Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

17.2. Перенормировка. Непосредственный анализ

113

(Γ, Γ) = 0 ,

(17.1.10)

где роль антиполей к полям cn в антискобке играют K :

n

X

δ

R

F[χ, K] δ

L

G[χ, K]

X

δ

R

F[χ, K] δ

L

G[χ, K]

(F, G) º Y d4x

- Y d4x

.(17.1.11)

dc

n

(x)

dKn (x)

dKn (x)

dc

n

(x)

Z

Z

Формально это уравнение совпадает с мастер-уравнением Батали- на–Вилковыского, которое мы обсуждали в разделе 15.9, но здесь оно возникает как условие на квантовое эффективное действие G[c,K], а не на фундаментальное действие S[c,c‡]. Мы используем уравне-

ние Зинн-Жюстена (17.1.10) в двух следующих разделах для того, чтобы показать, как перенормировать калибровочные теории, и в разделе 22.6 — для изучения аномалий в этих теориях.

17.2. Перенормировка. Непосредственный анализ

Простейшие неабелевы калибровочные теории перенормируемы в дайсоновском смысле, т. е. все операторы в лагранжиане имеют массовую размерность, равную четырем или меньше. Как мы видели в гл. 12, это гарантирует, что расходимости в квантовом эффективном действии возникают только в слагаемых, которые могут быть сокращены введением контрчленов во взаимодействие с размерностью четыре или меньше. Но перенормируемость включает и другие требования. Вид лагранжиана ограничен условиями калибровочной инвариантности и другими симметриями. Для того, чтобы теория была перенормируемой, необходимо, чтобы бесконечности в квантовом эффективном действии удовлетворяли тем же условиям с точностью до возможной перенормировки полей.2

Эффективное действие G[c,K] – сложный функционал c è K,

и условие симметрии (17.1.9) накладывает на него весьма сложные ограничения. К счастью, для расходящихся слагаемых в G дела обстоят значительно проще. Запишем действие S[c,K] º I[c] + òd4xDnKn как сумму слагаемого SR[c,K], в котором массы и константы связи равны своим перенормированным значениям, и поправки S∞[c,K],

содержащие контрчлены, с помощью которых мы собираемся сократить расходимости петлевых диаграмм. Как SR, òàê è S∞ ñëå-

дует выбрать так, чтобы они обладали симметриями исходного

114	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

действия S[χ,K]. Вопрос состоит в том, обладают ли бесконечные части высших поправок к Γ обладать теми же самыми симметриями, так, чтобы их можно было сократить контрчленами в S∞.

Величину Γ можно разложить в ряд слагаемых ΓN, возникаю-

щих из диаграмм ровно c N петлями, и слагаемых от диаграмм с N– M петлями (1 ≤ M ≤ N), включая различные контрчлены в S∞[χ,K],

которые будут использоваться для сокращения бесконечностей в диаграммах с полным числом петель, равным M:

∞
Γ[χ, K] = å ΓN[χ, K] .	(17.2.1)

N=0

Тогда для каждого N условие симметрии (17.1.10) принимает вид *

∞
å(ΓN′ , ΓN−N′ ) = 0 .	(17.2.2)

N′ =0

В сумме (17.2.1) ведущее слагаемое равно Γ0[χ,K] = SR[χ,K], и оно, естественно, конечно. Предположим, что для всех M ≤ N – 1

все расходимости, возникающие из M-петлевых диаграмм, сократились контрчленами в S∞. Тогда в условии (17.2.2) бесконечности могут возникнуть только в слагаемых с N′ = 0 è N′ = N, которые равны друг другу, откуда следует, что расходящаяся часть ΓN,∞ èç ΓN подчинена условию

(SR, ΓN,∞ ) = 0 .

