Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

18.5. Критические явления

203

В этой неподвижной точке матрица (18.4.4) диагональна, и ее собственные значения равны

	λ4		= M44 = −ε +		3g4*		+ O(g42* ) = +ε + O(ε2 ) ,				(18.5.10)
					8π2
	λ2	= M22 = −2 +		g4*		+ O(g42* )		= −2 +	ε	+ O(ε2 ) .	(18.5.11)
			16π2					3

Из формулы (18.5.10) видно, что константа g4 на самом деле нерелевантна, так что в данном случае есть только одна релевантная константа, сигнализирующая о наличии фазового перехода второго рода. Из (18.5.11) следует, что аномальный показатель (18.5.5) равен

ν = −	1	=	1	+		ε	+ O(ε2 ) .	(18.5.12)
	λ2 2				12

При физическом значении ε = 1 первые два слагаемые дают ν g 0,58. Трехпетлевые вычисления 7à приводят к следующему вы-

ражению для критического показателя:

		1			ε			7ε2
	ν =		+			+			− 0.01904ε3 ,	(18. 5. 13)
		2		12			162

÷òî ïðè ε = 1 äàåò ν = 0,61.

В представленном вычислении не делалось никаких предположений об изучаемой системе кроме того, что существует фазовый переход второго рода, в окрестности которого единственной длинноволновой степенью свободы является одно скалярное поле. Таком описанию удовлетворяет целый ряд различных физических систем, например, спонтанное появление намагниченности (в данном слу- чае представленной как ϕ) в ферромагнитных и антиферромагнит-

ных материалах, а также фазовые переходы второго рода между жидкостями и газами и в бинарных жидкостях. Поэтому во всех этих системах ожидается одно и то же значение ν. Это подтверждается экспериментом, дающим значение8 ν = 0,63 ± 0,04 â õîðî-

шем согласии с трехпетлевым результатом (18.5.13) и в удовлетворительном согласии даже с однопетлевым вычислением (18.5.12).

204	Глава 18. Методы ренормгруппы

Тот факт, что разложение по степеням 1 так хорошо работает, остается пока что счастливым, но загадочным обстоятельством.

Обобщая, говорят, что все системы, описывающиеся одним и тем же набором длинноволновых степеней свободы в окрестности своих фазовых переходов второго рода, принадлежат к одному классу универсальности. В данном классе универсальности все критические показатели для всех систем одинаковы.

18.6.Минимальное вычитание

Âразделе 11.2 мы видели, что размерная регуляризация особенно удобна для расчета радиационных поправок в квантовой электродинамике, так как этот метод не нарушает законов сохранения, связанных с калибровочной инвариантностью. По тем же причинам оказывается, что размерная регуляризация позволяет дать очень удобное альтернативное определение скользящей шкалы ренормгруппы в произвольных калибровочных теориях 9.

При вычислениях, использующих размерную регуляризацию, ультрафиолетовые расходимости возникают как полюсы в физи- ческих амплитудах при размерности пространства–времени d, стремящейся к физическому значению d = 4. (См., например, (11.2.13).) Чтобы сократить эти полюсы, голые константы связи gBl(d) (вклю- чая массы) сами должны иметь такие полюсы с вычетами, фиксированными условием, что физические амплитуды должны быть регулярны при d → 4. В общем случае эти голые константы обладают

ненулевыми размерностями l(d), зависящими от размерности про- странства-времени d, поэтому удобно рассматривать безразмерную величину glB (d)μ − l (d) , ãäå μ — скользящий масштаб размерностью

энергии или массы. Голую константу с измененным масштабом можно выразить в виде суммы слагаемых, пропорциональных положительным степеням ν величины 1/(d–4) c коэффициентами βν, фиксированными требованием сокращения особенностей при d → 4 â ôèçè-

ческих амплитудах, и остальных слагаемых, аналитичных по d при d = 4. Этот остаток отождествляется с безразмерной перенормированной константой связи gl(μ,d), òàê ÷òî

		− l (d)		∞
l	(d)μ		l	(μ, d) + å (d − 4)	− ν	l	(18.6.1)
gB			= g			bν (g(μ, d)) .

