Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

18.4. Эффекты нескольких констант связи и массы

193

à ñm — набор коэффициентов разложения.* (В этом разделе мы не соблюдаем соглашение о суммировании по индексам.)

Из выражения (18.4.5) следует, что константа связи стремится к фиксированной точке при μ → ∞ тогда и только тогда, когда cm = 0 для всех собственных векторов с λm > 0. (Для просто-

ты предполагаем, что ни одно из собственных значений не равно нулю.) Тогда в общем случае траектории притягиваются к фиксированной точке, лежащей на N–-мерной поверхности, где N– — число отрицательных собственных значений М. Касательные к этой поверхности в точке g* являются собственными векторами с отрицательными собственными значениями. Траектории, не лежащие на этой поверхности, могут близко подходить к фиксированной точке, но в конце концов отталкиваются от нее, преимущественно в направлении собственных векторов с наибольшими собственными значениями. Конечно, если все собственные значения отрицательны, то вокруг фиксированной точки существует конечная область, внутри которой все траектории сходятся к этой точке.

Очевидно, что собственные значения λm важны для понимания

асимптотического поведения траекторий, достигающих фиксированной точки, поэтому полезно заметить, что эти собственные зна- чения не зависят от определения констант связи. Предположим, что мы вводим новый набор констант ~gl , определенных как функ-

ции g. Они удовлетворяют уравнениям ренормгруппы

d

~l

~l

(g)

~l

~

å

∂g

m

μ

g

(μ) =

|g=g(μ) β

(g)

≡ β

(g(μ)) ,

dμ

∂gm

m

òàê ÷òî

~

~l

(g)

l

∂g

m

β

(g) = å

β

(g) .

(18.4.7)

m

∂gm

* Мы предполагаем, что собственные значения Vm образуют полный набор. Это не всегда так, но это — общий случай. Собственные векторы конечной матрицы М образуют полный набор, если все корни секулярного уравнения Det(M – λI) = 0 различны. Матрица, собственные векторы кото-

рой не образуют полного набора, может рассматриваться как предельный случай матрицы с полным набором собственных векторов, когда некоторые из этих векторов становятся вырожденными.

194	Глава 18. Методы ренормгруппы

(Это означает, что β преобразуется как контравариантный век-

тор в пространстве констант связи.) Дифференцируя, имеем:

∂β

(g) ∂g

∂

g

∂g

∂β (g)

~l

~

~

m

2

~

l

~

l

m

å

k = å

βm (g) + å

.

∂g

m

∂g

∂g

m

∂g

k

∂g

m

∂g

k

m

m

m

~

В фиксированной точке g* первое слагаемое справа обращается в нуль, так что получаем матричное уравнение

	MS = SM ,								(18.4.8)
	~
ãäå
~ l	L	∂β~l		O
	≡ M			P
M k			~k					,	(18.4.9)
	M	∂g		P		~		~
	N			Q
						g		= g(g* )
	L		∂g~l O
Slk ≡ M					P			.	(18.4.10)
	N		∂gk Q				g=g*

До тех пор, пока преобразование g → ~g несингулярно, соотношение

~

(18.4.8) является преобразованием подобия, поэтому M и M имеют одни и те же собственные значения λm.

Формализм ренормгруппы можно применять не только к перенормируемым, но и к неперенормируемым теориям. Как мы пояснили в разделе 12.3, по аналогии с перенормируемыми теориями расходимости в неперенормируемых теориях устраняются подходящей перенормировкой констант связи и масс. Единственная разница заключается в том, что в неперенормируемых теориях следует предполагать, что лагранжиан содержит все взаимодействия, разрешенные симметриями теории. Если gBl — неперенормируемая константа связи, умножающаяся в лагранжиане на оператор размерностью Dl (т. е. на произведение полей и их пространственно-временных производных, размерность которых в степенях массы или энергии равна Dl), то размерность gBl будет равна l = 4 – Dl. После этого можно выразить голые константы через набор безразмерных перенормированных констант gl(μ) и обрезание Λ с помощью соотношений общего вида

18.4. Эффекты нескольких констант связи и массы

195

L

glB º m l Mgl (m) +

MN

	F	I	+ O(g(m)
å blkmgk (m) lnG		LJ
k,m	H m K

O

3 )P , (18.4.11)

