Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

17.5. Однопетлевое вычисление...

143

После этого с помощью элементарной алгебры нетрудно показать, что слагаемое в (17.5.18) четвертого порядка по Aαμ имеет вид:

	R				M−1M				2
[tr ln M] 4	= trS−		1
A	T 2					0	2
							2					1				4 U	(17.5.20)
	+	M−1M					M−1M				−			M−1M		V.
				0		1	0			2	4			0	1	W

(Чтобы убедиться в этом, вставьте в (17.5.19) множители ε è ε2 перед

Ì1 è Ì2, соответственно, затем продифференцируйте tr ln M четыре раза по ε, разделите на 4! и положите ε = 0.) Множители M0–1 — обычные пропагаторы. При ξ = 1 они равны

[MA (q)]−1			= δ			η			(q2 − iε)−1	,	(17.5.21)
0	αμ,βν				αβ μν
[Mψ (q)]−1				=		[iq/		+ m]−1,			(17. 5. 22)
	0	kl							kl
[Mω	(q)]−1		= δ			αβ	(q2 − iε)−1 .				(17. 5. 23)
0	α,β

Действительно, три слагаемых в (17.5.20) в точности соответствуют трем фейнмановским диаграммам рис. 17.1. Данный метод вычисле-

Рис. 17.1. Однопетлевые фейнмановские диаграммы для четвертичного по постоянному фоновому полю Aμα слагаемого в квантовом эффективном дей-

ствии. Сплошные линии представляют внутренние линии калибровочных, гостовских и материальных полей, пунктирные линии изображают множители Aμα. Эти три диаграммы соответствуют трем слагаемым в (17.5.20)

144	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

ний избавляет нас от необходимости думать о знаках и комбинаторных множителях.

Для петли калибровочного поля из формулы (17.5.15) при ξ = 1

имеем:

[M1A (q)]αμ,βν = −2ημνqλ [Àλ ]αβ ,

[M2A(q)]αμ,βν = ημνÀλ Àλ − ÀνÀμ − Àμ Àν αβ + FγμνCγαβ ,

ãäå À λ — матрица

[Àλ ]αβ ≡ −iCαβγ Aγλ ,

для которой

[Àλ , Àρ ]αβ = −Cαδγ Cδβε (Aγλ Aερ − AγρAελ )

=−(Cαδγ Cδβε + CαδεCδβγ )Aγλ Aερ

=+CαδβCδεγ Aγλ Aερ = CαδβFδρλ .

Интегралы имеют следующую структуру:

z d4q qμq ν f(q2 ) = 1 ημν z d4q q2 f(q2 ), 4

	z d4q qμq νqρqσ f(q2 ) =	1		ημνηρσ + ημρηνσ + ημσ ηνρ		z d4q q2 f(q2 ) .
	24
	Ïðè ξ = 1 находим:

R

−

1 M2A (q)

2 U

=

4I tr

λ

Àλ À

η

Àη

z d4q trS

M0A (q)

V

À

T

W

+ 4I C

γαβ

C

F Fμν ,

δαβ γμν

δ

R

−

1 M1A (q)

2

−

U

= 4I tr

λ

Àλ À

η

Àη

,

z d4q trS

M0A (q)

M0A (q)

1 M2A (q)V

À

T

W

R

−

4 U

=

8

λ

η

+ À

λ

η

z d4q trS

M0A (q)

1 M1A (q)

V

I

2À

Àλ À

Àη

À

Àλ

Àη

,

T

W

3

17.5. Однопетлевое вычисление...	145
где J — расходящийся интеграл
I ≡ z d4q [q2 − iε]−2 ,	(17.5.24)

важное значение которого обсуждается ниже. Подставляя все выражения назад в (17.5.20), имеем

=

2

À λ Àλ À ηÀη − À λ À ηÀλ Àη

z d4q

tr ln MA(q)

A

4

I tr

3

Fμν .

− 2 I C

γαβ

C

F

δαβ γμν

δ

Оба слагаемых имеют на самом деле одну и ту же форму, так что, объединяя их, получаем:

= −

5

I CγαβCδαβFγμνFδμν .

z d4q

tr ln MA (q)

A

4

(17.5.25)

3

Переходя к гостовской петле, видим из (17.5.17), что

[Mω

(q)]

= −2[À λ ]

αβ

q

λ

,

(17.5.26)

1

αβ

[Mω

(q)]

= [À

λ À

] .