ν=1

18.6. Минимальное вычитание

205

Мы имеем право задать любую зависимость голых констант от d, если только при этом сокращаются сингулярности при d = 4 в физических амплитудах. Такую неоднозначность можно устранить, потребовав, чтобы gl(μ,d) была аналитичной по d не толь-

êî ïðè d = 4, íî ïðè âñåõ d.

Чтобы выписать то уравнение ренормализационной группы, которому удовлетворяет gl(μ,d), продифференцируем сначала (18.6.1) по μ:

	L	∞
−	l (d)Mgl + å (d
	N	ν=1

ãäå

и, как и ранее,

O	∞
− 4)− ν blν (g)P	= βl (g, d) + å å blνm (g)βm
Q	ν=1 m

bl (g) ≡ ∂ bl (g)

νm ∂gm ν

μ d gl (μ, d) = βl (g(μ, d), d) . dμ

(g, d)(d − 4)− ν

(18.6.2)

(18.6.3)

(18.6.4)

Заметим, что βl есть функция всех gm(μ,d) и d, но не может отдельно зависеть от μ, поскольку после включения значений масс

с измененным масштабом в число безразмерных параметров не остается других размерных параметров, кроме μ.

Как мы видели, размерности l(d) являются всегда линейными функциями d, и мы запишем это в виде

	l (d) =	l + ρl (d − 4) .			(18.6.5)
Перепишем левую часть (18.6.2) как
		∞
−ρlgl (d − 4) −	lgl + b1l (g)ρl	− å (d − 4)	− ν	ρlblν+1(g) +	lblν (g)	.
		ν=1

Самая высокая степень d в аналитической части этого выражения — первая, и это же должно быть верно для правой части (18.6.2). Поэтому β(g,d) должна быть линейной по d:

βl (g, d) = βl (g) + (d − 4) αl (g) .

(18.6.6)

206	Глава 18. Методы ренормгруппы

Приравнивая слагаемые первого и нулевого порядка в (18.6.2), находим:

	αl (g) = −ρ	gl	(18.6.7)
	l
и, что более важно,
	∞
βl (g) = −	lgl − b1l (g)ρl + å å b1lm (g)ρmgm .		(18.6.8)

ν=1 m

Примечательно, что бета-функция зависит только от коэффициентов простого полюса в голых константах. На самом деле, эти коэффициенты определяют также и коэффициенты всех полюсов более высокого порядка. Приравнивая полюсные слагаемые слева и справа в (18.6.2), приходим к рекуррентному соотношению:

ρlblν+1(g) − å ρmgmblν+1m (g) = −	lblν (g) − å blνm (g)βm (g) . (18.6.9)
m	m

Например, чтобы выражение z ddxFμνFμν было безразмерным, любое калибровочное поле Aμ должно иметь размерность (в степенях массы), равную (d – 2)/2, и так как gBAμ должно иметь ту же размерность, что и ∂/∂μ, константа gB должна иметь размерность (4 –d)/2. Таким образом, для калибровочных констант = 0 и ρ = –

1/2, и для калибровочной теории с единственной константой связи из формулы (18.6.8) находим:

β(g) =	1		′	(g)		.	(18. 6. 10)
	2		b1(g) − gb1

В частности, формула (11.2.20) показывает, что в квантовой электродинамике в однопетлевом порядке голый электрический заряд имееть полюс при d → 4, причем

eB	= Z3−1/2e → e −	e3		1	.	(18.6.11)
	12π2			d − 4

Полагая β1(e) = –e3/(12π2) в формуле (18.6.10), находим:

e3

β(e) = (18.6.12)

12π2

в согласии с предыдущим результатом (18.2.37).

18.6. Минимальное вычитание

207

Принято говорить, что константы связи gl(μ), введенные в

этом разделе, определены в схеме минимального вычитания. Существует и несколько иная и чуть более удобная схема. Простые полюсы (d – 4)–1 типично возникают от функций (4π)d/2–2Γ(2–d/2) (как в формуле (11.2.13)), и при d → 4 эти функции имеют предел

	2	−d/2	F		dI			1
(4π)			ΓG2	−		J	→		− γ + ln 4π ,	(18.6.13)
								2 − d 2
			H		2 K

ãäå γ = 0,5772157 — постоянная Эйлера. Поэтому удобно везде в

(18.6.1) совершить замену

1	→	1	+	γ	−	1	ln 4π .	(18.6.14)
d − 4		d − 4
			2			2

Если выбран такой рецепт определения констант, говорят что они определены в схеме модифицированного минимального вычитания.

