Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

18.2. Скользящий масштаб

173

	= 1 −	eμ2	X1
			Y dx x(1
		4π2
			Z
			0

Lm2		+ μ′2x(1	− x) O
− x) lnM				P	+ O(eμ4 )
N m2		+ μ2x(1 − x) Q

так что из (18.2.26) получаем

	eμ2	X1	x2 (1 − x)2 μ2
γ (A) (eμ , m μ) = −		Y dx		+ O(eμ4 ) .	(18.2.34)
	2π2
		Z	m2 + μ2x(1 − x)
		0

Как и было обещано, это выражение имеет гладкий предел при

μ . m:

	eμ2
γ (A) (eμ ) ≡ γ (A) (eμ ,0) = −		+ O(eμ4 ) .	(18.2.35)
	12π2

Уже отмечалось, что электродинамика представляет особый случай, т. к. константа перенормировки Z3–1/2 в определении перенормированного электромагнитного поля в точности равна обратной величине константы, использующейся для определения перенормированного электрического заряда электрона: eR = Z31/2e. Поэтому естественное определение перенормированного электрического заряда имеет вид

e	μ	= N(A)−1e = Z−1/2N(A)−1e			R	,	(18.2.36)
		μ	3	μ

так что произведение eμ на перенормированное при шкале μ ïîëå Nμ(A) Aρ не зависит от μ. Из (18.2.25) следует, что функция β(e), определяющая согласно (18.2.9) зависимость eμ îò μ, имеет при μ . m

значение

	e3
β(e) = −eγ (A) (e) =		+ O(e5 ) .	(18.2.37)
	12π2

Используя выполненные ранее вычисления3a слагаемого четвертого порядка для функции поляризации вакуума π(q2), Ãåëë-Ìàíí è Ëîó

сумели также получить слагаемое следующего порядка по е в β(e):

	e3		e5
β(e) =		+		+ O(e7 ) .	(18.2.38)
	12π2
			64π2

174	Глава 18. Методы ренормгруппы

Иными словами, электрический заряд при скользящем масштабе μ удовлетворяет уравнению ренормализационной группы

	d				eμ3		eμ5
μ		eμ	=			+		+ O(e7μ ) .	(18.2.39)
	dμ
				12π2			64π2

При малых eμ отсюда следует, что eμ возрастает с ростом μ.

Требуется также начальное условие. Оно задается известным значением перенормированного заряда eR = Z31/2e, для которого α ≡ eR2/4π = 1/137,036... . Из формул (18.2.32) и (18.2.36) имеем

	eR
		= Z1/2N(A)		= 1 − π(μ2 )
	3		μ
	eμ

	2	X1	L		μ	2	x(1 − x)	O		(18.2.40)
= 1 −	eR	Y	dx x(1 − x) ln 1	+				P	+ O(e4 ) .
			M				m2		R
	4π2 Y		M					P
		Z0	N				e	Q

Этот результат нужно согласовать с решением уравнения (18.2.39) при таком значении μ, которое достаточно велико, чтобы не нарушалось приближение μ . me в (18.2.39), но в то же время достаточ-

но мало, чтобы логарифм в (18.2.40) оставался все еще малым по сравнению с 4π2/eR2 и тем самым подтверждалась правомочность использования теории возмущений. (Например, можно взять μ порядка 100 МэВ.) Для таких значений μ из формулы (18.2.40) следует:

eμ g eR +	e3		L	μ		−	5O
	R		Mln					P .	(18.2.41)
	12π	2
			M	m	e		6P
			N					Q

С другой стороны, решение уравнения (18.2.39) для малых eμ

имеет вид (удерживаем только старшее слагаемое справа):

		L	ln μ O		−1/2
	eμ	= Mconstant −		P	.	(18.2.42)
			6π2
		N		Q

Сравнивая (18.2.41) и (18.2.42), находим решение

L

e2

F

F

μ I

5I O−1/2

eμ

= eR M1

−

R

G lnG

J

−

J P

.

