Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

17.4. Калибровка фонового поля	133
δ( fα fα ) = −Cαβγ fα εβ fγ = 0 .	(17.4.7)

Кроме того, исходный лагранжиан L зависит от A и A′ только через сумму A + A′, которая под действием комбинированного преобразо-

вания (17.4.2), (17.4.3) подвергается обычному калибровоч- ному преобразованию

δdAαμ + Aα′μ i = ∂μεα − Cαβγ εβ dAγμ + Aγ′μ i .

(17.4.8)

Если определить преобразования фонового поля и квантового поля материи в виде

δψ = itα εα ψ,	(17.4.9)
δψ′ = itα εα ψ′,	(17.4.10)
òî
δ(ψ + ψ′) = itα εα (ψ + ψ′).	(17.4.11)

Исходный лагранжиан L инвариантен относительно исходных калибровочных преобразований (17.4.8), (17.4.11) и зависит только от A + A′ è ψ + ψ′, так что он инвариантен также относительно

новых формальных преобразований (17.4.2), (17.4.3), (17.4.9) и (17.4.10). Полезно сделать эту инвариантность более явной, записав L че- рез фоновую ковариантную производную Dμ . В общем случае имеем:

L = −

1

∂

A

+ A′

− ∂

A

+

A′

+ C

A

+

A′

A

+ A′

2

4 e

μ

ν

αβγ

γμ

j

αν

αν

αμ

αμ

βμ

βμ

γμ

e

d

i

j

+ LM ψ + ψ

′

′

′

′

g

, ∂μ bψ + ψ

g − itα Aαμ + Aαμ

bψ + ψ

= −

1

+

A′

−

A′

+ C

A′

A′

2

F

D

D

4 d

αβγ

αμν

μ αν

ν

αμ

βμ

γν i

+ LM d

′

′

′

′

gi ,

ψ + ψ

, Dμ bψ + ψ

g − itα Aαμ b

ψ + ψ

ãäå, êàê è â (17.4.5),

A′

≡ ∂

A′

+ C A A′

(17.4.13)

D

,

μ αν

μ αν

αβγ βμ

γν

μ ψ ≡ ∂μ ψ − itα Aαμψ ,

(17.4.14)

D

134 Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

à Fαμν — напряженность фонового поля:

Fαμν ≡ ∂μ Aαν − ∂ν Aαμ + Cαβγ Aβμ Aγν .

(17.4.15)

(Символ квадрата в первом слагаемом в L подразумевает очевидные свертки по индексам.) Ясно, что L инвариантен относительно новых преобразований (17.4.2), (17.4.3), (17.4.9) и (17.4.10), так как он вклю- чает Aαμ òîëüêî в напряженности поля Fαμν и фоновой ковариантной производной Dμ полей «материи» A′αμ, ψ′ è ψ.

Следует четко отличать это новое преобразование от истинного калибровочного преобразования. Последнее может не оказывать никакого действия на А или ψ, которые являются просто заданны-

ми классическими фоновыми полями, и индуцировать обычное калибровочное преобразование полей A + A′, ψ + ψ′, òàê ÷òî

δ

TRUE

Aμ

= 0,

(17.4.16)

α

δ

TRUE

A′μ

= ∂με

α

− C

ε

β d

Aμ + A′

μ

i

α

αβγ

γ

γ

=

μ ε

− C

ε

A′μ

(17.4.17)

D

α

β

,

αβγ

γ

è

δTRUEψ = 0,

(17.4.18)

δTRUEψ′ = itα εα (ψ + ψ′) .

(17.4.19)

Конечно, с точки зрения действия на A + A′ è ψ + ψ′ ýòî òî æå

самое, что и формальные преобразования (17.4.2), (17.4.3), (17.4.9) и (17.4.10), поэтому такие преобразования также оставляют лагранжиан инвариантным. Однако при нашем новом выборе fα (17.4.1) слагаемое fαfα зависит не только от А + А′ и неинвариантно относи-

тельно (17.4.16) и (17.4.17). Вместо этого

δ

=

μ ε

− C

ε

A′

μC

(17.4.20)

f

D

D

α

TRUE α

μ d

αβγ

β

γ

αβγ i

ãäå Dμ дается формулой (17.4.5).