(17.5.27)

2

αβ

λ αβ

Тогда

R

ω

(q)

−

ω

(q)

2 U

= I tr

λ

Àλ À

η

Àη

,

z d4q trS

M0

1 M2

V

À

T

W

z d	4	R		ω	(q)	−1	ω	(q)
		q trS		M0			M1
		T

z d	4	R		ω	(q)	−1	ω	(q)
		q trS		M0			M1
		T

2

ω

(q)

−1

ω

U

=

I tr

λ

Àλ À

η

Àη

,

M0

M2

(q)V

À

W

4 U

=

2

λ

η

Àη + À

λ

η

V

I

2À

Àλ À

À

Àλ Àη

.

W

3

Таким образом, для гостовской петли интеграл от величины (17.5.20) имеет вид

z d4q[Tr ln Mω (q)]		4 =	1			À λ		Àλ À ηÀη − À λ À ηÀλ Àη
	A			I Tr
		6
										(17.5.28)
		= 1		I C			C	F	Fμν .
					γαβ			δαβ γμν	δ
		12

146	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

Наконец, вершины в петле полей материи равны:

[M1ψ (q)]kl = −i(tα A/ α )kl , [M2ψ (q)]kl = 0,

так что в (17.5.20) есть только одно слагаемое

	ψ			1	R			−		4 U
z d4q [Tr ln M		(q)]A4	= −		z d4q TrS	(iq/	+ m)		1 tα A/ α	V .
				4	T					W

Нас интересует ультрафиолетово расходящаяся часть этого интеграла, так что мы можем отбросить массу (несущественную при больших qν) и записать:

z d4q [Tr ln Mψ (q)]A4

= −

1

Tr{tαtβtγ tδ }Aαμ AβνAγρAδσ

4

X

Tr{q/ γ μq/ γ νq/ γ ρq/ γ σ }

× Y d4q

(q

2

− iε)

8

I

Z

= −

Tr{tαtβtγ tδ }Aαμ AβνAγρAδσ

(17.5.29)

96

× Tr 2γ

λ

γ μ γ λ γ νγ

η

γ ργ ηγ σ + γ

λ

γ μ γ

η

γ

νγ λ γ ργ ηγ σ

s

,

n

где J — тот же расходящийся интеграл, что и в (17.5.24). Для вычисления следов дираковских матриц используем антикоммутационные соотношения для этих матриц. Имеем:

Trn2γ λ γ μ γ λ γ νγ ηγ ργ ηγ σ + γ λ γ μ γ ηγ νγ λ γ ργ ηγ σ s =

=8Trnγ μ γ νγ ργ σ s − 4Trnγ νγ μ γ ργ σ s − 4Trnγ μ γ ργ νγ σ s

=−64ημρηνσ + 32ημνηρσ + 32ημσ ηνρ .

Формула (17.5.29) принимает вид

z d4q [Tr ln Mψ (q)]A4	=	1		I Tro[tα , tβ ][tγ , tδ ]tAαμ AβνAγμ Aδν
	3
	= −		1		I F	FμνTr{t	t	δ	} .	(17.5.30)
	3				γ μν	δ	γ

17.5. Однопетлевое вычисление...

147

Подставляя выражения (17.5.25), (17.5.28) и (17.5.30) в формулу (17.5.18), получаем наконец

(1LOOP)		-iI		X	4	μν LF
GA4	=			Y d		xFγ μνFδ	MG
		(2p)	4
				Z			NH

5		1 I		1	O
	+		J Cγ αβCδαβ -		Tr{tγ tδ }P	,(17.5.31)
6				3
		12K			Q

где мы представили импульсную дельта-функцию в (17.5.14) как

d4 (p - p) = (2p)−4 z d4x ×1.

(17.5.32)

Важно, что результат оказался зависящим от Aαμ только через на-

пряженность поля (17.5.11), как и требует фоновая калибровочная инвариантность.

Используем теперь (впервые в данном разделе) наше предположение о простоте калибровочной группы и неприводимости мультиплета полей материи. В этом случае

Cγ αβCδαβ	= g2C dγδ ,	(17.5.33)
	1
Tr{tγ tδ }	= g2C dγδ ,	(17.5.34)
	2

где g — общая калибровочная константа связи, входящая в каче- стве множителя в Cαβγ è tγ, à Ñ1 è Ñ2 — числовые постоянные, ха-

рактеризующие калибровочную группу и представление этой группы, которому принадлежит мультиплет полей материи. Например, в первоначальной теории Янга–Миллса калибровочной группой является SU(2) (или эквивалентно SO(3)), и структурные константы имеют вид

Cγ αβ = gε αβγ ,

ãäå a, b, g принимают значения 1, 2, 3. Сравнивая с (17.5.33), ви-

дим, что в этом случае

Ñ1 = 2.