(18.2.43)

2

M

6π

H

H me K

6

P

N

K Q

18.2. Скользящий масштаб

175

В противоположность (18.2.41) выражение (18.2.43) верно до тех пор, пока мала величина eμ2/6π2, независимо от того, мала или велика величина (eR2/6π2)ln(μ/me).

Например, мы уже видели в разделе 11.3, что главную поправку четвертого порядка к магнитному моменту мюона можно получить, умножив поправку второго порядка (швингеровскую поправку) (11.3.16) на функцию поляризации вакуума π(k2) ïðè k2 ≈ mμ2. Но согласно (18.2.40) это (в данном порядке) — то же самое, что использовать в швингеровской поправке вместо α величину

em2 μ 4π.

Другой пример. В экспериментах на электрон-позитронных коллайдерах высоких энергий, таких как LEP в ЦЕРНе или SLC в Стан-фордском центре линейного ускорителя SLAC сейчас изуча- ют физические процессы при энергиях порядка массы Z0 частицы, т. е. 91 ГэВ. Из формулы (18.2.43) следует, что при этих энергиях радиационные поправки к чистой квантовой электродинамике следует вычислять, используя значение постоянной тонкой структуры, равное не 1/137,036, а величине

	e2 (91 ÃýÂ)	=		α	=		1	.	(18.2.44)
	4π		1 − 2(1125.) α 3π			134,6

Это верно для теории, в которой единственными заряженными ча- стицами массой меньше mZ являются электроны. В реальности таких сортов частиц много, так что эффективная постоянная тонкой структуры4 ïðè mZ равна (128,87±0,12)–1.

* * *

Скользящая шкала, при которой вычисляются константы связи в теории, может быть не только значением импульса внешней линии, но и значением внешнего поля. В одной из ранних работ по приложениям методов ренормализационной группы Коулмен и Ю. Вайнберг4à рассмотрели эффективный потенциал V(ϕ) äëÿ íåçà-

висящего от координат пространства-времени внешнего скалярного поля ϕ. В простом случае, когда поле взаимодействует только с са-

мим собой, в однопетлевом приближении полученный ими результат дается формулой (16.2.15). Особый интерес представляет рас-

176	Глава 18. Методы ренормгруппы

смотрение этого потенциала в случае, когда перенормированная масса mR обращается в нуль и мы должны в однопетлевом приближении положить в последнем слагаемом μ2(ϕ) равным gRϕ2/2,

так что (16.2.15) теперь имеет вид (при слегка иначе определенной константе g):

V(ϕ) = λR +	g	ϕ4	+	g2ϕ4 ln ϕ2		(18.2.45)
					.
	24
				256π2

На первый взгляд кажется, что при g > 0 потенциал при очень малых ϕ становится меньше, чем λR, так что точка ϕ = 0

является не локальным минимумом, а локальным максимумом. Однако при столь малых значениях ϕ третье слагаемое больше

второго, и теория возмущений очевидно не вызывает доверия. Кроме того, нам хотелось бы показать, что g должна быть положительной, чтобы потенциал был ограничен снизу при больших полях, однако из (18.2.45) следует, что сколь бы малой ни была константа g, существует достаточно большое ϕ, при котором те-

ория возмущений становится неприменимой, и, следовательно, выражению (18.2.45) нельзя доверять при выяснении вопроса об ограниченности потенциала снизу при больших полях.

Можно поступить значительно лучше, используя константу связи, определенную при скользящей шкале m для напряженности поля. Предположим, что константа gμ определена условием

V(μ) = λR	+	gμ	μ4 .	(18.2.46)
	24

Если бы мы использовали gμ с самого начала как параметр связи,

тогда вместо (18.2.45) мы получили бы выражение

V(ϕ) = λR +	gμ	ϕ4	+	gμ2 ϕ4		F ϕ2 I
						lnG			J ,	(18.2.47)
	24			256π	2		μ	2
						H			K

очевидно согласующееся с (18.2.46) *.

