Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

19.1. Вырожденные вакуумы

223

вращений, однако решение этих уравнений — реальный стул — имеет определенную ориентацию в пространстве. Ниже мы будем рассматривать не столько нарушения симметрий телами типа стула, сколько нарушение симметрии основного состояния любой реалистичной квантовой теории поля, т. е. вакуума.

Спонтанное нарушение симметрии в теории поля всегда связано с вырождением вакуумных состояний. Рассмотрим, например, преобразование симметрии действия и меры, используемой при интегрировании, которое линейно действует на множество скалярных полей jn(x):

ϕn(x) → ϕ′n(x) = å Lnmϕm(x) .	(19.1.1)
m

(Ïîëÿ jn не обязаны быть элементарными составными объектами типа ψΓnψ .) Как мы квантовое эффективное действие G[j] будет

метрией,

G[j] = G[Lj] .

полями, а могут быть видели в разделе 16.4, обладать той же сим-

(19.1.2)

В состоянии вакуума среднее значение j(x) должно соответ- ствовать минимуму энергии вакуума –G[j], достигающемуся, например, при j(x) = j (j – постоянная). Однако, если Lj ¹ j , то вакуум не единственен: –G[j] имеет одинаковое зна- чение как в точке j , так и в точке j = Lj . В простейшем частном

случае, когда преобразование симметрии (19.1.1) является отражением j ® -j, åñëè –G[j] имеет минимум при ненулевом значе- нии j ïîëÿ j, то на самом деле имеются два минимума при зна- чениях j è – j , причем каждый соответствует состоянию

нарушенной симметрии.

Мы еще не готовы заключить, что в этих случаях симметрия нарушается, поскольку еще не исключили возможность, что истинный вакуум является линейной суперпозицией вакуумных состояний с разными средними значениями jm, не нарушающей

предполагаемой симметрии. Например, в теории с симметрией относительно преобразования j ® –j, äàæå åñëè G[j] имеет минимум при некотором ненулевом значении j ïîëÿ j, откуда мы

знаем, что истинный вакуум является одним из состояний |VAC,±ñ, в котором j имеет средние значения j è -j , а не какойто линейной комбинацией типа |VAC,+ñ + |VAC,-ñ, сохраняющей

224	Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

симметрию относительно преобразования j ® –j? Исходная симметрия относительно преобразования j ® –j означает, что ва-

куумные матричные элементы гамильтониана равны

áVAC,+|H|VAC,+ñ = áVAC,-|H|VAC,-ñ º a

(с действительным а) и

áVAC,+|H|VAC,-ñ = áVAC,-|H|VAC,+ñ º b

(с действительным b), так что собственные состояния гамильтониана равны |VAC,+ñ ± |VAC,-ñ, а энергии этих состояний равны a ± |b|. Такие собственные состояния с данной энергией инвариантны

(или инвариантны с точностью до знака) относительно преобразо- вания симметрии j ® –j. На самом деле, нечто подобное имеет

место и для стульев. Квантово-механическое основное состояние изолированного стула является на самом деле инвариантным относительно вращений. Это состояние с нулевыми значениями квантовых чисел углового момента, не имеющее по этой причине определенной ориентации в пространстве.

Спонтанное нарушение симметрии в действительности возникает только для идеализированных бесконечно больших систем. Нарушение симметрии для стула возникает из-за того, что у него имеется макроскопический момент инерции I, и основное состояние стула является частью пирамиды вращательных возбужденных состояний, энергии которых отделены друг от друга крохотными интервалами порядка $2/I. Поэтому вектор состояния стула становится необычайно чувствительным к внешним возмущениям. Даже очень слабые внешние поля сдвигают энергию стула на величину, намного превышающую разность энергий между вращательными уровнями. В результате, наложение любого вращательно несимметричного внешнего поля приведет к тому, что основное или любое другое состояние стула с определенными квантовыми числами углового момента очень быстро приобретет компоненты с другими квантовыми числами момента. Сравнительно стабильные относительно малых внешних возмущений состояния стула — не те, которые имеют определенные значения квантовых чисел углового момента, а те, которые обладают определенной ориентацией, и в которых нарушена вращательная симметрия исходной теории.

19.1. Вырожденные вакуумы

225

Для вакуума возможность спонтанного нарушения симметрии также связана с большими размерами системы, в частности, с большим пространственным объемом. В предыдущем примере симметрии относительно отражений недиагональный матричный элемент b гамильтониана включает интегрирование по полевым конфигурациям, которые туннелируют от минимума при j = `j к минимуму при j = –`j, так что этот матричный элемент мень-

ше, чем диагональный матричный элемент a, на коэффициент проницаемости барьера, который в случае пространственного объема V имеет вид exp(–CV ), где С — положительная константа*, зависящая от микроскопических параметров теории.

