Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

17.2. Перенормировка. Непосредственный анализ

123

После этого слагаемые в δL(ε) , пропорциональные θ∂μωαωβωγAμδ àâ-
N
томатически сокращаются в силу тождества Якоби для структур-
ных констант. Сокращение в δL(ε) слагаемых, пропорциональных
N
θhα∂μωβAμγ (èëè θhαAμβAγμωδ), приводит к равенству
eαβγ = 0.	(17.2.27)

Наконец, действие бесконечно малого преобразования (17.2.10) на поля материи и калибровочные поля совпадает с локальным

калибровочным преобразованием с калибровочными параметрами
εα = Z N θωα и константами связи, перенормированными множите-
~	~
лем 1/N (т. е. с заменой tα è Cαβγ íà tα ≡ tα / N è	Cαβγ ≡ Cαβγ / N ),
так что сокращение в δL(ε) слагаемых, содержащих только один
N
множитель ωα и не содержащих множителей hα	èëè ω*α, эквива-

лентно утверждению, что лагранжиан LψA этих полей калибровоч-

но-инвариантен с перенормированной константой связи. Мы приходим к выводу, что самый общий перенормируемый лагранжиан, допускаемый теми принципами симметрии, которые мы предположили, имеет вид

(ε)	~μν ~		μ		~	1		ξ′hαhα
LN	= −ZAFα Fαμν − Zψ ψ γ			[∂μ	− itα Aαμ ]ψ +
						2				(17.2.28)
	μ			*	*	~		*	μ
+ (Zω / N Z)hα ∂μ Aα		− Zω (∂μωα )(∂μωα ) + Zω Cαβγ (∂μωα )ωβ Aγ								,

где тильда в F~αμν указывает на то, что напряженность поля сле-

дует вычислять с перенормированной структурной константой

~αβγ = αβγ N . Но ведь помимо появления нескольких новых по-

C C /

стоянных коэффициентов, это тот же самый лагранжиан, от которого мы стартовали. Новые константы в этом лагранжиане (вклю- чая калибровочную константу связи) можно свободно сдвигать, подбирая слагаемые N-го порядка в соответствующих константах исходного неперенормированного лагранжиана. В частности, можно так подобрать эти слагаемые, чтобы сделать Γ(ε)N = SR, и в этом случае ΓN,∞ = 0, что и завершает доказательство.

* * *

124	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

В приведенном выше доказательстве существенно использовалась случайная инвариантность лагранжиана (17.2.17) в фиксированной калибровке относительно антигостовского преобразования трансляции (17.2.23). Такой симметрии не будет для фиксирующих калибровку функционалов, отличающихся от fα = ¶μAμα и не являю-

щихся пространственно-временными производными. Часто цитируемый пример, в котором сохраняется лоренц-инвариантность и глобальная калибровочная инвариантность, это fα = ¶μAμα + aαβγAμβAγμ, ãäå aαβγ — постоянная матрица, симметричная по b è g, преобразую-

щаяся как тензор при глобальных калибровочных преобразованиях. (Подобные постоянные тензоры существуют для всех SU(N) групп c N ³ 3.) Другой, более важный пример — фиксирующий калибровку

фоновый функционал, который мы рассмотрим в разделе 17.4. Отсутствие антигостовской трансляционной инвариантности не

влияет на вывод, что LN(ε) является лоренц-инвариантной и глобаль-

но калибровочно-инвариантной локальной функцией полей и их производных размерности не более 4, которая инвариантна относительно перенормированного преобразования БРСТ (17.2.11)–(17.2.15). Но в отсутствие антигостовской трансляционной инвариантности в LN(ε) появляются новые слагаемые, удовлетворяющие перечислен-

ным выше условиям. Так как преобразование (17.2.11)–(17.2.15) нильпотентно, можно строить такие слагаемые в виде s¢F, если преобразование (17.2.11)–(17.2.15) записать в виде cn ® cn + qs¢cn, à F —

произвольная лоренц-инвариантная и глобально калибровочно инвариатнеая функция с гостовским числом –1. Одно из таких слагаемых имеет вид

aαβγ s′dω*α Aβμ Aγμ i = −aαβγ hα Aβμ Aγμ + 2 Z ω*α dN ∂μωβ + Cβδε Aδμωδ iAγμ .