* Выражение (18.2.47) отличается от того, которое мы получили бы из (18.2.45), просто используя (18.2.46), чтобы выразить g через gμ. Все отли- чие в том, что последнее слагаемое пропорционально не g2, à gμ2. Разни-

ца — более высокого порядка по g, но она может стать существенной,

18.2. Скользящий масштаб

177

Уравнение ренормгруппы для gμ можно получить из условия, что этот эффективный потенциал не зависит от μ *:

μ	dgμ	=	3gμ2	.	(18.2.48)
	dμ		16π2

(Слагаемые, содержащие производную от gμ2, здесь опущены, так как они – более высокого порядка по gμ, и ими можно пренебрегать до тех пор, пока gμ достаточно мала.) Не случайно, что полученное

уравнение имеет тот же вид, что уравнение ренормализационной группы (18.2.9), (18.2.12), где μ — перенормировочный импульс, т. к.

мы покажем в следующем разделе, что два первых слагаемых в уравнении ренормгруппы всегда не зависят от способа определения скользящей шкалы. Решение этого уравнения дается выражением (18.2.17), в общем случае, с другой константой интегрирования М. Отсюда, полагая μ = ϕ в (18.2.17), имеем

	V(ϕ) = λR		−	32π2ϕ4		,
							(18.2.49)
				3 lndϕ2 M2 i
	gϕ = −			32π2
					.		(18.2.50)
		3 lndϕ2 M2 i

åñëè V(ϕ) вычисляется при значениях ϕ, сильно отличающихся от m,

когда большие логарифмы могут компенсировать степени константы связи. Если с самого начала использовать в качестве параметра связи gμ и взять μ порядка ϕ, то подобных логарифмов не возникает, и приближение (18.2.47) справедливо до тех пор, пока gμ остается малой.

* Чтобы устранить всю зависимость от обрезания, поле ϕ нужно записать через перенормированное поле ϕμ =Nμϕϕ, что порождает зависимость V(ϕμ) îò μ, возникающую из зависимости от μ константы перенормировки Nμϕ . Здесь это игнорируется, так как в теории скалярного поля с взаимодействием ϕ4 диаграммы низшего порядка, дающие вклад в зависимость Nμϕ îò μ, содержат две петли, и в том порядке, в котором мы делаем здесь вычисления, можно положить Nμϕ = 1.

178	Глава 18. Методы ренормгруппы
Этот результат следует	использовать с осторожностью, так

как он справедлив только при малых значениях константы связи gμ.

Проблема не только в том, что (18.2.49) теряет применимость при ϕ, близким к М. Мы не можем также проинтегрировать уравнение ренормгруппы через сингулярность ϕ = M, так что знание gϕ ñ

одной стороны от этой сингулярности ничего не говорит нам о поведении gϕ с другой стороны.

Если оказалось, что gϕ имеет малое положительное зна- чение при некотором ϕ0, тогда из (18.2.50) мы знаем, что M > |ϕ0|, òàê ÷òî gϕ остается малой величиной, и формула (18.2.49) верна при |ϕ| < |ϕ0|. Это показывает, что точка ϕ = 0 является локальным минимумом V(ϕ), в противоположность тому, что

мы могли бы предположить на основании (18.2.45). Это означает, что вакуум, который инвариантен относительно преобразования симметрии ϕ → –ϕ, в этой модели стабилен, если не прини-

мать во внимание возможность квантово-механического проса- чивания сквозь барьер.

С другой стороны, мы не знаем, является ли выражение (18.2.49) справедливым для достаточно больших по сравнению с М значений |ϕ|. Константа может оказаться слишком большой для того, чтобы использовать теорию возмущений для всех |ϕ| > M, и даже если при некотором |ϕ| > M она становится малой, потенциал при таком ϕ может определяться выражением (18.2.49) с масштабом перенормировки M′ > ϕ, порождая вторую сингулярность.

Таким образом, в этом случае мы не можем сделать вывод, что V(ϕ) → ∞ ïðè |ϕ| → ∞.