Рассмотрим, наконец, лагранжиан гостов в этой новой калибровке. Величина (15.7.3) в действии для гостов в общем случае дается просто заменой в δTRUEfα величины εα на гостовское поле ωα + ω′α:

17.4. Калибровка фонового поля

135

=

μ (ω

+ ω′ ) − C

(ω

+ ω′ )A′μ

,

(17.4.21)

α

D

D

α

β

μ

α

αβγ

β

γ

Поэтому лагранжиан гостов в (15.6.2) имеет вид

L

=

(ω*

+ ω′* )

μ (ω

+ ω′ ) − C

(ω

+ ω′ )A′μ

, (17.4.22)

GH

D

D

α

β

α

α μ

α

αβγ

β

γ

или, интегрируя по частям,

GH

d

μ

α

α

id

μ (ω

α

α

αβγ

β

β

γ

μ

i

L

= −

D

(ω*

+ ω′* )

D

+ ω′ ) − C

(ω

+ ω′ )A′

. (17.4.23)

Это выражение явно инвариантно относительно объединенных пре-

образований (17.4.2), (17.4.3), дополненных преобразованиями полей

ω è ω′:

δωα	= −Cαβγ εβω γ ,	(17.4.24)
′	′	(17.4.25)
δωα	= −Cαβγ εβω γ ,
и аналогично
δω*α	= −Cαβγ εβω*γ ,	(17.4.26)
′*	′*	(17.4.27)
δωα	= −Cαβγ εβωγ .

Мы видим, что формально объединенные преобразования (17.4.2), (17.4.3), (17.4.9), (17.4.10) и (17.4.24)–(17.4.27) оставляют инвариантным полный лагранжиан в модифицированном действии (15.6.4):

	1
LMOD = L −	2ξ fα fα + LGH .	(17.4.28)

Интегрирование по A′, ψ′, ω′ è ω′* производится с мерой, которая

предполагается инвариантной относительно простых матричных преобразований (17.4.3), (17.4.10), (17.4.25) и (17.4.27), поэтому эффективное действие G[A,ψ,ω,ω*] инвариантно относительно остав-

шихся преобразований (17.4.2), (17.4.9), (17.4.24) и (17.4.26). Иными словами, оно калибровочно инвариантно в том же смысле, что и исходное действие I[A,ψ,ω,ω′].

Эта формальная калибровочная инвариантность накладывает сильные ограничения на бесконечности, которые могут возникать в эффективном действии. Ультрафиолетовые расходимости в Γ

136	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

появляются в коэффициентах у слагаемых, массовая размерность которых равна d ≤ 4, но здесь эти слагаемые инвариантны относи-

тельно фоновых калибровочных преобразований (17.4.2), (17.4.9), (17.4.24) и (17.4.26). Например, в калибровочной теории, основанной на простой калибровочной группе, с фермионами спина 1/2, принадлежащими неприводимому представлению этой группы, единственно возможные слагаемые имеют вид:

Γ∞ = z d4x L∞ ,

(17.4.29)

= −

1

F Fμν

− L

ψ γ μ

ψ

L

∞

L

ψ

D

4

A

αμν α

μ

(17.4.30)

− mL

ψψ − L

ω*

μω

m

ω

(D

)(D

α

) ,

μ

α

ãäå Fαμν, Dμ ψ , Dμω*α è Dμωα построены полностью из фоновых

полей *:

Fαμν ≡ ∂μ Aαν − ∂ν Aαμ + Cαβγ Aβμ Aγν ,						(17.4.31)
					μ ψ ≡ ∂μ ψ − itα Aαμψ ,	(17.4.32)
				D
		μωα ≡ ∂μωα + Cαβγ Aβμωγ ,				(17.4.33)
	D
			μω*α ≡ ∂μω*α + Cαβγ Aβμω*γ .			(17.4.34)
	D

На основании размерного анализа можно ожидать, что константы LA, Lψ, Lμ è Lω будут логарифмически расходящимися.

Чтобы справиться с этими расходимостями, заметим, что лагранжиан (17. 4. 12) содержит чисто классический кусок

L

= −

1

F Fμν − ψ(γ μ

+ m) − (

ω*

)(

μω

) ,

(17.4.35)

CLASS

D

D

D

α

4

αμν α

μ

μ α

* Условие простоты калибровочной группы обеспечивает единственность кинетического слагаемого для полей A и ω, которое пропорционально

Fαμν Fαμν è Dμ ω *α Dμ ω α , соответственно. В то же время, условие, что ψ ïðå-

образуется неприводимо, обеспечивает единственность кинетического и массового слагаемого для ψ. Ценой небольшого усложнения обозначений не-

трудно рассмотреть и более общий случай. Кроме того, мы неявно используем сохранение гостовского числа.