Оно не причиняет хлопот,поскольку является просто перенормированным вариантом обычных гостовских и фиксирующих калибровку слагаемых, возникающих от слагаемых aαβγAμβAγμ в фиксирующем калибровку функционале fα. Однако есть еще одно возможное

слагаемое вида

bαβγ s¢dwαwβwγ i = -bαβγ M2hαwβwγ +			2	Z Cγδεwαwβwδwε P ,
* *	L	*	1	* *	O
	N				Q

ãäå bαβγ — константа, антисимметричная по a è b и преобразующа-

яся как тензор относительно глобальных калибровочных преобра-

17.3. Перенормировка: произвольные калибровочные теории

125

зований. (Такие тензоры существуют для любой группы Ли. Например, можно взять bαβγ пропорциональной Cαβγ.) Однако метод Фад-

деева–Попова–де Витта не может привести к появлению четырехгостовских взаимодействий в лагранжиане, так что не существует подходящих контрчленов, способных поглотить ультрафиолетовые расходимости от такого слагаемого. Это не только техническая проблема при доказательстве перенормируемости. Для фиксирующих калибровку функционалов типа fα = ∂μAμα + aαβγAμβAγμ однопетле-

вые диаграммы действительно приводят к расходимостям в четырехгостовских амплитудах, которые не сокращаются контрчленами в лагранжиане Фаддеева−Попова−де Витта.

Представляется, что единственным решением этой проблемы, помимо того, чтобы избегать фиксирующих калибровку функционалов, отличных от fα = ∂μAμα, является то, которое упомянуто в разделе 15.7. Следует отказаться от подхода Фаддеева−Попова−äå

Витта и вместо этого рассматривать с самого начала действие как самую общую перенормируемую функцию от полей материи, калибровочных, гостовских и вспомогательных полей, инвариантную относительно БРСТ симметрии и других симметрий теории. Согласно рассуждениям раздела 15.8, действие можно записать в виде I0 + sΨ, ãäå I0 свободно от гостов, а S-матрица не зависит от Ψ,

поэтому можно оправдать эту процедуру, квантуя калибровочную теорию в аксиальной калибровке, где госты отщепляются от остальных частиц, и выбирая затем Ψ по своему желанию. В частности, можно включить в действие слагаемые s(ω*ω*ω), которые мо-

гут служить контрчленами к расходимостям в четырехгостовских вершинах.

17.3. Перенормировка: произвольные калибровочные теории *

Приведенное в предыдущем разделе доказательство перенормируемости неабелевых калибровочных теорий основано на «прямолинейном» анализе возможных слагаемых в действии, имеющих размерность 4 или меньше. Но, как мы видели в гл. 12, это ограни- чение на размерность слагаемых в действии может в лучшем слу-

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

126	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

чае рассматриваться как хорошее приближение. Успешные перенормируемые квантовые теории поля, использующиеся для описания сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий, почти наверняка являются эффективными теориями поля, включающими слагаемые с размерностью d > 4. Такие слагаемые обычно не наблюдаются, так как они подавлены 4 – d степенями некоторой очень большой массы, вероятно, порядка 1016 – 1018 ГэВ. Гравитация также может быть описана эффективной теорией поля, лагранжиан коòорой содержит не только слагаемое Эйнштейна–Гильберта −gR / 16πG, но и все скаляры, построенные из четырех и более

производных гравитационного поля. Мы должны показать, что калибровочные теории такого рода, которые неперенормируемы по индексу, тем не менее, перенормируемы в современном смысле, т. е. ультрафиолетовые расходимости управляются калибровочными симметриями так, что для сокращения каждой бесконечности может быть найден соответствующий контрчлен 3 *. ‡

Для доказательства вернемся к действию S[χ,χ ], введенному

в разделе 15.9 и рассматриваемому как функция независимых полей χn (включающих поля материи и калибровочные поля ϕr, поля духов ωA, а также неминимальные поля ωA* è hA) вместе с соответствующими антиполями χ‡n. В теориях типа Янга–Миллса или кван-

товой гравитации, которые основаны на замкнутой калибровочной алгебре со структурными константами fCAB, такое действие должно иметь вид

S = I[ϕ] + ω A fr	[ϕ]ϕ‡ +	1	ω Aω B fCAB [ϕ]ω‡	− hAω*‡	,	(17.3.1)
A	r 2		C	A

ãäå I[ϕ] инвариантно относительно инфинитезимальных калибровоч- ных преобразований ϕr → ϕr + εAfrA[ϕ]. (Как и в разделе 15.9, индек-

* Содержание последнего предложения уточняется ниже: в предпредположении, что действие перенормированной теории удовлетворяет квантовому мастер-уравнению, необходимо показать, что перенормировка сводится к пернормировке констант связи (включая массовые параметры) и антиканоническому преобразованию полей и антиполей. Коротко говоря, перенормировка есть «замена переменных». Необходимо также добавить, чьл излагаемая процедура перенормировки предполагает наличие калибровочно-инвариатной регуляризации. — Прим. ред.