Аналогично, если оказалось, что gϕ имеет малое отрицательное значение при некотором ϕ0, тогда мы знаем, что M < |ϕ0|, òàê ÷òî gϕ остается малой, и выражение (18.2.49) верно при |ϕ| > |ϕ0|.

В этом случае мы ничего не можем сказать о поведении потенциала при |ϕ| < M, но можем использовать (18.2.49), чтобы увидеть, что V(ϕ) → ∞ ïðè |ϕ| → ∞, исключая возможность существо-

вания любого стабильного вакуума. Так как здесь рассматривается предел |ϕ| → ∞, этот вывод верен также для скалярных полей с массой m > 0 при условии, что m n |ϕ0|. Именно поэтому необходимо предполагать, что константа взаимодействия ϕ4 (перенор-

мированная при любом масштабе, много большем массы скаляра) положительна.

18.3. Варианты асимптотического поведения

179

18.3. Варианты асимптотического поведения

Методы ренормализационной группы позволяют глубже понять встречающиеся в квантовых теориях поля возможные типы асимптотического поведения даже в тех случаях, когда бегущая константа связи gμ недостаточно мала, чтобы можно было приме-

нять теорию возмущений. Мы будем различать четыре возможных типа поведения gμ ïðè m ® ¥, соответствующих четырем разным формам функции b(g) в теориях с единственной константой связи. В

следующем разделе мы рассмотрим случай теорий с несколькими независимыми константами.

Напомним, прежде всего, результаты о виде b(g), установ-

ленные в двух примерах, рассмотренных в предыдущем разделе. Одним из примеров была скалярная теория поля с взаимодействием gj4/24, для которой при малых g бета-функция имеет вид

b(g) =	3g2	-	18		g3	+ O(g4 ) .	(18.3.1)
					(16p2 )2
16p2		3

Другой пример — квантовая электродинамика. Вместо того, чтобы выписывать бета-функцию в виде (18.2.38), подчеркнем схожесть этой теории и скалярной теории поля, записав

g ≡ e2 ,

(18.3.2)

где теперь b(gμ) понимается как mdgμ/dm, так что при малых g

L	e3		e5	O
b(g) = 2eM		+		+ O(e7 )P
			64p2
N12p2				Q

		g	2		g	3	(18.3.3)
	=			+			+ O(g4 ) .
		6p2			32p2

Заметим, что в обоих случаях физически разрешенные константы связи уменьшаются в области g ³ 0, ãäå b(g) ³ 0 при малых g.

В электродинамике это происходит просто потому, что действительность лагранжиана требует, чтобы заряд е был действительным. Как мы видели в конце предыдущего раздела, в скалярной теории поля необходимо выполнение условия g > 0, для того,

180	Глава 18. Методы ренормгруппы

чтобы существовало стабильное вакуумное состояние. Однако есть другие примеры, когда b(g) £ 0 ïðè g ³ 0. Например, можно рас-

смотреть скалярную теорию поля с гамильтонианом взаимодействия

–gj4/24 с положительной константой g. Такая теория может быть

нефизической, но до тех пор, пока мы придерживаемся теории возмущений, нас не будут беспокоить проблемы стабильности. Из уравнения (18.2.9) следует, что если переопределить g ® –g, бета-фун- кция изменяется следующим образом: b(g) ® –b(–g), так что, пользуясь предыдущим результатом, что b(g) = 3g2/16p2 + O(g3) в случае взаимодействия gj4/24, имеем в случае гамильтониана взаимодействия –gj4/24:

β(g) = − 3g2 16π2 + O(g3 ) .

(18.3.4)

Существенно большее отношение к физике имеют рассмотренные в разделе 18.7. неабелевы калибровочные теории с не слишком большим числом спинорных полей, в которых b £ 0 при малых

положительных калибровочных константах связи. Ниже мы всегда будем определять константу g так, что g ³ 0, но будем рассматривать случаи, когда b(g) положительна или отрицательна при малых g.

Обратимся к списку возможностей (рис. 18.4).