(17.2.3)

Это — принцип симметрии, порождаемый действием SR, аналогичный тому, который описывается формулами (15.9.16) и (15.9.17). Заметим,

* Такие рекуррентные (порядок за порядком) соотношения можно формально вывести, повторяя рассуждения из раздела 16.1. Если заменить действие SR íà g–1SR, то вклад связной L-петлевой диаграммы с I внутренними линиями и V вершинами умножается на gV–I = gL–1. Если связанные с N- петлевыми диаграммами контрчлены в S∞ также снабдить множителями gN, òî ΓL будет значением слагаемого в Γ порядка gL–1 при g = 1. Условие (17.2.2)

следует тогда из требования, чтобы равенство (17.1.10) было верным в каждом порядке по g. В системе единиц СГС действие имеет ту же размерность, что и $, поэтому в функциональном интеграле оно входит вместе с множителем 1/$, и для подсчета числа петель можно использовать $ вместо g.

17.2. Перенормировка. Непосредственный анализ

115

в частности, что преобразование X ¬ (SR,X) действует не только на поля cn, но и на внешние поля Kn.

До этого момента мы не использовали ни одного из специальных свойств перенормируемой теории Янга–Миллса. Заметим, однако, что согласно общим правилам подсчета индекса расходимости в перенормируемой теории, где все бесконечности сокращаются в поддиаграммах GN, бесконечная часть GN,∞[c,K] èç GN[c,K] ìî-

жет быть только суммой произведений полей (включая K) и их производных массовой размерностью четыре или меньше. Наконец, рассуждения из раздела 16.4 показывают, что G[c,K] и, следовательно, GN,∞[c,K] инвариантны относительно линейно реализован-

ных преобразований симметрии, относительно которых инвариантно действие. (Как объясняется ниже, такими преобразованиями являются: преобразования Лоренца, глобальные калибровочные преобразования, трансляции антигостов и фазовые преобразования гостов, отвечающие сохранению гостовского числа. Конечно, вспомогательным полям Kn нужно приписать определенные свойства относительно этих преобразований симметрии.) Эти условия вместе с (17.2.3) достаточны для того, чтобы знать все необходимое о струк-

òóðå GN,∞[c,K].

Чтобы применить эти условия, требуется знать размерности внешних полей Kn. Åñëè ïîëå cn имеет массовую размерность dn, òî Dn имеет размерность dn + 1 (это можно увидеть из анализа правил БРСТ преобразования (15.7.7)–(15.7.11)), и для того, чтобы òd4xKnDn

был безразмерен, поле Kn должно иметь размерность 3 – dn. Âñå ïîëÿ Aαμ, wα, w*α имеют размерности dn = +1, так что соответству-

þùèå Kn имеют размерность +2. (Мы не вводим никакого внешнего поля, соответсвующего hα, так как это поле БРСТ инвариантно.) Все поля материи yl спина 1/2 имеют размерность 3/2, так что

соответствующие Kn должны иметь ту же размерность 3/2. Соответственно величина типа GN,∞[c,K] размерности четыре может быть

не более чем квадратична по любому из полей Kn. Кроме того, слагаемые второго порядка по Kn не могут содержать никаких других полей, за исключением слагаемого второго порядка по полям Kn, отвечающим полям материи спина 1/2, которое может включать не более одного дополнительного поля размерности единица.

Теперь можно использовать сохранение гостовского числа, чтобы показать, что на самом деле GN,∞[c,K] вообще не содержит слага-

емых второго порядка по Kn. Для доказательства нам потребуется

116	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

знать гостовские квантовые числа полей Kn. Åñëè ïîëå cn имеет гостовское квантовое число gn, то это число для Dn равно gn + 1, ïî-

этому полям Kn следует приписать гостовское квантовое число - gn - 1. Для полей Aα,μ, yl, wα è w*α соответствующие числа равны

0, 0, +1 и –1, так что отвечающие им внешние поля Kn имеют духовые числа -1, -1, -2 и 0. Это исключает наличие в GN,∞[c,K]

любых слагаемых второго порядка по Kn, если не считать одного возможного исключения для слагаемого второго порядка по внешним полям K*α, отвечающего полям w*α (но не содержащего никаких

других полей). Однако и эти слагаемые запрещены по другой при- чине. БРСТ преобразование полей w*α линейно по полям, причем

α* = −hα ,

(17.2.4)

так что в данном случае

δL	ΓN,∞ [χ, K]	= Dα*	= -hα
	dKα
			Jχ ,K
	*

не зависит от K*α. Отсюда следует, что GN,∞[c,K] линейно по Kα,* и зависит от этих полей только через слагаемое –òd4xK*αhα. (Ïîëÿ K*α è hα – бозонные, так что их порядок несуществен.) В частности, при N > 0 величины GN,∞[c,K] не зависит от Kα,*.