17.3. Перенормировка: произвольные калибровочные теории

127

сы r, A и т. д. включают пространственно-временные координаты, по которым производится интегрирование при суммировании по индексам.)

Мы не будем ограничиваться действиями такого вида, но предположим, что локальные симметрии теории формулировались в виде требования, что действие должно подчиняться некоторым «структурным ограничениям» на зависимость от антиполей, одним из примеров которых может служить (17.3.1). Предполагается, что структурные ограничения линейны в том смысле, что если они справедливы для S + S1 è S + S2, то при любых постоянных a1, a2 они верны и для S + a1S1 + a2S2. Кроме того, потребуем выполнения квантового мастер-уравнения (15.9.35)

(S, S) − 2ih S = 0 ,

(17.3.2)

с S, определенным формулой (15.9.34). Петлевой параметр $, смысл которого объясняется в предыдущем разделе, явным образом входит в виде множителя.

Действие представляется в виде степенного ряда по $:

S = S	+ hS	+ h2S	+ . . . ,	(17.3.3)
R	1	2

ãäå SR — действие того же общего вида, что и S, но с заменой всех констант связи на их конечные перенормированные значения, а SN — набор бесконечных контрчленов. Предполагается, что действие S удовлетворяет квантовому мастер-уравнению (17.3.2) во всех порядках по $, так что SR удовлетворяет классическому мастеруравнению

(SR, SR) = 0 ,

(17.3.4)

а контрчлены удовлетворяют уравнению

	N−1
bSR , SN g = −	21 å bSM , SN− M g + i SN−1 .	(17.3.5)
	M=1

Наличие контрчленов SN само по себе недостаточно для сокращения ультрафиолетовых расходимостей в петлевых диаграммах. Как обобщение обычной перенормировки полей мы должны также

128	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

ввести набор перенормированных полей и антиполей, определенных через исходные поля и антиполя с помощью произвольного антиканонического преобразования. Инфинитезимальное антиканони- ческое преобразование можно определить формулой (15.9.26) через инфинитезимальный производящий функционал δF, так что последовательность антиканонических преобразований G(t) → G(t + δt) = G(t) + (F(t)δt,G(t)) (где G(t) — любой функционал от полей и антипо-

лей, а F(t) – производящий функционал) приводит к конечному

каноническому преобразованию → ~ ≡ , причем

G G G(1)

	d	G(t) = bF(t), G(t)g ,		G(0) = G.	(17.3.6)
	dt
Если F(t) задано в виде степенного ряда
		F(t) = gtF	+ h2t2F	+ . . . ,	(17.3.7)
1			2

тогда формулы (17.3.3), (17.3.6) и (17.3.7) приводят к преобразованному действию

~		+ h		S1		+ (F1, SR )
S = SR
+ h	2 L				+	(F1, S1) + (F2 , SR ) +		1	O	+ . . . ,	(17.3.8)
		MS2							bF1, (F1, SR )gP
								2
		N							Q

Вопрос заключается в том, можем ли мы использовать эту свободу для такого выбора FN è SN, чтобы сократить все бесконечности, возникающие от петлевых диаграмм.

Как уже отмечалось, первое слагаемое SR в (17.3.3) автомати- чески конечно. Предположим, что сократив бесконечности с помощью SM è FM при M < N возможно устранить все бесконечности в слагаемых порядка $M в квантовом эффективном действии ΓM äëÿ

M < N. Как было показано в предыдущем разделе, уравнение ЗиннЖюстена (получающееся в данном случае, если положить χ‡n = Kn + δΨ/δχn) утверждает, что тогда бесконечная часть ΓN,∞ слагае-

мого в квантовом эффективном действии порядка $N удовлетворяет условию

(SR, ΓN,∞ ) = 0 .

