ТЭЦ лекции

ных уравнений баланса напряжений: каждое из уравнений должно включать в себя напряжения на элементах цепи, которые отсутствовали бы в других уравнениях).

При определении линейно независимых уравнений баланса напряжений достаточно часто применяется алгоритм, не использующий понятия графа цепи. Покажем действие данно-

го алгоритма при определении независимых уравнений по второму закону Кирхгофа в схеме цепи, представленной на рисунке 3.10, а:

1) выбирают любой из контуров цепи и для него записывают уравнение по второму закона Кирхгофа; на рисунке 3.10, а в качестве такого контура взят контур I, для которого

u1(t) + u2(t) = e(t);

2) разрывают одну из ветвей контура 1 (рисунок 3.10, б, в данном случае это ветвь с емкостью С1);

R1

u1

С1

e I

R2

u3

u2 L

С2u5

u4 R3 u6

R1	R2	а
u1	u3	С2	u5

II	L	u4	R3	u6
e
	R1		R2	б
				u4 С2	u5
			L	III	u6
				R3
Рисунок 3.10					в
	70

3) из оставшихся контуров цепи выбирают второй контур; например, в качестве второго контура (рисунке 3.10, б) можно взять, например, контур, состоящий из ветвей e-R1-R2- L; далее записывают для этого контура топологическое уравнение:

u1(t) + u3(t) + u4(t) = e(t);

4)вновь разрывают одну из ветвей контура, теперь уже II-го (рисунок 3.10, в, выбрана ветвь с источником e(t));

5)записывают по второму закону Кирхгофа уравнение

баланса напряжений для оставшегося контура (рисунок

3.10, в):

−u4(t) + u5(t) + u6(t) = 0.

Очевидно, что составленные уравнения по второму закону Кирхгофа являются линейно независимыми, так как в каждый из рассмотренных контуров I-III входит не менее одного нового напряжения.

Если контур цепи включает в себя вырожденную ветвь, содержащую идеальный источник тока, то для такого контура уравнение баланса напряжений не принимается в качестве линейно независимого.

3.6 Тестовые задания для самопроверки

Задание 3.1. Дополните определение.

…− участок схемы цепи, через который протекает ток одинаковой величины.

Задание 3.2. Дополните определение.

…− точка соединения трех и более ветвей схемы цепи. Задание 3.3. Дополните определение.

…− любой замкнутый путь, проходящий по ветвям цепи, в котором каждая ветвь проходится только один раз.

Задание 3.4. Дополните определение.

…ветви − это участки цепи, через которые протекает одинаковый ток.

71

Задание 3.5. Дополните определение.

Ветви, принадлежащие одной и той же паре узлов, называют …

Задание 3.6. Укажите правильный ответ.

В схеме, показанной на рисунке 3.11, последовательно соединены сопротивления:

• R1 и R2 • R1 и R3

• R2 и R3	• таких сопротивлений нет
Задание 3.7. Укажите правильный ответ.
В схеме, показанной на рисунке 3.11, параллельно со-
единены сопротивления:
• R1 и R2 • R1 и R3
• R2 и R3	• таких сопротивлений нет
Задание 3.8. Укажите правильный ответ.
В схеме, показанной на рисунке 3.12, параллельно со-
единены сопротивления:
• R1 и R2	• R1 и R4 • R1 и R2
• R2 и R3	• таких сопротивлений нет.

R1

R2

R3

Рисунок 3.11

R1

R3

R2

R4

Рисунок 3.12

Задание 3.9. Укажите правильный ответ.

В схеме, показанной на рисунке 3.12, последовательно соединены сопротивления:

• R1 и R2	• R1 и R4 • R1 и R2
• R2 и R3	• таких сопротивлений нет.

Задание 3.10. Введите правильный ответ.

Число узлов в схеме цепи на рисунке 3.13 равно …

72

Задание 3.11. Введите правильный ответ.

Число независимых узлов в приведенной на рисунке 3.13 схеме равно …

Задание 3.12. Введите правильный ответ.

Число контуров в приведенной на рисунке 3.13 схеме цепи равно …

Задание 3.13. Введите правильный ответ.

Число независимых контуров в приведенной на рисунке 3.13 схеме цепи равно …

Задание 3.14. Введите правильный ответ.

Число узлов в приведенной на рисунке 3.14 схеме цепи равно …

Задание 3.15. Введите правильный ответ.

Число независимых узлов в приведенной на рисунке 3.14 схеме цепи равно …

R1	R2	R1	R3
	R3				С
		e	R2	R4
R4	R5

Рисунок 3.13	Рисунок 3.14

Задание 3.16. Дополните определение.