Одним из примечательных свойств определения констант в схеме минимального (или модифицированного минимального) вычи- тания является то, что поскольку ни в одном вычислении никогда не возникают множители ультрафиолетового обрезания, петлевые диаграммы имеют при d = 4 только полюсы, отвечающие логарифмическим, а не линейным, квадратичным и т. д. ультрафиолетовым расходимостям. Отсюда функция вычета β1l(g) может содержать сла-

гаемое порядка gagbgc... только, если при d = 4 размерность gBl равна полной размерности констант gBa, gBb, gBc è ò. ä.:

l = a + b + c + L.

(18.6.15)

Тогда из (18.6.8) следует, что это же верно для βl(g).  ÷àñ-

тности, в теории без суперперенормируемых констант (типа калибровочной теории с безмассовыми спинорами и без скаляров, например квантовой электродинамики с нулевой массой электрона) для всех констант l ≤ 0, так что уравнения ренормгруппы

для перенормируемых констант (с l = 0) не изменяются при наличии любых неперенормируемых взаимодействий 5. Кроме того, в такой теории бета-функции для неперенормируемых констант являются полиномами конечного порядка по неперенормируемым константам,

208	Глава 18. Методы ренормгруппы

причем каждый коэффициент в каждом полиноме определяется бесконечным рядом по степеням перенормируемой константы. Например, в теории фотонов и безмассовых электронов (предполагая инвариантность относительно P и преобразования y ® g5y) íå

существует неперенормируемых взаимодействий размерностью +5 и есть ряд взаимодействий размерностью +6 (четырехфермионные взаимодействия, а также чисто фотонные взаимодействия Fμν9Fμν) с константами fi размерностью –2. Бета-функция для fi имеет вид åjbij(e)fj с коэффициентами bij(e), определяемыми сте-

пенным рядом по е.

18.7. Квантовая хромодинамика

Квантовая хромодинамика — современная теория сильных взаимодействий. Это неабелева калибровочная теория, основанная на калибровочной группе SU(3). В дополнение к калибровоч- ным полям в квантовую хромодинамику входят поля частиц спина 1/2, известных как кварки. Существует шесть сортов (или «ароматов») кварков: u, c, t зарядом 2е/3 и d, s, b зарядом –е/3. Кварки каждого аромата существуют в трех «цветовых» разновидностях, образующих фундаментальное представление 3 калибровочной группы SU(3) *. Барионы типа протонов и нейтронов можно приближенно рассматривать как бесцветные связанные состояния трех кварков, полностью антисимметричные по цветам кварков, а мезоны типа r-мезона приближенно являются бесцветными связан-

ными состо-яниями кварков и антикварков 11.

В приближении, когда массами кварков можно пренебречь по сравнению с рассматриваемыми энергиями, обращение выражения (17.5.44) показывает, что голая константа связи в произвольной калибровочной теории имеет полюс, когда пространствен- но-временная размерность d ® 4, причем вычет в нем равен

* До того, как была предложена окончательная формулировка квантовой хромодинамики, ряд авторов высказывал гипотезу о существовании трех разновидностей кварков каждого аромата. Это делалось как с целью получить согласие с вероятностями распадов типа π0 → γ + γ, òàê è äëÿ

того, чтобы ввести новую степень свободы, что позволило бы объяснить симметрию волновой функции кварков-фермионов в барионе по спиновым и пространственным координатам, а также по аромату 11.

18.7. Квантовая хромодинамика

209

L

g3

F 11

1

I

5

O

1

gB

→ M

G

C1

−

C2 J

+ O(g

)P

,

N 4π2

H 12

3

K

Q d − 4

ãäå Ñ1 è Ñ2 определены формулами (17.5.33) и (17.5.34). Иными словами, в обозначениях предыдущего раздела

b1(g) =	g3	F 11			−	1	I	+ O(g	5
		G		C1			C2 J			) .
	4π2					3
		H 12					K

Подставляя это в (18.6.10), получаем:

β(g) = −	g3	F 11			−	1	I	+ O(g	5
		G		C1			C2 J			) .
	4π2					3
		H 12					K

(18.7.1)

(18.7.2)

В SU(3) теории с nf безмассовыми кварками в фундаментальном представлении 3 группы SU(3) из формулы (17.5.35) находим:

Ñ1 = 3, Ñ2 = nf/2.