PQ

где безразмерные численные коэффициенты blkm и аналогичные

коэффициенты в слагаемых более высокого порядка выбраны так, чтобы сократить зависимость физических величин от обрезания. (В ряде теорий старшее слагаемое может быть трилинейно по константам связи или иметь даже еще более высокий порядок; те изменения, которые следует произвести в этом случае, очевидны.) Из требования, чтобы gB не зависела от обрезания, получаем уравнение ренормализационной группы (18.4.1), в котором

bl (g) = -Dlgl - å blkmgkgm + O(g3 ) .	(18.4.12)
k,m

Взаимодействия с Dl > 4 èëè Dl < 0 являются неперенормируемыми, так что пока все gl(m) остаются достаточно малыми, мы ожида-

ем, что для перенормированных констант неперенормируемых взаимодействий функции bl положительны и, следовательно, растут с ростом m, однако никто не знает, что случится, когда константы

станут настолько большими, что нарушится применимость теории возмущений.

Однако, как объясняется в следующем разделе, даже в теориях с бесконечным числом независимых параметров обычно имеются неподвижные точки g*, в которых число N– отрицательных собственных значений матрицы (18.4.6) конечно, как и в случае нулевой связи. (В частности, часто N– = 1.) Когда N– ¹ 0, неподвиж-

ная точка находится на N–-мерной критической поверхности, состоящей из траекторий, притягивающихся в неподвижную точку при m ® ¥. Хотя неперенормируемая теория с параметрами связи,

находящимися на такой критической поверхности, и не является асимптотически свободной, говорят, что она асимптотически безопасна,5 поскольку перенормированные константы остаются конеч- ными при больших значениях m. Условие асимптотической безопас-

ности в такой теории, обычно ассоциирующееся с принципом перенормируемости, играет роль при устранении всех, кроме конечного числа, свободных параметров — координат критической поверхности.

196	Глава 18. Методы ренормгруппы

В перенормируемой теории все физические величины делаются независящими от обрезания путем подбора зависимости от обрезания конечного числа голых констант. Эти константы можно выразить через равное число зависящих от μ перенормированных констант, а условие, что голые константы являются μ-независи-

мыми, приводит к уравнениям ренормгруппы, связывающим только перенормированные константы. Если придерживаться более широкой точки зрения, допускающей не только перенормируемые, но и неперенормируемые связи, то перенормируемая теория соответствует конечномерной инвариантной поверхности в бесконеч- номерном пространстве всех перенормируемых и неперенормируемых теорий. Иными словами, это поверхность, на которой все βl(g) в любой точке g касательны к поверхности в этой точке.

До сих пор в этом разделе мы молчаливо предполагали, что μ . m, и что поэтому можно пренебречь зависимостью βl îò m/μ. Однако такое предположение необязательно. Мы можем,

если хотим, рассматривать массу как еще один параметр связи 6|. Это означает, что все перенормированные константы можно определить, как и выше, через различные функции Грина с импульсами вне массовой поверхности порядка μ, но вычислен-

ными при нулевых значениях всех голых масс. Безразмерные перенормированные массовые параметры для дираковских полей y или скалярных полей ϕ можно определить следующим образом:

mψ (μ) ≡ N(ψψ) bΛ μg−1mψ,голая (Λ) / μ ,		(18.4.13)
mϕ2 (μ) ≡ N(ϕ2 ) bΛ μg−1mϕ2	,голая (Λ) / μ ,	(18.4.14)

ãäå N(O)(Λ/μ) — безразмерные константы, которые после умноже-

ния на соответствующие операторы О сокращают расходимости в матричных элементах этих операторов, также вычисленных при нулевых значениях голых масс. (См. раздел 18.1.) Эти новые перенормированные массы и константы не имеют непосредственного физического смысла, но через них можно выразить истинные физические массы и все физические матричные элементы. Такие матричные элементы принимают вид сумм матричных элементов для нулевых голых масс с любым числоì вставок перенормированных массовых операторов N(ϕ2 )ϕ2 è N(ψψ) ψψ , умноженных на со-

ответствующие перенормированные массовые параметры.

