Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

18

Методы ренормгруппы

Метод ренормализационной группы был первоначально предложен Гелл-Манном и Лоу1 как средство борьбы с крахом теории возмущений при очень высоких энергиях в квантовой электродинамике. Было обнаружено, что вклад n-петлевого приближения в амплитуду, содержащую импульсы порядка q, например, в амплитуду поляризации вакуума Πμν(q), содержит n множителей ln(q2/me2), а также множитель αn, так что когда α ln(q2/me2) велико, теория

возмущений становится неприменимой даже при малой величине постоянной тонкой структуры α. Даже в безмассовой теории, на-

пример, в неабелевой калибровочной теории, мы должны вводить некоторую шкалу μ, чтобы задать точку перенормировки, в кото-

рой определяются перенормированные константы связи, и в этом случае мы сталкиваемся с логарифмами ln(E/μ), так что, несмотря

на малость константы связи, теория возмущений может нарушаться при E . μ èëè E n μ.

К счастью, существует модифицированная версия теории возмущений, которую часто можно применить в подобных случаях. Ключевая идея этого подхода состоит во введении констант связи gμ, определенных при скользящей перенормировочной шкале μ,

т. е. шкале, которая никаким фиксированным образом не связана с массами частиц. Затем, выбирая μ того же порядка величины, что

и типичная для рассматриваемого процесса энергия Е, можно обезвредить множители ln(E/μ). После этого можно продолжать вы- числения по теории возмущений до тех пор, пока gμ остается ма-

лой. В частности, задав константы связи, определенные в точке μ, можно с помощью теории возмущений вычислить физи- ческие амплитуды при энергии μ + dμ и использовать их для

154	Глава 18. Методы ренормгруппы

вычисления констант связи, определенных в перенормированной точке μ + dμ. Интегрируя возникающее дифференциальное урав-

нение, можно затем связать константы связи в интересующей нас точке с константами, определенными в исходной точке. (Первона- чально название «ренормализационная группа»* возникло потому, что здесь рассматриваются уравнения, описывающе изменения вида теории в результате переопределения перенормированных констант связи. На самом деле, все это не имеет никакого отношения к теории групп.) Метод ренормгруппы позволяет также качественно проследить за асимптотическим поведением при очень больших или (в безмассовых теориях) очень малых энергиях, даже когда константы связи на интересующем нас масштабе слишком велики, чтобы можно было применять теорию возмущений.

Хотя метод ренормгруппы первоначально возник в связи с изменениями в рецепте определения перенормированных констан связи, он приобрел более широкий смысл. Когда мы заменяем голые константы и поля на перенормированные, определенные через матричные элементы, вычисленные при характерной энергетической шкале μ, интегралы по виртуальным импульсам эффективно обрезаются на масштабах энергий и импульсов порядка μ. Таким образом, если мы изменяем μ, мы фактически изменяем масштабы тех степе-

ней свободы, которые учитываются в наших вычислениях.

Урок, вытекающий из рассмотрения ренормгруппы, состоящий в том, что для устранения больших логарифмов следует выбрать μ порядка типичной энергии Е в изучаемом процессе, есть

частный случай более общего принципа, утверждающего, что для вычислений при заданной энергии следует сначала избавиться от степеней свободы при значительно больших энергиях.

Есть много других способов достичь этого. Как мы видели в разделе 12.4, в том подходе к ренормализационной группе, который связан с пионерскими работами Вильсона 2, вводится явное конечное обрезание, сопровождаемое таким изменением параметров теории, при котором физические величины остаются независящими от обрезания. Такой подход требует введения бесконечного числа типов взаимодействий, которые допускаются симметриями теории, и поэтому не слишком удобен при рассмотрении реально

* В русскоязычной литературе часто используется термин ренормгруппа, который мы и будем далее употреблять. — Прим. пер.

18.1. Откуда берутся большие логарифмы?