Мы видим, что величина GN,∞[c,K] самое большее линейна по

âñåì Kn. Запишем это в виде

GN,∞ [c, K] = GN,∞ [c,0] + z d4xDNn [c; x]Kn (x) .

(17.2.5)

Напомним также зависимость SR îò K:

SR [c, K] = SR [c] + z d4x Dn [c; x]Kn (x) .

Поэтому слагаемые нулевого и первого порядка по K в (17.2.2) дают *

* Вторые слагаемые в (17.2.6) и (17.2.7) приводятся к указанному виду, если вспомнить, что χn è Kn имеют противоположную статистику, и поэто-

му для любых бозонных функционалов А и В

δRA

δLB

= −

δLA

δRB

= −

δRB

δLA

.

δχn δK

n

δχn δK

n

δK

n

δχn

17.2. Перенормировка. Непосредственный анализ

117

X

L

δ

Γ

[χ,0]

δ

S

χ O

Y d4xM

n [χ; x]

L N,∞

+ DNn [χ; x]

L R [

]P

= 0

,

(17.2.6)

δχn (x)

Z

N

δχn (x) Q

è

X

L

n (χ; x)

δ

Dm(χ; y)

+ DNn (χ; x)

δ

m(χ; y) O

= 0 ,

Y d4xM

L N

L

P

(17.2.7)

Z

N

δχn (x)

δχn (x) Q

соответственно. Смысл этих соотношений станет, может быть, яснее, если ввести величины

Γ(ε)	[χ] ≡ S		[χ] + εΓ		[χ,0] ,	(17.2.8)
N		R	N,∞
è
(ε) n		(x) ≡	n (x) + εDn (x) ,			(17.2.9)
N				N

с бесконечно малым ε. Тогда из соотношения (17.2.6) с учетом БРСТ инвариантности SR следует, что ΓN(ε) [χ] инвариантна относительно

преобразования

χn (x) → χn (x) + θΔ(Nε) n (x) ,

(17.2.10)

а из соотношения (17.2.7) вместе с нильпотентностью исходного преобразования БРСТ следует, что это преобразование нильпотентно.

Теперь следует понять, какова возможная форма такого нильпотентного преобразования. Как уже отмечалось, ΓN,∞ содержит толь-

ко слагаемые размерности четыре или меньше, так что DnN è, ñëå-

довательно, (Nε)n (x) имеют массовую размерность, не превышающую
размерность функции n(x) в исходном БРСТ преобразовании. Кро-
ìå òîãî, Dn , а отсюда и	(ε)n (x) должны иметь такие же свойства
N	N
относительно лоренцовских перобразований и такие же гостовские
квантовые числа, как и	n(x). Поэтому самый общий вид преобразо-
вания (17.2.10) таков:

ψ → ψ + iθωαTα ψ ,

Aαμ → Aαμ + θ Bαβ∂μωβ + Dαβγ Aβμωγ ,

118	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

ωα → ωα − 1 θEαβγ ωβω γ , 2

ãäå Tα — некоторая матрица, действующая на спинорные поля, а Bαβ, Dαβγ è Eαβγ — константы, причем Eαβγ антисимметрична по β è γ. Кроме того, преобразования ω*α è hα линейны и поэтому не изме-

няются:

ω*	→ ω*	− θh	,	h	→ h .
α	α	α		α	α

Наложим теперь условие нильпотентности. Наиболее важное требование заключается в том, что Eαβγωβωγ должно быть инвариантным. Это приводит к требованию, что EαβγEβδεωδωεωγ должно обращаться в нуль, так что полностью антисимметричная по δ, ε, γ часть EαβγEβδε также равна нулю:

Eαβγ Eβδε + Eαβε Eβγδ + Eαβδ Eβεγ = 0 .

Но такое соотношение означает, что Eαβγ есть структурная костанта

некоторой алгебры Ли E. Так как при ε → 0 Eαβγ переходит в структурную константу Cαβγ исходной калибровочной алгебры Ли А, ал-

гебры E и А должны совпадать, и структурная константа Eαβγ может отличаться от исходной Cαβγ лишь множителем *:

Eαβγ = ZCαβγ .