18.4. Эффекты нескольких констант связи и массы

197

В такой схеме перенормировок бета-функции для различ- ных констант очевидно не зависят от масс, а бета-функции для массовых параметров пропорциональны этим параметрам с коэффициентами, зависящими от всех констант. Используя формулу (18.2.25), имеем

d

μ

m

ψ

(μ) =

−1

− γ

ψψ

(g )

m

ψ

(μ) ,

(18.4.15)

dμ

μ

μ

d

m2

(μ) =

−2

− γ

ϕ

2

(g )

m2

(μ) .

(18.4.16)

dμ

ϕ

μ

ϕ

Например, в разделе 18.2 мы отмечали, что в скалярной теории поля с лагранжианом (18.1.2) массовый оператор ϕ2 имеет при m = 0

аномальную размерность (18.2.29), так что здесь

		d	L		2		O
	μ		mϕ2 (μ) = M−2	+		gμ	+ O(gμ2 )P mϕ2 (μ) .	(18.4.17)
		dμ			16π2
			M				P
			N				Q

Кроме того, из выражения (11.4.3) видно, что влияние высших поправок на пропагатор электрона заключается в замене массы электрона на me – Σ*(p,me), так что влияние этих же поправок на матричные элементы оператора ψeψe между одноэлектронными состояниями с 4-импульсом pμ заключается в умножении их на

множитель

F ∂Σ* (p, m		)I
F(p) = 1 − G	e		J	.
	∂me
H			K m	=0
			e

Поэтому константа перенормировки N(ψψ) для оператора ψeψe ðàâ-

íà F–1(p), вычисленной при р2, равному какому-нибудь масштабу перенормировки, например, μ2. Согласно (11.4.8) в однопетлевом

приближении имеем

F ∂Σ*			(p, m	e	)I
N(ψψ) = 1 + G	1 петля					J				=	(18.4.18)
		∂me
H						K	m	2	=μ	2
								=0,p
							e

198	Глава 18. Методы ренормгруппы

= 1 - 4p2

(2p)4

X	1	L	+ F L I			O
					(1		® 1	-
		dx ln 1				- x)
				2
Y		M	G	2 J		P
Y		M	H m	K		P
Z0
		N				Q

e2		L	lnF		2	I	O
		M		L			- 1 ,
	2				2 J
4p			G				P
		M	H m			K	P
		N					Q

ãäå L — ультрафиолетовое обрезание (обозначавшееся в (11.4.8) как m) причем мы перешли к пределу L . m. Поэтому аномальная размерность оператора ψeψe дается выражением (18.2.25) в виде

g (ψψ) = m d ln N( dm

так что (18.4.15) принимает вид:

		d		L
	m		me	(m) = M-1	-
		dm
				M
				N

	ψψ) =	eμ2	+ O(eμ4 ) ,	(18.4.19)
		2p2

	e2	O
	μ	+ O(eμ4 )P me	(m) .
				(18.4.20)
	2p2
		P
		Q

Та же формула верна и в общих калибровочных теориях с заменой е2 на значение åα(tα)2 для конкретного рассматриваемого

фермиона.

Конечно, существенная разница между m(m) и другими пере-

нормированными параметрами теории заключается в том, что голые массы имеют положительную размерность, так что пока константы остаются малыми, все m(m) уменьшаются по величине. Наше предыдущее предположение, что при m ® ¥ массами можно пренебречь, подтверждается, если на самом деле m(m) обращается при m ® ¥ в нуль. Однако, единственный известный случай, где имеет

место такое поведение, – это асимптотически свободные теории, в которых все константы действительно остаются малыми при m ® ¥.

Во всех остальных случаях такое предположение является просто догадкой, основанной на фактах.