155

перенормируемых теорий типа квантовой электродинамики (хотя, как обсуждалось в разделе 12.3, сегодня квантовая электродинамика рассматривается лишь как очень хорошее приближение к неперенормируемой теории, в которой взаимодействия высшей размерности подавлены отрицательными степенями какой-то очень большой массы). Если обрезание совершается при квантовании калибровочной теории на конечной пространственно-временной решетке, вильсоновский подход имеет то преимущество, что можно делать вычисления, сохраняя явную калибровочную инвариантность (объем калибровочной группы равен объему группы глобальной симметрии, умноженному на число граней решетки), однако недостатком является отсутствие явной инвариантности относительно преобразований вращения или Лоренца. В любом случае, какой бы подход не использовался для устранения степеней свободы при высоких энергиях, сохраняется значительная часть формализма ренормгруппы.

18.1. Откуда берутся большие логарифмы?

Посмотрим сначала, как могут возникнуть большие логарифмы при очень больших энергиях.

Рассмотрим физическую амплитуду, сечение или любой другой вероятностный параметр Γ(E,x,g,m), зависящей от общего мас-

штаба энергий Е, от различных углов и отношений энергий, коллективно обозначенных x, от различных безразмерных констант связи, коллективно обозначенных g, и различных масс, коллективно обозначенных m. Если Γ имеет размерность [масса]D (например,

для сечения D = –2), то на основании простого размерного анализа имеем:

	D	F	mI
Γ(E, x, g, m) = E		ΓG1, x, g,		J .	(18.1.1)
		H	E K

Можно ожидать, что в пределе Е → ∞ такая амплитуда будет

вести себя как простая степень:

Γ(E, x, g, m) → EDΓ(1, x, g,0) .

156	Глава 18. Методы ренормгруппы

Но оказывается, что это не так. При расчетах по теории возмущений обнаруживается, что множитель ED сопровождается степенями ln(E/m), искажающими простое степенное поведение.

Ясно, что степени ln(E/m) могут возникнуть при E → ∞ è ôèê-

сированном m, только если амплитуда G при фиксированной энергии Е становится сингулярной при m → 0. Существуют два класса

подобных массовых сингулярностей, одна из которых легко устраняется путем вычисления амплитуды или вероятности правильного типа, а другая требует изменения процедуры перенормировки.

Сингулярности при нулевой массе первого типа возникают в результате слияния полюсов пропагаторов на массовых оболочках соответствующих частиц. Например, предположим, что фейнмановская диаграмма содержит входящую линию с полным 4-импульсом pμ, прикрепленную в вершине к внутренним лини-

ям частиц с массами m1, m2, ..., mn. Согласно выводам гл. 10, соответствующая диаграмма будет иметь разрез, идущий вдоль отрицательной действительной оси р2 от точки p2 = –(m1 + ... + mn)2 äî –∞. Это не приводит к сингулярностям, если внешняя

линия соответсвует стабильной частице массой M < m1 + ... + mn, так как точка p2 = –M2 находится вне разреза. Однако, когда все M, m1, ..., mn стремятся к нулю, значение –р2 на массовой оболочке и точка ветвления на конце разреза сближаются, сливаясь при р2 = 0 и приводя к возникновению сингулярности.

Отсюда следует, что можно избежать инфракрасных расходимостей при m = 0, просто оставаясь вне массовой оболочки, например, устремляя р2 для всех внешних линий к +∞ вместе со все-

ми энергетическими переменными. После этого можно использовать дисперсионные соотношения или какую-то другую технику аналитического продолжения, и использовать результаты поведения фейнмановских амплитуд в таком пределе для того, чтобы что-то узнать об элементах S-матрицы. Часто такое продолжение оказывается ненужным, так как нас интересуют не элементы S- матрицы на массовой оболочке, а матричные элементы токов, несущие импульсы q, не связанные с какими-то массами. Например, функция поляризации вакуума π(q2), определенная в

разделе 10.5, свободна от сингулярностей при нулевых массах первого типа везде, кроме области q2 < 0.