Геометрическое представление цепи, при котором все элементы цепи заменены отрезками, называется … цепи.

Задание 3.17. Дополните ответ.

Связанный подграф, соединяющий все узлы графа, но не образующий ни одного контура, называется … графа.

Задание 3.18. Установите соответствие.

Пусть граф содержит p ветвей и q узлов, тогда …

73

	Множество £			Множество
1.	число ребер			1. p
2.	число хорд			2. p −q + 1
				3. p −q
				4. q
				5. q −1

Задание 3.19. Укажите правильный ответ.

При построении графа дерева в число ветвей дерева (ребер) не вносят ветви, содержащие идеальные источники …

• напряжений • тока Задание 3.20. Укажите правильный ответ.

Граф цепи показан на рисунке 3.15 (сплошной линией обозначены ребра, а штрихами хорды). Число главных контуров графа равно …

				Задание 3.21. Укажите правильный
d		4	e	ответ.
				Граф цепи показан на рисунке 3.15
1	2	5		(сплошной линией обозначены ребра, а
				штрихами хорды). Число главных сече-
c		3	f	ний графа равно …
	Рисунок 3.15			Задание 3.22. Укажите правильные
				ответы.
				Главные контуры графа, показан-
ного на рисунке 3.15, включают в себя ветви …
	• 1-2-4 • 2-3-5 • 1-2-3
	Задание 3.23. Укажите правильные ответы.
	Главные сечения графа, показанного на рисунке 3.15,
включают в себя ветви:
	• 1- 2 • 2-5-4 • 1-3 • 1-2-3

74

4 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ ЦЕПЕЙ

4.1 Основные задачи теории цепей

Любую электрическую цепь можно представить как многополюсник, у которого имеется M входов и N выходов. Будем считать, что ко входам цепи приложены воздействия x(t) = {x1(t), x2 (t), ...,xM (t)}, а на выходах цепи наблюдаются

отклики y(t) = {y1(t), y2 (t), ..., yN (t)}. В зависимости от исход-

ных данных и цели исследования в теории цепей различают два вида задач: задачи анализа и задачи синтеза.

Задача анализа цепи состоит в определении реакции цепи y(t) на воздействие x(t).

Задача синтеза цепи заключается в нахождении конфигурации цепи по заданному отклику y(t) при воздействии x(t).

Взадаче анализа исходными данными являются схема замещения с известными значениями всех элементов и описание внешнего воздействия x(t), задаваемого в виде совокупности токов идеальных источников токов и напряжений источников ЭДС. В результате анализа определяется отклик y(t) в виде совокупности токов и напряжений либо всех ветвей, либо их части.

Часто задача анализа сводится к нахождению соотноше-

ний между откликами цепи yk(t) на отдельных выводах и воздействиями xr(t), приложенными к определенным входам. Такие соотношения называются характеристиками цепи или системными функциями цепи. В зависимости от того, какая величина – частота или время – является аргументом характеристики цепи, различают частотные или временные характеристики.

Взадаче синтеза цепей заданными являются временные зависимости воздействия x(t) и отклика y(t). В результате синтеза необходимо определить схему замещения цепи и значе-

75

ния (параметры) ее идеализированных элементов.

Задачи анализа и синтеза электрических цепей взаимосвязаны, поэтому большая часть курса теории цепей будет посвящена задачам анализа цепей и знакомству с характеристиками цепей при различных внешних воздействиях.

4.2Понятия об уравнениях электрического равновесия

Математически задача анализа электрической цепи, как правило, сводится к решению системы линейно независимых уравнений, в которой неизвестными величинами являются токи и напряжения ветвей исследуемой цепи.

Уравнения, решение которых позволяет определить значения всех токов и напряжений ветвей электрической цепи,

называют уравнениями электрического равновесия цепи. В

соответствии с требованиями математики, число уравнений электрического равновесия цепи должно быть равно числу неизвестных токов и напряжений.

Для схемы цепи, содержащей p ветвей, общее число неизвестных токов и напряжений равно удвоенному числу ветвей 2р, так как в каждой ветви неизвестны и ток, и напряжение. Сформулировать такое число линейно независимых уравнений можно исходя из следующих рассуждений. Так как число ветвей равно р, то использование компонентных уравнений для каждой из ветвей дает систему из р линейно независимых уравнений. Остальные р независимых уравнений можно составить на основе законов Кирхгофа (топологические уравнения). Как показано выше, на основе первого закона Кирхгофа можно сформировать (q −1) линейно независимое уравнение баланса токов, на основе второго закона Кирхгофа – (p −q + 1) линейно независимое уравнение. В результате получают 2р необходимых для решения задачи независимых уравнений.