(Это верно для простых калибровочных групп; в общем случае для каждой простой подгруппы должен быть свой множитель Z.)

Обратимся теперь к условию, что преобразование (17.2.10) должно быть нильпотентным при действии на калибровочные поля. Требование, чтобы Bαβ∂μωβ + DαβγAβμωγ было инвариантным приводит к

уравнениям

Dαβγ Dβδε − Dαβε Dβδγ = Eβεγ Dαδβ = ZCβεγ Dαδβ

è

* Требование глобальной калибровочной инвариантности исключает возможность любого нетривиального преобразования подобия в соотношении, связывающем Eαβγ è Cαβγ.

17.2. Перенормировка. Непосредственный анализ

119

BαβEβγδ = Dαβδ Bβγ .

Первое уравнение имеет единственное решение *

Dαβγ = ZCαβγ .

Из второго уравнения вытекает, что матрица Bαβ коммутирует с

присоединенным представлением калибровочной группы, и поэтому (поскольку мы выбрали структурные константы полностью антисимметричными) должна быть пропорциональна кронекеровскому дельта-символу с коэффициентом, который мы обозначим Z N :

Bαβ = Z N δαβ .

Наконец, условие, что преобразование (17.2.10) нильпотентно при действии на фермионные поля (если таковые имеются), требует инвариантности ωαTαψ. Отсюда

[Tβ , Tγ ] = iEαβγ Tα ,

òàê ÷òî Tα отличается только множителем Z от генератора tα исход-

ного лагранжиана:

Tα = Z tα .

Таким образом, мы показали, что, не считая появления новых констант Z и N, преобразование (17.2.10) совпадает с исходным БРСТ преобразованием:

ψ → ψ + i Z θωαt		ψ ,		(17.2.11)
	α
Aαμ → Aαμ + Z θ	N ∂μωα + Cαβγ Aβμωγ		,	(17.2.12)

* Матрица (Dγ)αβ ≡ Dγαβ/Z удовлетворяет коммутационным соотношениям калибровочной алгебры Ли [Dγ,Dε] = CβεγDβ. Однако единственное

пред-ставление простой алгебры Ли А с той же размерностью и теми же трансформационными свойствами, как и присоединенное представление, есть само присоединенное представление.

120 Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

ωα → ωα −		1	Z θ Cαβγ ωβω γ ,			(17.2.13)
	2
ω*	→ ω*			− θh	,	(17.2.14)
α			α	α
	hα → hα .					(17.2.15)

Теперь мы должны использовать эту симметрию для ограни- чения структуры исправленного действия (17.2.8). Так как оно содержит только исходное перенормированное действие и бесконеч- ный вклад от n-петлевых поправок, это действие должно быть интегралом от лагранжиана

ΓN(ε) = z d4x LN(ε) ,

(17.2.16)

ãäå L (Nε) — локальная функция полей и их производных размернос-

тью (в степенях массы) не выше 4. Кроме того, как было показано в разделе 16.4, L (Nε) должно быть инвариантно относительно всех сим-

метрий исходного лагранжиана, которые линейно действуют на поля. Чтобы установить эти симметрии, вспомним, что в обобщенной

ξ-калибровке «новый» лагранжиан в (15.7.6) принимает вид, получа-

ющийся заменой слагаемого −(∂μ Aαμ )(∂νAαν ) / 2ξ в (15.6.16) на слагае-

ìûå hαfα + 1ξhαhα:

L

= L

−

1

FμνF

− ∂

ω*

∂μω

NEW

M

μ

α

4

α αμν

α

+ Cαβγ (∂μω*α )Aγμωβ

+ hα ∂μ Aαμ +

1

ξhαhα .

(17.2.17)

2

Исследование этой формулы обнаруживает следующие линейные симметрии.

1.Лоренцовская инвариантность.