18.5. Критические явления*

Для ряда приложений представляет интерес предел не больших, а малых энергий или волновых чисел. При изучении этого

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

18.5. Критические явления

199

предела можно повторить рассуждения раздела 18.2, если не считать того, что теперь рассматривается предел μ → 0, à íå μ → ∞. Проще всего изучать этот предел, когда в теории нет

масс, как, например, в случае квантовой электродинамики с симметрией относительно киральных преобразований ψ → γ5ψ, çàï-

рещающей наличие ненулевой массы у электрона. В этом частном случае у единственного перенормирумого взаимодействия eAμ ψγ μ ψ , а также у всех неперенормируемых взаимодействий функции βl > 0 при достаточно малых константах связи, так что

все траектории, по крайней мере, в конечной области вокруг начала координат, притягиваются при μ → 0 к точке gl = 0. Òå æå

рассуждения применимы даже к теориям с очень малыми ненулевыми массами, если эти массы включены в число параметров связи, как описано в предыдущем разделе. Для массового параметра коэффициент в (18.4.12) положителен, так что в этом случае траектории никогда не могут достичь точки g = 0, однако могут достаточно близко подойти к ней при малых массах.

Конечно, даже если допустить, что некоторые степени свободы вроде электронного поля могут иметь нулевую или очень малую массу, в реальном мире существует множество других степеней свободы, массы которых не малы. Рассуждения, основанные на ренормализационной группе, следует применять не к истинной теории, описывающей все эти тяжелые степени свободы, а к «эффективной» теории поля, в которой явно проявляются только безмассовые или почти безмассовые степени свободы, а взаимодействия включают эффекты, связанные с внутренними линиями тяжелых частиц. (В гл. 19 мы расскажем подробнее об эффективных теориях поля.)

Предел малых волновых чисел представляет особый интерес при изучении критических явлений, таких, как корреляции дальнего порядка вблизи точки фазового перехода второго рода (гладкого фазового перехода без скрытой теплоты) в конденсированных средах. Поскольку нас интересует предел μ → 0, âàæ-

ными становятся те собственные векторы матрицы (18.4.4), для которых собственные значения λ < 0. Эти собственные векторы называют релевантными. Собственные векторы с λ = 0 è λ > 0

называют, соответственно, маргинальными и нерелевантными. Предположим, что существует нетривиальная неподвиж-

ная точка g* ровно с одним отрицательным собственным значени-

200	Глава 18. Методы ренормгруппы

åì λ0, возможно, приближенно соответствующим массовому оператору. Множество траекторий gl(μ), притягивающихся к этой неподвижной точке при μ → 0, образует критическую поверх-

ность с коразмерностью единица, иными словами, поверхность, определенную единственным условием на константы связи, заключающемся в том, что при g → g* касательные gl – g*l не имеют

компонент в направлении собственного вектора с отрицательными собственными значениями. Когда физические значения констант при любом фиксированном характерном масштабе достигают этой поверхности, происходит фазовый переход. Так как критическая поверхность имеет коразмерность, равную единице, фазовый переход можно получить путем настройки любого из тех параметров, от которых зависят константы связи, например, давления или температуры. Как отмечалось в предыдущем разделе, из того факта, что фазовые переходы такого типа имеют место у широкого круга веществ, следует, что наличие неподвижных точек, для которых матрица (18.4.4) имеет единственное отрицательное собственное значение, является вполне обычной ситуацией.

Конкретнее, когда температура Т достигает критического значения Тñ, мы ожидаем, что коэффициент с0 при растущем слагаемом в (18.4.5) становится пропорциональным разности Т – Тñ, поскольку нет никаких причин, по которым он должен быть сингулярным или обращаться в нуль быстрее. Таким образом, при μ → 0 и затем при Т → Òñ константы связи ведут себя как

gl (μ) → (T − T ) Vl		μλ0	,	(18.5.1)
c	0

ãäå λ0 — единственное отрицательное собственное значение при g*, à V0l — соответствующий собственный вектор *.

Применяя ренормгрупповые рассуждения к волновым числам вместо энергий, получим, что N-точечная функция (N-ая частная производная эффективного действия по полю ϕ размер-

* Другие вклады в константы связи будут вести себя как (T − T )0 μλ1 ñ λ1 > 0. Отсюда, выражение (18.5.1) справедливо, если разность Т – Т00 стремится к нулю медленнее μ λ1 − λ0 .