Другой подход к устранению массовых сингулярностей первого типа связан с наблюдением, что обычно сингулярности при

18.1. Откуда берутся большие логарифмы?

157

нулевой массе возникают при попытках вычислить сечение, которое не измеримо в пределе m → 0. Например, в квантовой

электродинамике сечение любого процесса, включающего определенное количество электронов и фотонов, становится инфракрасно расходящимся в пределе me → 0, äàæå åñëè ìû ïðî-

суммируем по неограниченному числу мягких фотонов, поскольку в таком пределе невозможно отличить электрон от струи электронов, позитронов и фотонов с полным зарядом –е, все частицы в которой летят в том же направлении и с той же скоростью. Как показано в гл. 13, подобные инфракрасные расходимости можно излечить, рассматривая только подходящим образом проинтегрированные сечения, которые будут измеримыми при me → ∞. Так, вместо того, чтобы пытаться вычислить сечение

конкретного процесса комптоновского рассеяния, следует вы- числять сечение рассеяния струи с полным зарядом –е на другой струе с нулевым полным зарядом с образованием двух других таких струй и мягких фотонов. Подобные инклюзивные вероятности или сечения, остающиеся конечными при обращении в нуль всех масс, называются «инфракрасно безопасными».

На этом наши проблемы не кончаются. Даже если удастся избежать инфракрасных расходимостей, проинтегрировав сече- ния или оставаясь вне массовой оболочки, результирующие проинтегрированные сечения или амплитуды вне массовой оболочки содержат при энергиях Е массовые сингулярности второго типа, приводящие к множителям ln(E/m), нарушающим вытекающее из размерного анализа наивное степенное поведение. Причина коренится в том, что перенормированные константы связи по соглашению определяются через амплитуды, которые инфракрасно расходятся в пределе всех нулевых масс.

Рассмотрим, например, теорию действительного скалярного поля с лагранжианом

L = −	1	∂λϕ∂λϕ −	1	m2ϕ2 −	1	gϕ4 .	(18.1.2)
2		2		24

В однопетлевом приближении инвариантная амплитуда упругого рассеяния для процесса рассеяния скалярных частиц с начальными импульсами р1, ð2 и конечными импульсами р′1, ð′2 дается выражением (12.2.24):

158

Глава 18. Методы ренормгруппы

g

2

X1

R

F

Λ2

I

A = g −

|

Y dxSlnG

J

32π

2

2

Y

|

H m

− sx(1 − x)K

Z0

T

F

Λ2

I

F

Λ2

I

U

(18.1.3)

|

3

+ lnG

J

+ lnG

J

− 3V

+ O(g ) ,

2

2

− ux(1

H m

− tx(1 − x)K

H m

− x)K

|

W

где s, t, u — мандельстамовские переменные

s = −(p1 + p2 )

2

, t = −(p1

′

2

, u

′

2

,

− p1)

= −(p1 − p2 )

à Λ — ультрафиолетовое обрезание. До тех пор, пока s, t, u удер-

живаются вне положительной действительной оси и, в частности, когда все они устремляются к –∞ (что нарушает условие нахожде-

ния на массовой поверхности s + t + u = 4m2), амплитуда не содержит сингулярностей при нулевой массе. Конечно, амплитуда зависит от обрезания Λ и от m, так что даже если сингулярно-

сти при нулевой массе отсутствуют, мы не получим результат A → const, который получился бы из наивных размерных соображений в пределе s, t, u → –∞. Зависимость от обрезания можно

упрятать в перенормировку. Мы заменяем голую константу g на перенормированную константу gR, определенную как значение А в какой-то удобной точке перенормировки. Например, можно взять

gR ≡ A(s = t = u = 0)

	3g2		F		Λ2		I
= g −			G	ln			− 1	+ O(g3 ) .
		2				2
	32π				m		J
			H				K

Тогда (18.1.3) принимает вид

A = gR	+	gR2		X1	R	F	−	sx(1 − x)I
				Y	dxSlnG1					J
		32π	2					m	2
				Z0	T	H				K

F		tx(1 − x)I		F		ux(1 − x)I U		3
+ lnG1	−		J	+ lnG1	−		J V	+ O(gR ) ,
H		m2 K		H		m2 K W

(18.1.4)

(18.1.5)

18.1. Откуда берутся большие логарифмы?