Рис. 18.4. Схематическое представление четырех возможных типов функции β(g). Для таких β(g) бегущая константа связи gμ: а) стремится к бесконечности при конечном значении μ; б) возрастает с ростом μ; в) достигает конечного предела g* ïðè μ → ∞; г) стремится к нулю при μ → ∞

18.3. Варианты асимптотического поведения

181

à.Сингулярность при конечной энергии

Предположим, что β(g) > 0 при малых положительных g (как в выражениях (18.3.1) и (18.3.3)) и что β(g) остается положительной и

продолжает достаточно быстро возрастать с ростом g, так что сходится интеграл

X∞ dg

Y β < ∞ . (18.3.5)

Z (g)

Тогда gμ будет непрерывно удаляться от gμ = 0, и из (18.2.10) видно,

÷òî gE должна стать бесконечной при конечном значении Е:

F	∞		I
E∞ = μ expGX		dg	J	,	(18.3.6)
		β
GY			J
HZgμ		(g)K

ãäå μ — произвольная шкала перенормировки с μ . m. В предыду-

щем разделе мы видели пример этого явления. Если принять, что формула низшего порядка β(g) = 3g2/6π2 для бета-функции в скаляр-

ной теории поля точна для всех значений g, тогда бегушая константа (18.2.17) становится бесконечной при энергии (18.2.19). Аналогично, если считать точной формулу низшего порядка β(g) = g2/6π2 (здесь g ≡ e2) для бета-функции спинорной квантовой электродинамики, тогда gE è eE станут бесконечными при энергии (18.3.6), равной

E∞ = μ expd6π2 gμ i .

(18.3.7)

Используя (18.2.43), можно выразить ее через обычный перенормированный заряд:

F 6π2			5	I
E∞ g me expG		+		+ O(eR2 )J	= e646,6me .	(18.3.8)
	2		6
H	eR			K

Конечно, приближение, в котором β(g) = g2/6π2, теряет силу

до того, как достигается эта энергия, поэтому с уверенностью можно сказать лишь то, что заряд eE станет достаточно большим, чтобы нарушить теорию возмущений при некоторой энергии Е, меньшей Е∞.

182	Глава 18. Методы ренормгруппы

á.Непрерывный рост

Предположим теперь, что в какой-то теории b(g) остается

положительно определенной при g ® ¥, но при этом достаточно медленно растет (или убывает), так что ò∞dg/b(g) расходится. Тогда константа связи gE продолжает возрастать при Е ® ¥, но становится бесконечной только в пределе Е = ¥. Более того, ведущее слагаемое в асимптотическом поведении gE ïðè Å ® ¥ не зависит

от обычным образом перенормированной константы. Например, если b(g) ведет себя при больших g как bgk, b > 0 è k < 1, òî

решение уравнения (18.2.9) имеет вид

	L	+ (1 - k) b gμk−1 ln	E O1/(1− k)
gE	= M1			P	gμ .	(18.3.9)
	N		m Q

Åñëè gμ мала при каком-то m (скажем, порядка m), тогда рост gE

заметен только при энергиях, экспоненциально больших по сравнению с этим m. Однако в пределе ультравысоких энергий константа

связи растет по закону

g	E	→ [(1 − k)b ln E]1/(1−k) ,	(18.3.10)

причем предельное поведение не зависит от gμ!

в. Фиксированная точка при конечном значении константы

Предположим далее, что b(g) остается положительно оп-

ределенной при 0 < g < g*, но обращается в нуль при g = g* и затем становится отрицательной. Тогда из уравнения (18.2.9) следует, что с ростом m константа gμ будет возрастать при gμ < g* и уменьшаться при gμ > g*, достигая в обоих случаях фиксированной точки g* ïðè m ® ¥. Åñëè ïðè g = g* íóëü b(g) — простой, то в окрестности этой точки при g ® g*

β(g) → a(g* − g) äëÿ g → g*

(18.3.11)

с a > 0. Тогда решение уравнения (18.2.9) имеет вид
g* - gμ µ m−a .	(18.3.12)

(Описанное выше поведение типа б можно рассматривать как ча- стный случай, когда фиксированная точка g* находится на беско-