18.5. Критические явления	201
ностью [волновое число]Dϕ ) при малом характерном масштабе κ
волнового числа имеет вид *
ΓN (κ) → κd−N(Dϕ + γ ϕ (g* ))FN ((T − Tc)κλ0 ) ,	(18.5.2)

ãäå gϕ(g) — аномальная размерность, связанная с полем ϕ, à d —

размерность пространства-времени, или, в классической статисти- ческой механике, размерность пространства. Удобно переписать это соотношение в эквивалентной форме:

ΓN (κ) → (T − Tc)−[d−N(Dϕ + γ ϕ (g* ))]/λ0 GN (κ(T − Tc)1/λ0 ) . (18.5.3)

Отсюда, с одной стороны, видно, что корреляционная длина ξ (õà-

рактерная длина, определяющая масштаб, на котором изменяется фурье-образ ΓN) растет при Т → Òñ êàê

ξ (T − T )− ν	(18.5.4)
c

ãäå ν — определенный обычным образом положительный «крити-

ческий показатель», который определяется из (18.5.3) как

ν = −1 / λ0 .

(18.5.5)

Кроме того, эффективное действие для нулевого поля Γ0 (или свободная энергия в статистической физике) не должно зависеть от κ,

т. к. оно соответствует диаграммам без внешних линий. Отсюда при Т → Òñ выражение (18.5.3) принимает вид

Γ − F	(T − T )νd ,	(18.5.6)
0 0	c

где константа F0 — эффективное действие или свободная энергия, связанные с тяжелыми степенями свободы, по которым произведено интегрирование. Таким образом, степень ν определяет также

поведение той части свободной энергии, которая неаналитична по температуре при Т вблизи Тñ.

* Функция FN зависит также от безразмерных углов и отношений волновых чисел. Заметим, что «наивная» размерность ΓN равна d – NDϕ, т. к. выражение δ 4 (å k)Γ должно быть безразмерным.

202 Глава 18. Методы ренормгруппы

В 1972 г. Вильсон и Фишер7 использовали разложение по степеням d – 4 как для того, чтобы показать, что теория скалярного поля действительно описывается указанным способом, так и для того, чтобы приближенно вычислить критические показатели типа ν. Рассмотрим теорию с одной-единственной «легкой» степенью свободы — скалярным полем ϕ, например, намагниченностью

в ферромагнетике, и симметрией относительно преобразования ϕ → –ϕ, исключающей нечетные по ϕ взаимодействия. В дополнение к «массовому» слагаемому –g2ϕ2/2 лагранжиан эффективной теории поля будет содержать взаимодействия –g4ϕ4/4!, –g6ϕ6/6! и т. д. Размерность поля ϕ в степенях волнового числа равна (d – 2)/2 (так, чтобы z ddx(Ñj)2 был безразмерным), так что размерности

констант g2, g4, g6 и т. д. равны +2, 4 – d, 6 – 2d, и т. д. Для неподвижной точки при нулевой связи в трех измерениях имеются две релевантные константы g2 è g4, но этот вывод изменяется при учете взаимодействий в нетривиальных фиксированных точках. Рассмотрим поверхность в пространстве констант связи, на кото-

рой только g2 è g4 отличны от нуля, и выберем малые значения

g .* Из выражения (18.2.12) имеем b(g4 ) = 3g42 16p2 + O(g43 )

ïðè d = 4,

4

а из (18.4.12) следует, что в d = 4 – ε измерениях следует доба-

вить к этому слагаемое –εg4, òàê ÷òî

μ

d

g4 (μ) = −εg4 (μ) +

3g2

(μ)

+ O(g43 (μ)) .

4

(18.5.7)

dμ

16π2

Кроме того, из (18.4.170 получаем

d

L

g4 (μ)

O

μ

g2 (μ) = M−2

+

+ O(g4 (μ))P g2 (μ) .

(18.5.8)

dμ

16π2

N

Q

Следовательно при малом ε имеется нетривиальная неподвижная

точка при

	=	16π2		ε		= 0 .	(18.5.9)
g4*					, g2*
		3

* Ïðè 3 £ d £ 4 это единственные перенормируемые константы, так что

при таких d такая поверхность является инвариантной. Обратим внимание на то, что мы здесь не включили в число констант коэффициент при (Ñj)2,

т. к. это лишняя константа в том смысле, о котором шла речь в разделе 7.7.