159

(Во втором слагаемом можно свободно заменить g2 íà gR2, так как разность всего лишь порядка g3). Это выражение свободно от ультрафиолетовых расходимостей, но имеет сингулярность при m = 0, даже, если все s, t, u удерживаются отрицательными. Следовательно, при s, t, u ® –¥ мы снова приходим к асимптотическому

поведению, противоречащему ожиданиям, основанным на наивном подсчете степеней:

gR2

R

F -s I

F -t I

F -u I

U

A ® gR

+

SlnG

J

+ lnG

J

+ lnG

J

- 6V

(18.1.6)

32p

2

2

2

2

T

H m

K

H m

K

H m

K

W

(Практически то же самое происходит и при любом другом «естественном» определении перенормированной константы. Например, можно определить gR при значении А в симметричной точке на массовой оболочке s = t = u = 4m2/3, что приведет к такому же асимптотическому поведению, что и (18.1.6), с той разницей, что постоянная –6 заменится на другую числовую постоянную.) Ясно, что сингулярность при нулевой массе, с которой мы сталкиваемся при выражении А через gR, полностью возникает от слагаемого ln m2 в выражении (18.1.4) для перенормированной константы gR через голую константу связи g.

В дополнение к рассмотренным существуют другие сингулярности при нулевой массе, возникающие при вычислении матричных элементов операторов (например, фейнмановских амплитуд вне массовой поверхности), а не интегралов от сечений. Такие сингулярности возникают из-за необходимсти перенормировать не только константы связи, но и эти операторы. Например, предположим, что в скалярной теории поля с лагранжианом (18.1.2) мы хотим вычислить матричный элемент áb|O (p)|añ

оператора

O (p) º z d4xe-ip×xj2 (x) .

(18.1.7)

На языке фейнмановских диаграмм это соответствует вклю- чению вершины, в которой сходятся две внутренние линии j è

через которую протекает полный 4-импульс р в диаграммы перехода a ® b (см. рис. 18.1). Ультрафиолетовые расходимости воз-

никают от класса диаграмм, в которых эта новая вершина является частью поддиаграммы, связанной с остальной частью диаграммы ровно двумя j-линиями (рис. 18.2). Из размерного ана-

160	Глава 18. Методы ренормгруппы

Рис. 18-1. Фейнмановские диаграммы в импульсном представлении для матричного элемента оператора òd4x exp(-ip•x) j2(x) в теории элементарного скалярного поля j(x). Заштрихованный диск представляет сумму ди-

аграмм с указанными внешними диниями. Помимо пары внешних линий, входящих в вершину j2 другие внешние линии, прикрепленные к диску,

представляют те частицы в начальном или конечном состоянии, для перехода между которыми вычисляется матричный элемент

Рис. 18-2. Класс фейнмановских диаграмм для матричного элемента оператора òd4x exp(-ip•x) j2(x), в котором возникает ультрафиолетовая

расходимость. Обозначения те же, что на рис. 18-1

лиза следует, что если поддиаграмма связана с остальной частью диаграммы более чем двумя линиями ϕ, она будет сходиться,, так как взаимодействие ϕ2 имеет размерность +2, и поэтому под-

диаграмма, в которой эта вершина связана с остальной частью n > 2 линиями, имеет размерность 4 – 2 – n < 0. Расходящаяся часть поддиаграммы есть просто логарифмически расходящаяся константа, поэтому матричные элементы ϕ2 могут быть сделаны конечными* умножением ϕ2 на подходящую расходящуюся кон-

* В этом рассуждении предполагалось, что любые расходимости, возникающие из поддиаграмм, содержащих вершину j2, прикрепленную к остальной части поддиаграммы ровно двумя линями j, устранены анало-

гичным образом.