17.4. Калибровка фонового поля

137

получающийся отбрасыванием всех слагаемых в LMOD, содержащих квантовые поля A′, ψ′, ω′, ω*′. Определяем перенормированные поля

AαμR	≡	1 + LA					Aαμ ,	(17.4.36)
ψ lR	≡						ψ l ,
			1 + Lψ					(17.4.37)
ω αR ≡							ω α ,
		1 + Lω						(17.4.38)
ω αR* ≡							ω*α ,
			1 + Lω					(17.4.39)

так что сумма слагаемых (17.4.30) и (17.4.35) принимает вид:

L		+ L		= −	1	FR	FRμν − ψRγ μ DRψR
	CLASS		GH
				4		αμν	α	μ

− mRψ RψR − (DμRω*αR)(DμRωαR),

ãäå mR — перенормированная масса

mR ≡ m(1 + Lm) / (1 + Lψ ) ,

è

FR

≡ ∂

μ

AR − ∂

ν

AR

+ CR

AR

AR

,

αμν

αν

αμ

αβγ

βμ

γμ

DRψR ≡ ∂

μ

ψR − itRAR

ψR ,

μ

α

αμ

DRωR ≡ ∂

μ

ωR + CR

AR

ωR

,

μ

α

α

αβγ

βμ

γ

DRω*R

≡ ∂

μ

ω*R + CR

AR

ω*R .

μ α

α

αβγ βμ

γ

(17.4.40)

(17.4.41)

(17.4.42)

(17.4.43)

(17.4.44)

(17.4.45)

Здесь перенормированные структурные константы и генераторы группы равны:

CR	≡ (1 + L	A	)	−1/2 C	,	(17.4.46)
αβγ				αβγ
CR	≡ (1 + L	A	)	−1/2 C	,	(17.4.47)
αβγ				αβγ

138	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

Поскольку мы предполагали, что алгебра Ли проста, структурная константа Cαβγ и генератор группы tα фиксированы групповой струк-

турой за исключением единственного общего множителя, равного неперенормированной калибровочной константе связи g. Таким образом, из формул (17.4.46) и (17.4.47) следует, что калибровочная константа связи gR â CR è tR перенормируется по правилу:

gR = g(1 + L	A	)−1/2 .	(17.4.48)

Этот результат показывает практическую ценность калибровки фонового поля. В произвольной калибровке мы бы имели независимые константы перенормировки для калибровочного поля и калибровоч- ной константы связи и должны были бы вычислить две разные амплитуды (например, поляризацию вакуума и вершинную функцию с тремя калибровочными полями), чтобы получить возможность их отсортировать. В фоновой калибровке калибровочная инвариантность по отношению к этому полю связывает эти две перенормировки благодаря требованию, чтобы бесконечные слагаемые в эффективном лагранжиане включали напряженность поля в исходном виде (17.4.31). В результате можно вычислить константу перенормировки заряда, рассматривая лишь одну амплитуду калибровочного поля.

17.5.Однопетлевое вычисление в калибровке фонового поля

Âкачестве примера мы хотим вычислить в однопетлевом приближении константу перенормировки для калибровочной константы связи в произвольной неабелевой калибровочной теории. Как мы увидим в следующей главе, это послужит существенным первоначальным вкладом в вычисления физических процессов при высоких энергиях методом так называемой «ренормализационной группы». Полученные здесь результаты буду использованы для демонстрации свойства асимптотической свободы неабелевых калибровочных теорий.

Используемый здесь метод содержит элементы новизны. Обыч- но рассматривают эффективное действие в зависящем от простран- ственно-временных координат фоновом калибровочном поле и вы- числяют слагаемые, квадратичные по этому полю, извлекая затем множитель (qμAαν – qνAαμ)2 (где q — 4-импульс калибровочного поля),

èтолько после этого изолируют логарифмическую расходимость,

17.5. Однопетлевое вычисление...