Кроме того, в этой теории поля материи образуют дублет, и tα равно константе g/2, умноженной на обычные матрицы Паули sα,

òàê ÷òî

148	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

Ñ2 = 1/2.

В более общем случае для группы SU(N) с nf фермионами в фундаментальном представлении и при обычной нормировке генераторов имеем *

Ñ1 = N, C2 = nf/2.

(17.5.35)

Возвращаясь к общему случаю, получаем из (17.5.33) и (17.5.34):

Γ(1LOOP)

=

−iI

X d4xF

Fμν L

11

C

−

1

C

O .

(17.5.36)

A4

(2π)4

Y

γ μν

δ

M

3

1

3

2 P

Z

N

Q

Это означает, что бесконечная константа LA в (17.4.30) равна

	=	4ig2I F 11					−	1	I
LA			G			C1			C2 J .	(17.5.37)
		(2π)4		3				3
			H						K

Осталось сказать несколько слов об интерпретации расходящегося интеграла J . Во-первых, прежде чем пробовать интегрировать по три-импульсу q, мы можем повернуть контур интегрирования по q0 в (17.5.24) в сторону мнимой оси. Как обычно, добавка –iε

в знаменателе заставляет нас делать этот поворот против часовой стрелки, так что q0 = iq4, ãäå q4 изменяется от –∞ äî +∞. Тогда

интеграл принимает вид

X∞ 2π2q3dq

I = iY 4 , (17.5.38)

Z0 q

где q — величина евклидового 4-вектора (q1, q2, q3, q4).

Чтобы двигаться дальше, очевидно, нужен какой-то метод регуляризации интеграла. Простейший способ обращения с ультрафиолетовыми расходмостями заключается в обрезании интеграла по q выше некоторого масштаба Λ. Однако необходимо и обрезание снизу,

связанное с инфракрасной расходимостью. Оно определяется физи-

* Для группы SU(3) генераторы ta равны g/2, умноженной на матрицы Гелл-Манна λα, использующиеся в разделе 19.7, так что Cαβγ = (g/2)fαβγ.

Список литературы

149

кой ситуации. Если импульсы четырех векторных частиц не равны нулю, то по внутренним линиям диаграммы течет определенный импульс, так что инфракрасное обрезание происходит на масштабе μ

этих импульсов. Аналогично, если вычислить четвертую вариационную производную Γ[A] по А не при А = 0, а при некотором конечном

значении, то пропагаторы внутренних линий не взорвутся при нулевых импульсах, и инфракрасное обрезание будет иметь место на масштабе μ f gA. В любом случае J принимает вид

2

XΛ dq

2

F Λ I

I =

2π

iY

= 2π

i lnG J

Zμ

q

H μ K

и поэтому

g2

F

11

1

I

F Λ I

4

LA = −

G

C1

−

C2 J lnG

J

+ O(g

) .

2π

2

12

3

H

K

H μ K

Тогда из (17.4.48) находим перенормированную константу

(17.5.39)

(17.5.40)

L

2

Λ

O

= g 1

+

g

lnF

I F

11

−

1

I

+ O(g4 )

g

C

C

P

.

(17.5.41)

2

R

M

4π

G

J G

12

1

3

2 J

M

H

μ K H

K

P

N

Q

Обратим внимание на следующее. В то время как в квантовой электродинамике обсуждавшиеся в разделе 11.2 радиационные поправки уменьшают физическую константу связи gR по сравнению с голой константой g, в неабелевых калибровочных теориях они увеличивают физическую константу по сравнению с голой, если только фермионный мультиплет не слишком велик, и С2 < 11C1/4. Важность этого обстоятельства будет расмотрена в гл. 18.

Альтернативно, можно рассматривать ултрафиолетовую расходимость методами размерной регуляризации, обсуждавшимися в разделе 11.2. Тогда вместо (17.5.39) можно записать

X∞ 2π2qd −1dq
I = iY		.	(17.5.42)
Z	(q2 + μ2 )2
0

где d — комплексная размерность, которая устремляется к 4 в конце вычислений, а μ — инфракрасное обрезание порядка внешних

150	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

импульсов (или фоновых полей, умноженных на g). Пока d комплексно с Re d < 0 и μ2 > 0, интеграл имеет конечное значение

	2 F d		I		d −4	LF d		I	O
I = −iπ	G		− 1J	μ		π /sinMG		− 2J	πP .
	H 2		K			NH	2	K	Q

Аналитически продолжая к d → 4, имеем

L	1	O
I → −2iπ2 M		+ ln μ + . . .P	,	(17.5.43)
N d − 4		Q

где многоточие означает не зависящие от μ слагаемые. В результате

L

=

g2 F 11

C

−

1

C

I F 1

+ ln μ + . . .I

+ O(g4 )

A

G

1

3

2 J G

J

2π2 H 12

K H d − 4

K

и поэтому

L

g2 F 11

1

I F 1

I

4

O

g

= g

1

−

C

−

C

+ ln μ + . . .