18.2. Скользящий масштаб

161

Рис. 18-3. Расходящаяся часть диаграммы рис. 18-2 в однопетлевом приближении

станту Zϕ2 . В порядке g2 соответствующая поддиаграмма опреде-

ляется диаграммами рис. 18.3 и вносит в матричный элемент O (p) расходящийся множитель

1

L

−

i

O2 X

4

k

F(p) = 1 +

−i(2π)4 g

M

P

Y

d

.

2

N

(2π)

4

Q

Y

k

2

+ m

2

− iε

(p − k)

2

+ m

2

− iε

Z

(18.1.8) Комбинируя знаменатели, поворачивая контур интегрирования

ïî k0 и совершая ультрафиолетовое обрезание Λ, находим при

Λ → ∞:

F(p) = 1 − g

32π2

X1

L

F

Λ2

I

O

Y

dx

ln

− 1

+ O(g2 ) .

G

2

2

J

(18.1.9)

M

x(1

P

Y

M

H m

+ p

− x)K

P

Z0

N

Q

Здесь нет сингулярности при нулевой массе (до тех пор, пока р2 удерживается положительным), но, конечно, есть зависимость от обрезания. Такая логарифмическая расходимость устраняется определением перенормированного оператора ϕ2:

(ϕ2 )R = N(ϕ2 )ϕ2

(18.1.10)

ãäå N(ϕ2 ) выбрано так, что N(ϕ2 )F(p) имеет определенное конечное

значение в некоторой заданной точке перенормировки. Например, можно определить перенормированный оператор ϕ2 òàê, ÷òî

N(ϕ2 )F	=	1,	(18.1.11)
(0)

162						Глава 18. Методы ренормгруппы
В этом случае
2			g		F	Λ2		I
N(ϕ	) = 1	+			G ln			− 1J	+ O(g2 ) .	(18.1.12)
			32π	2		m	2
					H			K

Тогда матричные элементы перенормированного оператора (ϕ2 )R
содержат множитель
F (p) ≡ N(ϕ2 )F(p) = 1 +	g		X1 dx lnF1		+	p2x(1 − x)		I	+ O(g2 ) .	(18.1.13)
		2
R	32π		Y	G			2	J
			Z0	H		m		K

Он конечен при всех р2 > 0 è m2 > 0, но содержит теперь инфракрасную сингулярность при m → 0, соответствующую большим логарифмам в асимптотическом поведении при р2 → +∞. Êî-

нечно, чтобы устранить обрезание в вычислениях в высших порядках, нужно было бы вводить перенормированную константу связи и перенормированный оператор ϕ2, так что логарифмы

возникли от обоих источников.

Аналогичные перенормировочные множители нужны не только для ϕ2(x), но для операторов любого типа. В частности, взятие матричного элемента одного из элементарных полей ψ

теории приводит к ультрафиолетовым расходимостям, возникающим от радиационных поправок к соответствующему пропагатору. Как мы видели в гл. 12, эти бесконечности могут быть сокращены, если перейти к перенормированному полю ψR:

ψ	R	= N(ψ) ψ	,	(18.1.14)

ãäå N(ψ) выбрано так, чтобы матричный элемент между одночас-

тичным состоянием и вакуумом имел тот же вид, что и принятым образом нормированное поле в отсутствии взаимодействия. Связь с обычной константой перенормировки Z перенормированной теории дается выражением

Z(ψ) = | N(ψ) |−2 .

(18.1.15)

Например, вспомним полученные ранее результаты для перенормировки фотонного поля в спинорной квантовой электроди-