139

полагая q = 0 в коэффициенте при этом множителе. Мы вместо этого будем следовать по значительно более простому пути, выбрав с самого начала калибровочное поле не зависящим от простран- ственно-временных координат. В этом случае квадратичные и кубичные по калибровочному полю слагаемые в эффективном действии, конечно, обращаются в нуль, но остается неисчезающее четвертичное ультрафиолетово расходящееся слагаемое, которое можно использовать для вычисления константы перенормировки (1 + LA)–1/2 для константы связи. При таком способе расчетов однопетлевое вычисление превращается в задачу простой алгебры матриц. Заметим, что описанная процедура может использоваться только в калибровке фонового поля. В других случаях независимые логарифмические расходимости возникали бы в квадратичных и четвертичных по калибровочному полю слагаемых эффективного действия.

С учетом сказанного перейдем к вычислению однопетлевого эффективного действия в фоновом поле, для которого Aαμ постоянно, а ψ = ω = ω* = 0. Для такого фонового поля полный моди-

фицированный лагранжиан имеет вид *

LMOD = L + L f + LGH ,

(17.5.1)

L = −

1

e

+

A′

−

A′

+ C A′

A′

2

F

D

D

4

αμν

μ

αν

ν αμ

αβγ

βμ

γν j

− it A/

(17.5.2)

− ψ

′(

D/

′ + m

ψ′

,

α

α

)

≡ −

1

fα fα = −

1

d

μ Aα′μ i2

Lf

D

,

(17.5.3)

2ξ

2ξ

L

= −(

ω

′* )(

μω′

−

ω′ A′μ ) .

(17.5.4)

GH

D

D

C

μ

α

α

αβγ

β γ

Однопетлевые диаграммы для амплитуд перехода вакуум–вакуум вычисляется из той части действия, которая квадратична по квантовым полям A′, ψ′, ω′, ω*′, по которым производится интегрирова-

ние. Удерживая только эти квадратичные слагаемые, имеем:

* См. формулы (17.4.12), (17.4.4) и (17.4.23). Мы здесь рассматриваем специальный случай, когда поля материи образуют мультиплет фермионов спина 1/2. Квадрирование L и Lf подразумевает очевидные свертки по индексам.

140	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

L

= −

1

A′

−

A′

2

− 1

FμνC A′

D

D

4 d

QUAD

μ αν

ν αμ i

2

α

αβγ

βμ

− ψ′(

+ m)ψ′ −

1

A′

μ 2

− (

ω′*

D/

D

D

2ξ d

μ α i

μ

α

A′

γν

μω′ (17.5.5)

)(D α ) .

Соответствующее действие можно представить в виде общей квадратичной формы:

I

≡

d4x L

= −

1

d4x d4yA′

μ

(x)A′

ν (y)DA

QUAD

z

QUAD

2 z

α

β

xαμ,yβν

(17.5.6)

−

z

d4x d4yψ′ (x)ψ′(y)Dψ

−

z

d

4x d4y ω′* (x)ω′

(y)Dω

,

k

l

xk,yl

α

β

xα,yβ

ãäå

DA

xαμ,yβν

≡ ημν

F

−δγα

∂

+ Cγδα Aδλ

I F

−δ

∂

+ CγεβAελ

I

δ4 (x − y)

G

(x)

γβ

(y)

λ

H

∂xλ

K H

∂y

K

F

∂

I F

∂

I

4

−

H

−δ

+ C A (x)

−δ

+ C A (y)

δ

(x

− y)

∂

∂

G

γα

x

ν

γδα

δν

J

H

γβ

y

μ

γεβ

εμ

K

(17.5.9)

(17.5.7)

+ Fγμν (x)Cγαβδ4 (x − y)

+

1 F

−δ

∂

+ C A

I F

−δ

∂

+ C A

I

δ

4

(x − y) ,

(x)

(y)

ξ

H

∂ μ

∂

ν

γα

γδα δμ

K G

γβ

γεβ

εν

J

G

x

J

H

y

K

Dψ

≡

F

−γ μ

∂

− it A/

(y) + mI

δ4

(x − y) ,

G

μ

(17.5.8)

xk,yl

∂y

α

α

J

H

K kl

ω

F

∂

I F

∂

λ

I

4

D

≡ −

−δ

+ C A (x)

−δ

+ C A

(y)

δ

(x − y) .