Таким образом, два собственных состояния энергии |VAC,+ñ ± |VAC,-ñ существенно вырождены для любого макроскопического объе-

ма и поэтому сильно перемешиваются любым возмущением, являющимся нечетным функционалом от j. Даже если такое возмущение Н¢ очень мало, его диагональные элементы áVAC,±|H¢|VAC,±ñ будут отличаться существенно сильнее, чем

экспоненциально подавленные недиагональные элементы как Н, так и возмущения. Следовательно, вакуумные собственные состояния возмущенного гамильтониана будут очень близки к одному из состояний с нарушенной симметрией |VAC,±ñ , которые диагонализуют возмущение, а не к инвариантным состояниям |VAC,+ñ ± |VAC,-ñ. В случае очень малых возмущений какое же из состояний |VAC,±ñ

является истинным вакуумом? Это зависит от возмущения, но поскольку два состояния связаны преобразованием симметрии исходного гамильтонианом, такая зависимость несущественна; если возмущение достаточно мало, ни один наблюдатель не сможет обнаружить разницу.

В случае пространства бесконечного объема обращение в нуль матричных элементов между вакуумными состояниями с разными средними значениями поля является точным утверждением 1. В случае бесконечного объема произвольное вакуумное состояние |vñ можно определить как состояние с нулевым импульсом

* Например, по аналогии с классической задачей волновой механики о
прохоæäåíèè ñквозь барьер, для лагранжиана вида − 1 ∂μ ϕ∂μ ϕ − V(ϕ) имеем
+ ϕ	2
C = z− ϕ	2V(ϕ)dϕ . Мы не станем заниматься вычислением недиагонального

матричного элемента b, поскольку вскоре покажем в общем виде, что он обращается в нуль в случае бесконечного объема.

226	Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии
	P		v = 0 ,	(19.1.3)

для которого это собственное значение импульса дискретно. (Таким образом, исключаются одночастичные или многочастичные состояния, для которых нулевое собственное значение импульса всегда есть часть континуума значений импульса в пространстве с бесконечным объемом.) В общем случае возможно существование нескольких подобных состояний. Обычно их можно разложить в дискретное множество, так что наши обозначения будут рассматривать эти состояния как дискретные. Они выбираются ортонормированными:

u		v = δ uv .	(19.1.4)

Любой матричный элемент произведения локальных эрмитовых операторов при равных временах, взятый между этими состояниями, можно выразить как сумму по состояниям:

u A(x)B(0) v = å u A(0) ww B(0) v

w

+ z d3på u A(0) N, pN, p B(0) ve-ip×x , (19.1.5)

N

ãäå |N,pñ — множество ортонормированных состояний континуума с определенным трехмерным импульсом р, которое вместе с |bñ ïî-

крывает все физическое гильбертово пространство. (Здесь N может включать как непрерывные, так и дискретные метки. Кроме того, мы опускаем временные аргументы.) Предположим без доказательства, что поскольку |N,pñ принадлежат непрерывному спект-

ру оператора импульса Р, зависимость матричных элементов от р достаточно гладкая (т.е. интегрируемая по Лебегу), и можно использовать теорему Римана–Лебега2, так что интеграл по р обращается в нуль при |x| ® ¥. Тогда в этом пределе имеем:

u

A(x)B(0)

v ¾¾¾¾®

å

u

A(0)

w w

B(0)

v .

(19.1.6)

| x|®¥

w

Аналогично,

u

B(0)A(x)

v ¾¾¾¾®

å

u

B(0)

w w

A(0)

v .

(19.1.7)

| x|®¥

w

19.2. Голдстоуновские бозоны

227

Однако из соображений причинности следует, что коммутатор при равных временах [A(x),B(0)] обращается в нуль при x ¹

0 (см. раздел 5.1), так что матричные элементы (19.1.6) и (19.1.7) равны и поэтому эрмитовые матрицы áu|A(0)|vñ, áu|B(0)|vñ è ò. ä. äîë-

жны все коммутировать друг с другом. Отсюда следует, что все они могут быть одновременно диагонализованы. Переходя, если нужно, к этому базису, имеем для каждого эрмитового локального оператора A(x) теории:

u		A(0)		v = δuvav ,	(19.1.8)

ãäå av — действительное число, равное среднему значению А в состоянии |vñ. Итак, в случае бесконечного объема любой гамиль-

тониан, построенный из локальных операторов, будет иметь нулевые матричные элементы между разными вакуумами |vñ. Â îò-

сутствие недиагональных слагаемых в гамильтониане любые два состояния |vñ, связанные преобразованием симметрии, будут вы-

рожденными. Нарушающее симметрию возмущение, построенное из таких локальных операторов, будет в том же базисе диагональным, и поэтому будет приводить к основному состоянию, которое является одним из |vñ, а не их линейной комбинацией.

Радует и то, что вакуумные состояния |vñ, которые стабильны

относительно малых зависящих от поля возмущений, являются также теми вакуумными состояниями, для которых выпоняется условие кластерного разложения (см. гл. 4). Этот принцип требует, что для физического вакуумного состояния |VACñ

VAC A(x)B(0) VAC ¾¾¾¾®VAC A(x) VACVAC B(0) VAC.

|x|→∞

(19.1.9)

Это условие удовлетворяется, если взять вакуумное состояние |VACñ как любое из состояний |vñ в базисе, определенном выражением (19.1.8), но не как произвольную линейную комбинацию нескольких |vñ.

19.2. Голдстоуновские бозоны

Перейдем теперь к случаю спонтанно нарушенной непрерывной симметрии. В этом случае существует теорема, что (с одним

228	Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

важным исключением, которое рассматривается в гл. 21) спектр физических частиц должен содержать по одной частице нулевой массы и нулевого спина для каждой нарушенной симметрии. Такие частицы, известные как голдстоуновские бозоны (или бозоны Намбу–Голдстоуна), впервые были рассмотрены в конкретных моделях Голдстоуном3 и Намбу4, а два общих доказательства их существования были представлены Голдстоуном, Саламом и мной5. В данном разделе мы приведем оба доказательства, а затем перейдем к рассмотрению свойств голдстоуновских бозонов.

Предположим, что действие и мера инвариантны относительно преобразований непрерывной симметрии, при которых набор эрмитовых скалярных полей ϕn(x) (элементарных или составных)

подвергается линейным бесконечно малым преобразованиям

ϕn (x) → ϕn (x) + iεå tnmϕm (x) ,	(19.2.1)
m

ãäå itnm — конечная действительная матрица. Тогда, как мы показали в разделе 16.4, эффективное действие также инвариантно относительно этого преобразования:

X	δΓ[ϕ]
å Y		tnmϕm	(x)d4x = 0 .	(19.2.2)
n,mZ	δϕn (x)

Ограничимся рассмотрением случая трансляционно-инвари- антной теории с постоянными полями ϕn. Как было показано в раз-

деле 16.2, в этом случае эффективное действие имеет вид

Γ[ϕ] = −V V(ϕ),

(19.2.3)

где V — пространственно-временной объем, а V(ϕ) принято назы-

вать эффективным потенциалом. Теперь формула (19.2.2) может быть записана в виде:

å	∂V(ϕ)	tnmϕm = 0.	(19.2.4)
n,m ∂ϕn

Будем использовать это требование симметрии в виде, получающимся еще одним дифференцированием по ϕl:

19.2. Голдстоуновские бозоны

229

å	∂V(ϕ)tnl +		å	∂2 V(ϕ)				tnmϕm = 0 .	(19.2.5)
n	∂ϕ	n	n,m	∂ϕ	n	∂ϕ	l

Рассмотрим случай, когда ϕn принимает значение в минимуме V(ϕ), т.е. значение, равное среднему по вакууму`ϕn. Òàê êàê V(ϕ)

стационарно в своем минимуме, первое слагаемое в (19.2.5) обращается в нуль, так что

å	∂2 V(ϕ)				tnmϕm = 0 .	(19.2.6)
n,m∂ϕn∂ϕl				ϕ = ϕ

Из общих результатов раздела 16.1 следует, что вторая производная в (19.2.6) есть просто сумма всех связных одночастично неприводимых фейнмановских диаграмм в импульсном представлении с внешними линиями, помеченными индексами n и l и несущими нулевой 4-импульс. В конце раздела 16.1 показано, что эта производная связана с обратным пропагатором в импульсном пространстве равенством

∂2V(ϕ)	=	−1	(0) ,	(19.2.7)
∂ϕn∂ϕl		nl

так что из (19.2.6) следует

å

−nl1 (0) tnmϕm

= 0.

(19.2.8)

n,m

Таким образом, если симметрия нарушена, так что åm tnmϕm не равно нулю, тогда эта величина есть собственный вектор −nl1 (0)

с нулевым собственным значением. Из существования такого собственного вектора вытекает, что Dnl(q) имеет полюс в точке q2 = 0. Порядок вычета в полюсе при q2 = 0 равен размерности пространства векторов tϕ , где t пробегает по значениям всех генераторов

непрерывных симметрий теории. Грубо говоря, на каждую независимую нарушенную симметрию приходится один безмассовый бозон.

В классическом примере нарушенной симметрии лагранжиан включает набор N действительных скалярных полей ϕn è

имеет вид

230	Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии
		1	å ∂μϕn∂μϕn −	M2	å ϕnϕn		g	F	å ϕn	I 2
	L = −					−		G		ϕn J .	(19.2.9)
		2	n	2 n			4 H		n	K

Этот лангранжиан инвариантен относительно преобразований группы O(N), состоящей из вращений N-вектора с компонентами ϕn. Для постоянных полей эффективный потенциал в древесном

приближении равен просто взятым с обратным знаком слагаемым без производных в лагранжиане:

	M2	å ϕnϕn +	g F		å ϕn	I 2
V(ϕ) g				G		ϕn J .	(19.2.10)
2		n	4 H		n	K

Как обычно, мы предполагаем, что g существенно положительна. (В противном случае, если и существует минимум V(ϕ), он лежит вне

области применимости теории возмущений.) Если M2 также положительно, минимум V(ϕ) находится в точке ϕ = 0, инвариантной

относительно O(N). С другой стороны, при M2 < 0 минимум находится в точках`ϕn, в которых

å ϕnϕn = − M2 g .	(19.2.11)
n

Массовая матрица в древесном приближении имеет тогда вид

M2	=	∂2 V(ϕ)
nm		∂ϕn∂ϕm
					ϕ = ϕ
	= M2δnm + gδnm å ϕlϕl + 2gϕnϕm					(19.2.12)
					l
	= 2gϕnϕm .

Она имеет один собственный вектор “ϕ с ненулевым собственным

n

значением

m2 = 2gå ϕnϕn = 2| M2 | ,	(19.2.13)
n

и N – 1 собственных векторов, перпендикулярных вектору`ϕ ñ íó-

левым собственным значением. Причина появления только N – 1

19.2. Голдстоуновские бозоны

231

голдстоуновских бозонов заключается в том, что O(N) нарушается до O(N – 1) (подгруппа O(N), оставляющая инвариантным`ϕ),

и поэтому число независимых нарушенных симметрий равно размерности O(N) минус размерность O(N – 1), т. е.

1	N(N - 1) -	1	(N - 1)(N - 2) = N - 1.	(19.2.14)
2	2

Приведем еще одно доказательство существования голдстоуновских бозонов, не использующее формализма эффективного действия. Как мы видели в гл. 7, любая непрерывная симметрия действия влечет за собой существование сохраняющегося тока Jμ:

	∂J	μ (x)	= 0 ,	(19.2.15)
	∂xm

с зарядом Q, индуцирующим связанное с этим преобразование симметрии:

	Q = z d3x J0 (x,0) ,				(19.2.16)
	Q, ϕn (x)			= −å tnmϕm (x) .	(19.2.17)
				m

Спонтанное нарушение симметрии не влияет на операторные соотношения типа (19.2.15)–(19.2.17), а проявляется в свойствах физических состояний. Рассмотрим теперь среднее по вакууму коммутатора тока и поля. Суммируя по промежуточным состояниям, находим

J

l

(y),ϕn

(x)

= (2π)

-3

z d

4

p

l

ip×(y-x)

~l

(p)e

-ip×(y-x)

,

ρn (p)e

− ρn

VAC

(19.2.18)

где, после использования трансляционной инвариантности,

(2p)−3 irλn (p) = å áVAC| Jλ (0)| NñáN| jn (0)| VACñd4 (p - pN ) ,(19.2.19)

N

−3

~

λ

λ

4

(2p)

(p) = å áVAC| jn (0)| NñáN| J (0)| VACñd

(p - pN ) .(19.2.20)

irn

N

(&(	E !"* ! " #

3 Bλ ϕ -

% '!"*(*!") '!"*(*(#) -

% % %

λ	[λN	'1)	'!"*(*(!)
ρ	'1) = − ρ

3 % * 2 %ρ [ρ 9

ρλ '1) = 1λρ '−1()θ'1#)								'!"*(*(()
[λ	'1) = 1	λ[	'−1	(	)θ'1	#	) *	'!"*(*(&)
ρ		ρ

' θ'1#) G! #\ # %- %

12 < %

*) 3-

B

λ

'D)ϕ

' )

=

∂

(

ρ 'µ

(

) +

'D − P µ

(

)

∂Dλ

,µ

BCD

'!"*(*(<)

[

)

+ ' − DP µ

)

+ ρ 'µ

(

(

G7 %

+ 'EP µ() = '(π)−& ,<1θ'1#)δ'1( + µ()341 E *

'!"*(*($)

; *$%

'EPµ()

G

E µ( θ'E#)E(\ # 7 E(

µ(* + %

' ?DP µ()

'D? P µ()

G

G

?D%

B

λ

'D)ϕ ' )

=

∂

,µ

(

ρ 'µ

(

[

(

)

+ 'D − P µ

(

) *'!"*(*(,)

) + ρ 'µ

BCD

∂Dλ

3 − D%

. %

ρ 'µ

(

[

'µ

(

)

'!"*(*(T)

) = −ρ

% '!"*(*(<) D% 9