+ O(g

)

.

G

P

(17.5.44)

R

M

1

3

2 J G

J

N

2π2 H 12

K H d − 4

K

Q

Заметим, что в данном случае ультрафиолетовые расходимости имеют другую форму, но зависимость от инфракрасного обрезания μ такая же. Формула (17.5.44) будет важной отправной точкой об-

суждения асимптотической свободы в разделе 18.7.

Задачи

1.Проведите доказательство перенормируемости, данное в разделе 17.2, включив в лагранжиан элементарные скалярные поля.

2.Проведите квантование неабелевой калибровочной теории в калибровке фонового поля, используя обсуждавшийся в конце раздела 17.2 метод БРСТ квантования.

3.Выведите соотношение (17.5.44) между перенормированной и неперенормированной константами связи, вычислив квадра-

Список литературы

151

тичные по зависящему от пространственно-временных координат калибровочному полю слагаемые в Γ(1 петля).

4. Вычислите в однопетлевом приближении соотношение между перенормированной и неперенормированной константами связи в калибровочной теории, содержащей элементарные скалярные поля.

Список литературы

1.Zinn-Justin, J., in Trends in Elementary Particle Theory — International Summer Institute on Theoretical Physics in Bonn 1974

(Springer Verlag, Berlin, 1975).

2.До открытия симметрии БРСТ доказательства перенормируемости непосредственно базировались на тождествах Славнова–Тей- лора для калибровочных преобразований. См. работы: Lee, B.W. and Zinn-Justin, J., Phys. Rev., D5, 3121, 3137 (1972); Phys. Rev., D7, 1049 (1972); `t Hooft, G. and Veltman M., Nucl. Phys., B50, 318 (1972); Lee, B.W., Phys. Rev., D9, 933 (1974). Первое доказательство перенормируемости, основанное на симметрии БРСТ дано в работе: Becci, C., Rouet, A., and Stora, R., Commun. Math. Phys., 42, 127 (1975); in Renormalization Theory — Proceedings of the International School of Mathematical Physics at Erice, August 1975, rds. G. Velo and A.S. Wightman (D.Reidel, Dordrecht, 1976), pp. 269-297, 299-343. Приведенное здесь доказательство следует общей линии работы Зинн-Жюстена [1]; см. также: Lee, B.W., in Methods in Field Theory, eds. R. Balian and J. Zinn-Justin (NorthHolland, Amsterdam, 1976), pp. 79-139.

3.Точка зрения и изложение вопроса базируется на работе: Gomis, J. and Weinberg, S., Nucl. Phys., B469, 475 (1996). Более раннее использование тех же методов см. в работах: Voronov, B.L. and Tyutin, I.V., Theor. Math. Phys., 50, 218 (1982); 52, 628 (1982); Voronov, B.L., Lavrov, P.M., and Tyutin, I.V., Sov. J. Nucl. Phys., 36, 292 (1982); Lavrov, P.M. and Tyutin, I.V., Sov. J. Nucl. Phys., 41, 1049 (1985); Anselmi, D., Class. and Quant. Grav., 11, 2181

152	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

(1994); 12, 319 (1995); Harada, M., Kugo, T., and Yamawaki, K., Progr. Theor. Phys., 91, 801 (1994).

4.Barnich, G. and Henneaux, M., Phys. Rev. Lett., 72, 1588 (1994); Barnich, G., Brandt, F., and Henneaux, M., Phys. Rev., 51, R143 (1995); Commun. Math. Phys., 174, 57, 93 (1995); Nucl. Phys.,

B455, 357 (1995).

5.Калибровка фонового поля была введена в работе: de Witt, B., Phys. Rev., 162, 1195, 1239 (1967). Исследование многопетлевых эффектов см. в работах: `t Hooft, G., in Functional and Probabilistic Methods in Quantum Field Theory: Proc. of the 12th Karpacz Winter School of Theoretical Physics (Acta Univ. Bratislavensis, no. 38, 1975); de Witt, B., in Quantum Gravity II, eds. C. Isham, R. Penrose, and D. Sciama (Oxford Univ. Press, Oxford, 1982); Abbott, L.F., Nucl. Phys., B185, 189 (1981).