H

∂x

λ

∂y

xα,yβ

γα

γδα

δλ

K G

γβ

γεβ

ε

J

G

J

H

λ

K

(Знаки «минус» перед ∂/∂x è ∂/∂y исчезают после интегрирования

по частям.)

Однопетлевой вклад в эффективное действие дается (как в разделе 16.2) выражением:

17.5. Однопетлевое вычисление...

141

expdiΓ(1LOOP)[A]i z	b∏ dA′gb∏ dψ′gb∏ dψ′gb∏ dω′gd∏ dω′* i
1PI
× expdiIQUAD[A′, ψ′, ψ′, ω′, ω′* ; Ai		(17.5.10)
(DetDA )-1/2(DetDy )+1(DetDw )+1.

(Показатели степени –1/2 и –1 возникают потому, что A′ — действительное бозонное поле, а ψ′, ψ′, ω′ è ω*′ – различные ферми-

онные поля.) В общем случае вычисление подобных детерминантов — далеко не простая задача. Однако она сильно упрощается для случая постоянных внешних полей, когда все D можно диагонализовать, перейдя в импульсное пространство.

Поэтому рассмотрим случай постоянного фонового поля Aαμ.

В неабелевых калибровочных теориях такое постоянное поле невозможно устранить калибровочным преобразованием, что видно по ненулевым значениям различных калибровочно ковариантных полей:

F

= C

A

A

gn

,

(17.5.11)

amn

abg

bm

D F

=

C

C

A

el

A A

gn

,

(17.5.12)

l dmn

dea

abg

bm

и т. д. Лоренцовская и калибровочная инвариантности указывают, как выразить слагаемое в Γ[A] данной размерности в виде интегра-

ла от конечного числа локальных функций от Fαμν, DλFαμ è ò. ä.

Коэффициенты при слагаемых в этом выражении можно найти, сравнив вклад этих слагаемых в Γ[A] при постоянном фоновом поле Aαμ с результатами разложения по теории возмущений.

С помощью обычного нормированного фурье-преобразования перейдем для каждой из «матриц» DA, Dψ è Dω к импульсному пред-

ставлению:

D	=	X	d4x	e-iq×x X	d4 y	eip×yD	(17.5.13)
q...,p...		Y		Y	(2π)2	x...,y...
		Z (2π)2		Z

При постоянном А имеем:
D	= δ4 (p − q)M	(q) ,	(17.5.14)
q...,p...	...,...

142	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

где ... означает дискретные индексы, а М — конечные зависящие от q матрицы

MαμA ,βν (q) = ημν e−iqλδγα + AδλCγδα jeiqλδγβ + Aε λCγεβ j
− e−iqνδγα + AδνCγδα jeiqμδγβ + AεμCγεβ j
+ FγμνCγαβ		(17.5.15)
+ e−iqμδγα + AδμCγδα jdiqνδγβ + Aε νCγεβ i / ξ
+ слагаемые с ε,
Mklψ (q) = biq/ − itα A/ α + mg	+ слагаемые с ε,	(17.5.16)
	kl

Mαβω (q) = e−iqλδγα + AδλCγδα jeiqλδγβ + Aε

λCγεβ j

(17.5.17)

+слагаемые с ε,

ñFαμν, определенными соотношением (17.5.11). Тогда из (17.5.10) имеем

iΓ(1LOOP) [A] = − 1 ln DetDA + ln 2

= − 1 Tr ln DA + Tr 2

= δ4 (p − p)XY d4qLM− 1 tr ln MA (q)

Z N 2

DetDψ + ln DetDω

ln Dψ + Tr ln Dω

+ tr ln Mψ (q) + tr ln Mω (q)OP .

(17.5.18)

Q

В последней строке (17.5.18) мы обозначили следы символом tr, а не Tr (и будем делать это в оставшейся части раздела), для того, чтобы подчеркнуть, что это обычные следы конечных матриц, а не интегральных операторов.

Так как нашей целью является вычисление бесконечного множителя LA, стоящего перед слагаемыми FF в эффективном действии, выделим в (17.5.18) слагаемое четвертой степени по фоновому полю А. Для этого удобно разбить каждую матрицу М на слагаемые Mn, содержащие n = 0, 1, 2 степеней А:

M = M0 + M1 + M2 .

(17.5.19)