Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

18.7. Квантовая хромодинамика

213

3×3 матриц со столбцами и строками, помеченными1 тремя цветами кварков), нормированных условием Tr(tαtβ) = δαβ, индекс n ну-

мерует ароматы кварков, цветовые индексы кварков опущены. Как это было показано для электродинамики в разделе 12.5, данный лагранжиан обладает важными дополнительными симметриями: он сохраняет пространственную четность*, зарядовую четность и число кварков каждого аромата (минус число соответствующих антикварков), в том числе, давно известное квантовое число «странность», подсчитывающее число s-кварков. Таким образом, квантовая хромодинамика немедленно объясняет загадочный факт, что сильные взаимодействия обладают различными симметриями, не являющимися симметриями всех взаимодействий. Из этих рассуждений становится ясно также, почему в этой теории, как мы указывали выше, слабые взаимодействия не вносят сильных нарушений четности, зарядовой четности, странности и т. д. Поскольку все перенормируемые взаимодействия кварков и глюонов сохраняют эти симметрии, то при энергиях Е, много меньших масс mW частицпереносчиков слабых взаимодействий, они могут быть нарушены только неперенормируемыми слагаемыми в лагранжиане эффективной теории поля, например, взаимодействиями вида

ψψψψ, которые, как обсуждалось в разделе 12.3, будут подавле-

ны отрицательными степенями mW, а также константами слабых взаимодействий.

Конечно, не исключено, что кварки и глюоны обладают новым типом сильного взаимодействия на шкале энергий Λ′, много большей чем характерная для квантовой хромодинамики шкала Λ.

Например, как обсуждается в разделе 22.5, кварки могут быть связанными состояниями взаимодействующих с калибровочными полями более фундаментальных фермионов, причем асмптотически

свободные константы связи становятся сильными при энергиях порядка Λ′ и запирают эти фермионы внутри кварков. В этом случае

эффективная плотность лагранжиана для кварков при энергиях E n Λ′ будет содержать неперенормируемые взаимодействия типа

ψψψψ, которые подавлены только степенями E/Λ′. Эти взаимо-

* Хотя это и не было известно в 1973 году, мы увидим в разделе 23.6, что непертурбативные эффекты могут нарушать четность в квантовой хромодинамике. Предлагались различные способы избежать сильного нарушения четности, однако до сих пор неясно, какой из них правилен.

214	Глава 18. Методы ренормгруппы

действия могут проявиться не только в малых нарушениях сим- мет-рий типа сохранения четности или аромата кварков при обыч- ных энергиях, но и в отклонениях23 от количественных предсказаний квантовой хромодинамики при энергиях, стремящихся к Λ′.

Рассмотрим более детально поведение константы связи квантовой хромодинамики. В низшем порядке уравнение ренормализационной группы согласно (18.7.4) имеет вид:

μ	d	g(μ) = −	g3 (μ) F 11				−	1	I
				G					nf J .	(18.7.6)
	dμ				4			6
			4π2 H						K

Его решение имеет вид

	α (μ) ≡	g2 (μ)	=	12π	,
		4π		(33 − 2nf ) ln(μ2 Λ2 )		(18.7.7)
	s

ãäå Λ — постоянная интегрирования. Эта формула выявляет харак-

терное свойство теорий безмассовых (или, как для кварков, почти безмассовых) частиц. В таких теориях одна из безразмерных констант связи в лагранжиане заменяется на свободный размерный параметр. В выражении (18.7.7) не содержится свободных безразмерных параметров, но есть один свободный параметр размерностью массы — постоянная интегрирования Λ.

Такие расчеты были осуществлены вплоть до трехпетлевого порядка. В этом порядке уравнения ренормализационной группы имеют вид 24

μ	d	g(μ) = −β0	g3 (μ)	− β1	g5 (μ)	− β2	g7 (μ)	,	(18.7.8)
	dμ				128π4		8192π6
			16π2

ãäå βn — численные коэффициенты:

β0	= 11 −		2		nf ,	(18.7.9)
	3
β1	= 51 −	19			nf ,	(18.7.10)
	3

ÌýÂ .

18.7. Квантовая хромодинамика

215

β		= 2857	−	5033	n		−	325	n2 .
	2					f
			9					27	f

Решение имеет вид:

α

(μ) ≡

g2

(μ)

s

4π

=

4π

L

−

2β

ln[ln(μ2

Λ2 )]

M1

1

β0 ln(μ2

Λ2 ) M

β02

ln(μ2

Λ2 )

N

β2

F

F

2 2

1I

2

β

β

0

5

I O

4 1

8

2

+

G G ln[ln(μ

Λ )] −

J

+

−

J P .

β04 ln2 (μ2

Λ2 ) H H

2 K

β12

4K P

Q

(18.7.11)

(18.7.12)

Следует напомнить, что в приведенных формулах nf – число ароматов кварков с массами, меньшими рассматриваемых энергий. В каждой области энергий между двумя последовательными кварковыми массами имеем разные значения nf и разные Λ, выбранные так, чтобы сделать g(μ) непрерывной при каждой массе

кварка. В частности, в экспериментах по глубоконеупругому рассеянию электронов типичные энергии превышают только первые четыре массы кварков (u, d, s, c), так что в данном случае следует выбрать nf = 4. С другой стороны, эксперименты на электронпозитронных коллайдерах типа PEP, PETRA, TRISTAN и LEP проводятся при энергиях, намного превышающих массу пятого кварка b, так что в этих экспериментах следует выбирать nf = 5. Но эти результаты можно выразить через те, которые получены при nf = 4, подгонкой решений уравнений ренормгруппы к значе- нию массы b-кварка.

Таким способом найдено25 (используя при вычислении β2

рецепт модифицированного минимального вычитания), что константа сильного взаимодействия, экстраполированная к точке

mZ = 91,2 ГэВ, равна αs(mZ) º gs2(mZ)/4π = 0,118 ± 0,006, что соответствует L » 250 МэВ при энергиях μ в интервале

mb n μ n mt, когда nf = 5. Более современное исследование 26

рождения адронов в å+å––аннигиляции в области Z-резонанса позволило непосредственно измерить значение αs(mZ) = 0,1200 ± 0,0025 с теоретической неопределенностью ±0,0078, что соответствует Λ = 253+−13096

216	Глава 18. Методы ренормгруппы

18.8. Исправленная теория возмущений*

Потрясшая основы работа 1 Гелл-Манна и Лоу в значительной степени была посвящена проблеме «исправления» теории возмущений, т. е. использованию идей ренормгруппы и результатов теории возмущений в данном порядке для того, чтобы что-то сказать о следующем порядке теории возмущений. Чтобы пояснить это, вернемся к изученному Гелл-Манном и Лоу частному случаю — поляризации вакуума в квантовой электродинамике.

Напомним, что перенормированный электрический заряд eμ при скользящем масштабе μ определяется выражением (18.2.36) че-

рез голый заряд е â âèäå

eμ = Nμ(A) −1eB ,

(18.8.1)

ãäå N(A)μ — постоянная, которая после включения в неперенорми-

рованное электромагнитное поле дает поле, перенормированное на шкале μ (см. выражение (18.2.21)). Поэтому можно определить пере-

нормированный (и, следовательно, не зависящий от обрезания) полный фотонный пропагатор Δ′ρσ(q, μ, eμ) через полный пропагатор Δ′Bρσ(q, eB) неперенормированного поля как

′	(A)2	′	(18.8.2)
ρσ (q, μ, eμ ) = Nμ		Bρσ (q, eB)

так что при этом функция eμ2Δ′ρσ(q, μ, eμ) не зависит ни от μ, поскольку она равна еÂ2 Δ′Bρσ(q, eB), ни от обрезания, поскольку eμ è

Δ′ρσ(q, μ, eμ) — перенормированные величины. (Мы неявно пока-

зываем здесь зависимость от обрезания.) Однако из лоренц-инвари- антности и размерного анализа следует, что эта функция должна иметь вид

2	′	ηρσd(q2	μ2 , eμ )	+ слагаемые c qρqσ . (18.8.3)
eμ
	ρσ (q, μ, eμ ) =	q2

Так как (18.8.3) не зависит от μ, можно положить μ = q2 ≡ q , òàê ÷òî

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

18.8. Исправленная теория возмущений	217
d(q2 μ2 , eμ ) = d(1, eq ) .	(18.8.4)

Посмотрим теперь, что может это выражение сказать нам о структуре ряда теории возмущений для d(q2/μ2, eμ). Áåòà-ôóí-

кция для е имеет разложение

β(e) = b e3	+ b e5	+ b e7	+. . .	(18.8.5)
1	2	3

Тогда уравнение ренормгруппы для eμ имеет решение в виде сте-

пенного ряда

e2

= e2

− b e4

ln

q2

− b e6

ln

q2

q

μ

1 μ

μ2

2 μ

μ2

F b b

q2

q2 I

(18.8.6)

− G

1 2

ln2

+ b3 ln

J eμ8

+ L.

2

μ

2

μ

2

H

K

Если при этом разложить и d:

d(1, e) = e2 + d e4

+ d

e6

+ d e8 + L,

(18.8.7)

1

2

3

òî

F

q2

I

F

q2

I

d(q2 μ2 , e

μ

)

= d(1, e

q

) = e2

−

G

b

ln

− d

e4

−

G

b

ln

− d

e6

2

2

μ

1

μ

1J

μ

2

μ

2 J

μ

H

K

H

K

F b b

q

2

q

2

I

−

G

1 2

ln2

+ (b

− b d

) ln

− d

e8

+ L.

(18.8. 8)

2

2

2

μ

3

1

2

μ

3 J

μ

H

K

Заметим, что главные степени ln(q2/μ2) в каждом порядке для d(q2/μ2, eμ) равны, соответственно, 0, 1, 1, 2, 3, ... . Кроме того, если мы вычислим d(q2/μ2, eμ) в порядке eμ6, и определим, тем

самым, b1 è b2, то немедленно сможем выписать1 коэффициент при старшем логарифме в порядке eμ8 â âèäå – b1b2. Каждый из

этих результатов очень трудно вывести без использования метода ренормгруппы.

218	Глава 18. Методы ренормгруппы

Задачи

1.Рассмотрите SU(N) калибровочную теорию со скалярным полемв фундаментальном представлении SU(N). Вычислите бета-функцию для константы связи в однопетлевом приближении, включая вклад склярной петли. (Совет: используйте калибровку фонового поля с постоянным фоновым полем.)

2.Пусть бета-функция b(g) для теории с положительной констан-

той связи g имеет простой нуль при g = g*, ãäå b(g) ® a(g* – g)

c a > 0. Каково асмптотическое поведение поправки к старшему слагаемому µ E−γ O (g* ) в множителе NEO −1, связанным с включе-

нием оператора O в среднее по вакууму.

3.Покажите, что в теории с b(g) = bg2 + b¢g3 + b¢¢g4 + ... можно

путем переопределения константы связи придать коэффициенту b¢¢ любое значение.

4.Вычислите эффективный электрический заряд, который следует использовать при изучении процессов при энергии 100 ГэВ, учтя при этом все известные заряженные кварки и лептоны с массами меньше 100 ГэВ.

5.Рассчитайте асимптотическое поведение электронного пропагатора в квантовой элеткродинамике при большом значении 4-импульса. (Можно воспользоваться однопетлевым значением Z2, вычисленным ранее, например, в разделе 11.4.)

6.Вычислите аномальную размерность n в первом порядке разложения по степеням e = 4 – d для O(N)-инвариантной теории

скалярных полей jn(x) с n = 1, ..., N, принадлежащих3 векторному представлению O(N), с взаимодействием g(ånjn2)2.

Список литературы

1. Gell-Mann, M. and Low, F.E., Phys. Rev., 95, 1300 (1954). Несколько ранее вопрос о свободе выбора определения перенормированных констант связи обсуждался в работе: Stueckelberg,

Список литературы

219

E.G.C. and Peterman, A., Helv. Phys. Acta, 26, 499 (1953) (именно в этой работе был введен неудачный термин «ренормализационная группа»), но без объяснения связи с вычислениями физических процессов при очень больших или очень малых энергиях. После работы Гелл-Манна и Лоу методы ренормгруппы были развиты в монографии: Н.Н. Боголюбов и Д.В. Ширков.

Введение в теорию квантованных полей (М., Физматлит, 1957), гл. VIII и ссылки в ней. Интерес к методам ренормгруппы в физике частиц оживился в 1970 г. в работах: Callan, C.G., Phys. Rev., D2, 1541 (1970); Symanzik, K., Commun. Math. Phys., 18, 227 (1970); Callan, C.G., Coleman, S., and Jackiw, R., Ann. Phys. (New York), 59, 42 (1970).