76

4.3Алгоритм формирования уравнений электрического равновесия цепи

Ниже излагается порядок (алгоритм) составления системы электрического равновесия на примере цепи, схема замещения которой показана на рисунке 4.1.

1. Осуществляют предварительную подготовку цепи к расчету. Для этого, во-первых, задают положительные направления токов и напряжений на идеализированных элементах, во-вторых, выделяют узлы схемы и нумеруют ветви. Общее число узлов в схеме цепи: q = 2. Обратите, кроме того, внимание на то, что в результате произвольного выбора положительных направлений ток и напряжение в сопротивлении R2 направлены встречно.

2. Записывают компонентные уравнения для каждого из элементов цепи, каковых в схеме только три:

	R1: u1(t)=i1(t) R1,
	C: i		(t)=C du2 (t),
		2	dt
	R2 : u3 (t)=−i3 (t) R2.
Вновь следует обратить внимание на то, что в третьем компо-
нентном уравнении в законе Ома введен знак "минус", по-
скольку ток и напряжение сопротивления R2 направлены на-
встречу друг другу.
3. Определяют		независи-
мые уравнения по первому за-					R1	c	R2
кону Кирхгофа. Так как цепь						i1 i3
обладает двумя узлами, то					u1		u3
уравнение баланса токов будет				e1		С	u2	e2
одно.	Выбирают	произволь-				i2
ный узел, например c, и за-
						d
писывают для него уравнение
по первому закона Кирхгофа:					Рисунок 4.1
			77

i1(t)−i2 (t)+i3 (t)=0.

4. Определяют линейно независимые контурá схемы цепи. Для этого разумно использовать методику, изложенную на с. 70-71. Итак, выбирают изначально любой из контуров цепи и присваивают ему номер I (рисунок 4.2, а). Далее разрывают одну из ветвей контура 1 (рисунок 4.2, б, ветвь с источником напряжения разорвана). Из оставшихся контуров цепи выбирают второй контур: в данном случае это единственный незадействованный контур II (рисунок 4.2, б). Итак, число линейно независимых контуров, для которых могут быть составлены уравнения баланса напряжения − два. Это контурá e1-R1-C

и C-R2-e2.

R1

R2

R1

R2

u1

u3

u3

e1	С	u2	e2	С	u2	e2
	I				II
		а			б

Рисунок 4.2

5. Используя второй закон Кирхгофа, составляют линейно независимые уравнения баланса напряжений – уравнения по второму закону Кирхгофа для выделенных независимых контуров:

u1(t)+u2 (t)=e1(t) − для первого контура, −u2 (t)+u3 (t)=−e2 (t) − для второго контура.

Анализируя составленные уравнения, видим, что в совокупности они представляют полный набор уравнений электрического равновесия цепи: число уравнений – шесть, содержат шесть неизвестных i1(t), i2(t), i3(t), u1(t), u2(t), u3(t) и являются линейно независимыми.

78

Если в рассматриваемой цепи имеется р' ветвей, содержащих идеальные источники тока, то токи этих ветвей всегда заданы и равны токам источников, а напряжения на источниках тока неизвестны. Если же в схеме имеется р'' ветвей, состоящих из идеальных источников напряжения, то в этих ветвях известны напряжения, равные ЭДС соответствующих источников, а токи в этих ветвях неизвестны. Поэтому в системе электрического равновесия, в общем случае, содержится 2р−р' −р'' уравнений (p = n + m уравнений на основе законов Кирхгофа и р−р' −р'' компонентных уравнений).

При наличии в цепи идеальных источников тока граф цепи не должен содержать ребер соответствующих ветвей.

4.4 Дифференциальное уравнение цепи

Как известно, если цепь состоит только из сопротивлений, то компонентные уравнения таких элементов представляют собой уравнения по закону Ома. То есть система уравнений электрического равновесия цепи представляет собой систему простых алгебраических уравнений. Линейные же цепи, содержащие помимо сопротивлений реактивные элементы (емкости, индуктивности), описываются системами линейных интегро-дифференциальных уравнений.

Систему уравнений электрического равновесия цепи можно путем дифференцирования и последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса) свести к одному дифференциальному уравнению с одним неизвестным, причем неизвестное может представлять собой один из токов либо напряжений цепи. Такое уравнение называют дифференциаль-

ным уравнением цепи.

Дифференциальное уравнение цепи содержит полную информацию о характере процессов в цепи.

Для примера составим дифференциальное уравнение цепи, схема которой приведена на рисунке 4.1, а.

79