(18.7.3)

Так как кварки здесь считаются безмассовыми, эта формула может быть применима только в эффективной теории поля, полу- ченной путем интегрирования по всем кваркам, которые тяжелее типичной рассматриваемой энергии Е. Таким образом, nf — число ароматов кварков массами, много меньшими Е. С учетом этого замечания, из формул (18.7.2) и (18.7.3) вытекает, что

β(g) = −	g3	F 11			−	1	I	+ O(g	5
		G					nf J			) .	(18.7.4)
	4π2		4			6
		H					K

Мы убеждаемся, что если только число сортов кварков массами меньше рассматриваемого масштаба энергий не превышает 16, теория асимптотически свободна. Поскольку на самом деле, по-види- мому, имеется всего шесть сортов кварков разных масс, теория сильных взаимодействий, основанная на калибровочной группе SU(3), является асимптотически свободной.

Именно открытие асимптотической свободы в неабелевых калибровочных теориях такого типа, совершенное в 1973 году Гроссом и Вильчеком 12 и Политцером 13, убедило физиков-тео-

210	Глава 18. Методы ренормгруппы

ретиков в том, что найдена правильная теория сильных взаимодействий. Вычисления этих ученых сразу же объяснили загадоч- ный результат знаменитого эксперимента 1968 года в SLAC по глубоконеупругому электрон-нуклонному рассеянию, из которого следовало, что сильные взаимодействия при больших энергиях становятся слабее*. (Мы подробнее обсудим этот эксперимент в разделе 20.6.) Однако историческое значение открытия асимптотической свободы в теориях Янга–Миллса заключается не только в том, что оно позволило объяснить старый экспериментальный результат, но и в том, что впервые, по крайней мере, при больших энергиях, открылись перспективы разумных вычислений по теории возмущений процессов сильного взаимодействия.

Вскоре обнаружилось, что асимптотическая свобода имеет, по крайней мере, еще одно применение. На первых порах после открытия асимптотической свободы было широко распространено мнение, что калибровочные бозоны в реалистичных янгмиллсовских теориях сильных взаимодействий должны быть достаточно тяжелыми, чтобы можно было объяснить, почему эти сильновзаимодействующие бозоны не были давно открыты. Следуя прецеденту с теорией слабых и электромагнитных взаимодействий (обсуждение этой теории см. в гл. 21), считалось, что массы калибровочных бозонов возникают за счет спонтанного нарушения цветовой SU(3) калибровочной симметрии, обусловленного вакуумными средними скалярных полей в нетривиальном представлении этой группы. Однако такие сильновзаимодействующие скаляры должны давать положительные вклады в β(g), ÷òî

может разрушить асимптотическую свободу. Хуже того, в тео-

* Çè 17 и, возможно, другие теоретики уже понимали, что этот экспериментальный результат можно объяснить в рамках теории с бета-функци- ей, которая становится отрицательной при малых положительных константах связи, однако вычисления β(g) во всех перенормируемых теориях

поля за исключением неабелевых калибровочных теорий приводили к β(g) > 0. С другой стороны, в 1972 году ‘т Хоофт развил технику вычислений для расчета β(g) в янг-миллсовских теориях и объявил в июне 1972 года на конференции по калибровочным теориям в Марселе 16, ÷òî β(g) < 0,

однако, занимаясь другими делами, он задержался с публикацией этого результата и разработкой его приложений, так что результат не привлек особого внимания.