(17.3.9)

17.3. Перенормировка: произвольные калибровочные теории

129

Полевые и антиполевые переменные χn è χ‡n связаны с переменными χn è Kn антиканоническим преобразованием, сохраняющим все

антискобки, ‡так что антискобка в (17.3.9) может быть вычислена

через χn è χ n вместо χn è Kn.

Условие (17.3.5), которому удовлетворяет контрчлен SN, не эквивалентно условию (17.3.9), которому удовлетворяет ΓN,∞. Однако,

если задать любое S0N, удовлетворяющее уравнению (17.3.5), можно найти целый класс других решений

S	= S0	+ S′ ,	(17.3.10)
N	N	N

ãäå S′N произвольно, если не считать условия, что SR + S′N, êàê è

SR + S0N, удовлетворяет тем же условиям симметрии, что и SR, è

(SR, SN′ ) = 0 ,

(17.3.11)

чтобы не нарушить уравнения (17.3.5). Поэтому бесконечная часть в квантовом эффективном действии N-ого порядка может быть записана в виде:

Γ	= S′	+	d	F	, S	R i	+ X	N,∞	,	(17.3.12)
N,∞	N,∞			N,∞

ãäå XN включает слагаемые от петлевых диаграмм, а также от слагаемого S0N и различных слагаемых в Γ, включающих SM è FM äëÿ M

< N. Например, при N = 2 из формулы (17.3.8) имеем:

X2 = S20 + 2(F1, S1) + (F1,(F1, SR))

+ двухпетлевые вклады, содержащие только SR + однопетлевые вклады, содержащие SR, S1 è F1.

Единственное, что нужно знать о величине XN для наших целей, это то, что она не включает S′N èëè FN и инвариантна относительно

любой линейно реализованной глобальной симметрии SR.

Далее, поскольку (SR,SR) = 0, операция F ¬ (SR,F) нильпотентна: для любых F

cSR, bSR, Fgh = 0 .

(17.3.13)

Поэтому из (17.3.9) и (17.3.11)–(17.3.13) следует, что

130	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий
	dSR , XN,∞ i = 0 .	(17.3.14)

Любое слагаемое в XN,∞, имеющее вид (SR,Y), можно сократить в соотношении (17.3.12), выбрав FN,∞ равным Y. Таким образом пространство возможных оставшихся бесконечных слагаемых в XN,∞, которые должны быть сокращены контрчленом S′N,∞, состоит из

тех функционалов X, которые удовлетворяют условию (SR,X) = 0, причем эквивалентными считаются функционалы, отличающиеся на слагаемые вида (SR,Y). Иными словами, бесконечности в GN, которые должны быть сокращены контрчленами S′N, принадлежат

когомологии отображения X ¬ (SR,X).

Возможный вид контрчлена S′N ограничен требованием, что SR + S′N должна удовлетворять любому из структурных ограниче-

ний, наложенных на действие S. Таким образом мы сможем завершить доказательство перенормируемости, если удастся показать, что когомология отображения X ¬ (SR,X) состоит только из функционалов, удовлетворяющих этому структурному ограничению.

В случае квантовой гравитации, взаимодействующей с полями Янга–Миллса с полупростой калибровочной симметрией, все симметрии теории обеспечиваются структурным ограничением (17.3.1). В этом случае существует теорема 4, утверждающая, что когомология отображения X ¬ (SR,X) (на пространстве локальных функционалов с гостовским числом нуль, а не на пространстве функций, зависящих от пространственно-временных координат) состоит * из функционалов A[ϕ], инвариантных относительно калибровочного пре-

образования ϕr → ϕr + eAFrA[ϕ] со структурными константами fCAB.

Любая бесконечность N-го порядка такого типа может быть сокращена контрчленом S′N того же типа. Таким образом, хотя эти тео-

рии и не перенормируемы по индексу, они перенормируемы в том смысле, что все бесконечности можно устранить выбором параметров в исходном голом действии I[ϕ] и подходящей перенормировкой

полей и антиполей.

В других теориях когомология отображения X ¬ (SR, X) содержит дополнительные слагаемые. Это не обязательно требует

* Строго говоря, это верно только, если потребовать, чтобы постоянные коэффициенты в S не принимали специальных значений, при которых S было бы инвариантно относительно более широкой группы локальных симметрий. Например, это исключает случай S = 0.