2.Глобальная калибровочная инвариантность, т. е. инвариантность относительно преобразований

δψ	(x) = iεα (t )m ψ	m	(x) ,	(17.2.18)
l	α l

17.2. Перенормировка. Непосредственный анализ	121
δAβμ (x) = Cβγα εα Aγ μ (x) ,	(17.2.19)
δωβ (x) = Cβγαεαωγ (x) ,	(17.2.20)
δω*β (x) = Cβγαεαω*γ (x) ,	(17.2.21)
δhβ (x) = Cβγα εαhγ (x)	(17.2.22)

ñпостоянными параметрами εα.

3.Антигостовская трансляционная инвариантность, т. е. инвариантность относительно преобразования

ω*	x	→ ω*	x	+ c	α ,	(17.2.23)
α (	)	α (	)

ñпроизвольными постоянными параметрами cα.

4.Сохранение гостовского числа, т. е. числа, равного +1 для

ωα, –1 äëÿ ω*α и 0 для всех остальных полей.

Продолжим теперь исследование возможной структуры наиболее общего лагранжиана, который перенормируем в том смысле, что содержит только слагаемые с размерностью +4 или меньше, обладает указанными линейно действующими симметриями и инвариантен относительно модифицированных БРСТ преобразований (17.2.11)–(17.215).

Из (17.2.17) можно сделать вывод, что поля Aμα, ωα, ω*α è hα

имеют массовые размерности +1, +1, +1 и +2, соответственно. Заметим также, что из сохранения гостовского числа вытекает, что ω è ω*

возникают парами, а из антигостовской трансляционной инвариантности следует, что ω* должно входить только под знаком производной. Каждая пара полей ω è ∂μω* добавляет +3 в размерность, так что

требование перенормируемости исключает любое слагаемое с более чем одной такой парой. Но если эта пара одна, то может входить еще не более чем одна производная или одно дополнительное калибровочное поле. С учетом лоренц-инвариантности единственными разрешенными перенормируемыми взаимодействиями, включающими

поля гостов, являются линейные комбинации слагаемых вида

∂μω*α∂μωβ èëè ∂μω*αAμγωβ.

â δLN(ε)

122	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

Далее, рассмотрим слагаемые, содержащие поле hα и, возможно, другие поля, кроме ω è ω*. Размерность этого поля равна

+2, так что требования перенормируемости и лоренц-инвариантно- сти позволяют этому полю появиться только * в произведении либо с другим полем hβ, либо с величинами ∂μAμβ èëè AμβAμγ.

Наконец, лагранжиан будет содержать перенормируемые слагаемые, включающие только поля материи и калибровочные поля. Назовем сумму этих слагаемых LψA. Собирая все результаты и ис-

пользуя глобальную калибровочную инвариантность, находим, что самое общее перенормируемое взаимодействие, допускаемое предполагаемыми симметриями (не считая БРСТ инвариантности), имеет вид

L (Nε)= LψA + 21 ξ′hαhα + chα ∂μ Aαμ − eαβγ hα Aβμ Aγμ

(17.2.24)

− Zω (∂μω*α )(∂μωα ) − dαβγ (∂μω*α )ωβ Aγμ ,

ãäå ξ′, Zω, χ, dαβγ è eαβγ — неизвестные константы, на которые нет

никаких ограничений, кроме очевидных свойств симметрии вроде глобальной калибровочной инвариантности или равенства eαβγ = eαγβ.

(Как отмечалось выше, мы для простоты предполагаем, что калибровочная группа проста, но расширение на прямую сумму простых и U(1) калибровочных групп тривиально. Например, вместо одного слагаемого, пропорционального hαhα, появится сумма таких слагаемых,

по одному на каждую простую подгруппу калибровочной группы.) Теперь наложим требование БРСТ инвариантности. Сокращение

слагаемых, пропорциональных θ∂μhα∂μωα, показывает, что

	c = Zω / Z N .	(17.2.25)
Сокращение в δL(ε)	слагаемых, пропорциональных θ∂μhαωβAμγ (èëè
N
θ∂μω*αωβ∂μωα) требует выполнения равенства
	dαβγ = −bZω N g Cαβγ .	(17.2.26)

* В теории со скалярными полями могут содержаться перенормируемые слагаемые с hα, умноженным на одно или два скалярных поля. Такие сла-

гаемые не причиняют беспокойства, но для краткости они здесь не будут рассматриваться.