18.7. Квантовая хромодинамика

211

рии с сильновзаимодействующими скалярными полями радиационные поправки, включающие слабые взаимодействия, повлекли бы сильные нарушения разных симметрий типа инвариантности относительно зарядового сопряжения и сохранения аромата, которые, как мы увидим далее, без этих скаляров не нарушались бы 17. Поэтому было высказано предложение отбросить сильновзаимодействующие скаляры и принять, что глюоны — SU(3) калибровочные бозоны — имеют нулевую массу 18. Конечно, уменьшение константы сильного взаимодействия при больших энергиях или на малых расстояниях означает ее рост при низких энергиях или на больших расстояниях. Было высказано предположение, что это свойство может объяснить, почему на эксперименте не обнаруживаются безмассовые кварки и глюоны. Согласно этой гипотезе, в изолированном состоянии могут существовать только бесцветные частицы типа барионов и мезонов 19.К сожалению, это утверждение все еще остается гипотезой и не превратилось в теорему, однако по прошествии двадцати лет мало кто сомневается в ее справедливости.

Даже несмотря на то, что кварки не могут материализоваться как свободные частицы, они в определенном смысле наблюдаются как струи, рождающиеся в процессах соударений при больших энергиях. Например, при аннигиляции электронов и позитронов конечное состояние во многих случаях имеет вид двух узких адронных струй, причем угловое распределение по углу θ

между импульсами начального лептона и направлениями струй (в с.ц.м.) имеет вид 1 + cos2θ, как и следует из расчета электрон-

позитронной аннигиляции в конечные кварк-антикварковые состояния на основе древесной диаграммы 20. Это можно понять 21 и с помощью общего анализа инфракрасных расходимостей, сделанного в разделе 13.4. При ультравысоких энергиях следует ожидать, что вероятность физических процессов определяется вкладом низшего порядка теории возмущений, если этот вклад «инфракрасно безопасен», т. е. не становится инфракрасно расходящимся, когда все массы устремляются к нулю. Полная вероятность электрон-позитронной аннигиляции в адроны является инфракрасно безопасной, так как мы суммируем по всем адронным конечным состояниям. (Электромагнитными эффектами высших порядков мы здесь пренебрегаем.) Поэтому можно использовать теорию возмущений, откуда сразу же следует, что отношение R

212 Глава 18. Методы ренормгруппы

этой вероятности к вероятности процесса e+ + e– ® m+ + m– равно R = 3åqQq2, где сумма берется по всем кварковым ароматам, Qq —

заряд кварков в единицах е, а множитель 3 — число цветов. (Например, в широком интервале энергий между mb » 4,5 ÃýÂ è mt » 180 ГэВ величина R » 3[2(2/3)2 + 3(–1/3)2] = 11/3.) С другой стро-

ноы, вероятность электрон-позитронной аннигиляции в какое-то определенное состояние кварков и глюонов не является инфракрасно безопасной, поэтому ее вообще нельзя вычислить по теории возмущений. На самом деле, она просто равна нулю. Между этими двумя крайними значениями находится вероятность элект- рон-позитронной аннигиляции в некоторое число струй, несущих определенный полный импульс и заряд, совместно с множеством не входящих в струи ненаблюдаемых адронов с ограниченной полной энергией. Как обсуждалось в разделе 13.4, эта вероятность инфракрасно безопасна. Поэтому ее можно вычислить при высоких энергиях в древесном приближении теории возмущений, отождествляя струи (в этом порядке теории возмущений) с конечными кварками, антикварками и глюонами. Можно даже рассчитать вероятность трехструйных событий, возникающих от древесных диаграмм, в которых глюон испускается конечным кварком или антикварком, и использовать сравнение результатов расчетов с эеспериментом для определения величины as(m) 22. Но теорию воз-

мущений нельзя использовать для предсказания распределения импульсов внутри струи, поскольку такое дифференциальное се- чение не является инфракрасно безопасным. Аналогичные заме- чания касаются рождения струй в глубоконеупругих лептон-ад- ронных соударениях, которые мы обсудим в разделе 20.6, однако анализ усложняется наличием адронов в начальном состоянии.

Следуя тем же рассуждениям, что и в разделе 12.5, можно записать наиболее общий перенормируемый лагранжиан квантовой хромодинамики без скалярных полей в виде:

	L = -	1	FαμνFαμν - å yn		¶/ - igA/ αtα + mn		yn ,	(18.7.5)
	4		n

ãäå Aμα — цветовой калибровочный вектор-потенциал, Fμνα — öâå-

товой калибровочно-ковариантный тензор напряженности поля, g — константа сильного взаимодействия, tα — полный набор гене-

раторов цветовой SU(3) симметрии в представлении 3 (т. е. набор