17.4. Калибровка фонового поля

131

ослабления структурных ограничений, так как дополнителные слагаемые в когомологии могут и не соответствовать реальным ультрафиолетовым расходимостям. Например в калибровочных теориях с множителями U(1) когомология содержит слагаемые 4, отвечающие переопределению действия U(1) калибровочной симметрии на разли- чиные поля. Если оно окажется бесконечным, нам потребуется ослабить структурные ограничения, оставив произвольной нормировку функций преобразования frA[ϕ] в (17.3.1). Но такая бесконечность зап-

рещена теми же теоремами о мягких фотонах, которые утверждают, что отношения U(1) констант связи с различными полями (типа отношений зарядов разных лептонов в КЭД) не затрагиваются радиационными поправками (см. раздел 10.4). Если дополнительные слагаемые в когомологии содержат ультрафиолетовые расходимости, необходимо ослабить наложенные на S структурные ограничения, с тем, чтобы для каждой возможной ультрафиолетовой расходимости возник свой контрчлен. Неизвестно, всегда ли это возможно. Если это не так, то следует отбросить некоторые тео-рии из-за наличия в них неустранимых ультрафиолетовых расходимостей.

17.4. Калибровка фонового поля *

Обратимся теперь к методу вычислений, явно сохраняющему тип калибровочной инвариантности и поэтому особенно удобному, прежде всего, в однопетлевых вычислениях. Рассмотрим эффективное действие Γ[A,ψ,ω,ω*] как функционал ** классических внешних полей материи, калибровочных, гостовских и антигостовских полей ψl(x), Aαμ(x), ωα(x), ω*α(x). Даже несмотря на то, что госты и антигосты

никогда не появляются в начальном или конечном состоянии, мы рассматриваем фоновые поля гостов и антигостов наряду с полями материи и калибровочными полями с целью разобраться с частями диаграмм, имеющими внешние гостовские или антигостовские линии.

* В русскоязычной литературе чаще используется термин «фоновая калибровка». — Прим. ред.

** Мы возвращаемся к частному выбору фиксирующего калибровку функционала B[ϕ] в виде гауссиана (15.7.4) и интегрируем по вспомогательному полю hα, так что в модифицированном лагранжиане это фиксирующее калибровку слагаемое имеет вид –fαfα/2ξ.

132	Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

Как описано в разделе 16.1, эффективное действие Γ[A,ψ,ω,ω*]

есть сумма связных одночастично неприводимых диаграмм для амплитуды перехода вакуум–вакуум, вычисленных в теории, в которой квантовые поля A′, ψ′, ω′, ω*′, по которым производится интегрирование, заменены в действии на сдвинутые поля A + A′, ψ + ψ′, ω + ω′, ω* + ω*′, причем интегрирование по штрихован-ным

полям производится при фиксированных нештрихованных полях. Мы имеем широкие возможности выбора фиксирующей калибровку функции fα(x). Вместо прежнего выбора fα = ∂μAμα (èëè ∂μ[A′μα + Aμα]) можно взять5

′μ	′	μ	(17.4.1)
fα = ∂μ Aα	+ Cαβγ Aβμ Aγ	.

Причина такого выбора в том, что фиксирующее калибровку слагаемое fαfα становится инвариантным относительно калибровочного преобразования, при котором фоновое поле Aμα преобразуется как калибровочное поле, а квантовое поле A′μα преобразуется однород-

но, как обычное поле материи, принадлежащее присоединенному представлению калибровочной группы:

δAαμ = ∂μ εα − Cαβγ εβ Aγμ ,		(17.4.2)
′μ	′μ	(17.4.3)
δAα	= −Cαβγ εβ Aγ .

Трансформационные свойства функции fα легче всего увидеть, за-

писав ее как новый тип ковариантной производной:

		fα ≡		μ Aα′μ ,	(17.4.4)
			D
где для любого поля ϕα в присоединенном представлении
		μϕα ≡ ∂μϕα + Cαβγ Aβμϕγ .			(17.4.5)
	D

Мы видим, что под действием преобразования (17.4.2), (17.4.3) функция (17.4.1) преобразуется в точности как A′α:

δfα = −Cαβγ εβ fγ ,

(17.4.6)

òàê ÷òî ÷ëåí fαfα в модифицированном лагранжиане инвариантен: