, то такой проводник способен излучать электромагнитные волны в пространство. Поскольку энергия, излученная в пространство, теряется безвозвратно (расходуется), то в первом (наиболее грубом) приближении можно заменить антенну моделью, учитывающей лишь потери энергии, то есть сопротивлением.

На рисунке 2.8, а приведена структурная схема передающего устройства с Т-образной антенной, а на рисунке 2.8, б – ее математическая модель. Единственный параметр RA схемы замещения рассчитывается, исходя из следующих физических соображений. Электромагнитные волны в антенне появляются в результате протекания в ней тока. Действующее значение тока IА в излучающей части антенны (вертикальной, называемой снижением) определяет среднюю мощность излучения антенны РА. Ранее, при рассмотрении сопротивления как идеализированной модели, выяснено, что при протекании тока

39