2.Wilson, K.G., Phys. Rev., B4, 3174, 3184 (1971); Rev. Mod. Phys., 47, 773 (1975).

3.Collins, J.C., Phys. Rev., D10, 1213 (1974).

3a. Jost, J. and Luttinger, J.M., Helv. Phys. Acta, 23, 201 (1950).

4. Это значение цитируется в таблицах Particle Data Group в 1994 году. Обзор более поздних расчетов см. в работе: Altarelli, G., CERN preprint CERN-TH-95/203. Более новое значение α–1(mZ) находится в интервале от 128,89 до 129,08.

4a. Coleman, S. and Weinberg, E., Phys. Rev., D7, 1888 (1973).

4b. Landau, L.D., in Niels Bohr and the Development of Physics

(Pergamon Press, New York, 1955) и цитированные там более ранние работы.

4ñ. Adler, S.L., Callan, C.G., Gross, D.J., and Jackiw, R., Phys. Rev., D6, 2982 (1972); Baker, M. and Johnson, K., Physica, 96A, 120 (1979).

4d. Дискуссии и ссылки см.: Glimm, J. and Jaffe, A., Quantum Physics

— A Functional Integral Point of View (Springer Verlag, New York, 1987), Section 21.6; Fernandez, R., Froelich, J., and Sokal, A.D., Random Walks, Critical Phenomena, and Triviality in Quantum Field Theory (Springer Verlag, Berlin, 1992), ch. 15.

220	Глава 18. Методы ренормгруппы

5.Weinberg, S., in General Relativity, S.W.Hawking and W. Israel, eds. (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1979), p. 790.

6.Weinberg, S., Phys. Rev., D8, 3497 (1973).

7.Первое вычисление сделано в работе: Wilson, K.G. and Fischer, M.E., Phys. Rev. Lett., 28, 240 (1972); Wilson, K.G., Phys. Rev. Lett., 28, 548 (1972). Обзоры см.: Wilson, K.G. and Kogut, J.,

Phys. Rep., 12C,1No. 2 (1974); Fischer, M.E., Rev. Mod. Phys., 46, 597 (1974); Brezin, E., LeGuillou, J.C., and Zinn-Justin, J., in

Phase Transitions and Critical Phenomena, eds. C. Domb and M.S. Green (Academic Press, London, 1975).

8.См., например: Chaikin, P.M. and Lubensky, T.C., Principles of Condensed Matter Physics (Cambridge Univ. Oress, Cambridge, 1955), p. 231.

8a. Bre1zin, E., LeGuillou, J.C., Zinn-Justin, J., and Nickel, B.G., Phys. Lett., 44A, 227 (1973); Wilson, K.G. and Kogut, J., [7].

9.`t Hooft, G., Nucl. Phys., B61, 455 (1973); Nucl. Phys., B82, 444 (1973). Приведенный здесь вывод является несколько упрощенной версией вывода `т Хофта.

10.Greenberg, O.W., Phys. Rev. Lett., 13, 598 (1964); Han, M.Y. and Nambu, Y., Phys. Rev., 139, B1006 (1965); Bardeen, W.A., Fritzsch, H., and Gell-Mann, M., in Scale and Conformal Invariance in Hadron Physics, ed. by R. Gatto (Wiley, New York, 1973).

11.Gell-Mann, M., Phys. Lett., 8, 214 (1964); Zweig, G., CERN preprint TH401 (1964).

12.Gross, D.J. and Wilczek, F., Phys. Rev. Lett., 30, 1343 (1973).

13.Politzer, H.D., Phys. Rev. Lett., 30, 1346 (1973).

14.Bloom, E.D. et al., Phys. Rev. Lett., 23, 930 (1969); Breidenbach, M. et al., Phys. Rev. Lett., 23, 933 (1969); Friedman, J.L. and Kendall, H.W., Ann. Rev. Nuclear Science, 22, 203 (1972).

Список литературы

221

15.Zee, A., unpublished.

16.`t Hooft, G., unpublished.

17.Weinberg, S., Phys. Rev., D8, 605 (1973).

18.Gross, D.J. and Wilczek, F., Phys. Rev., D8, 3633 (1973); Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 31, 494 (1973).

19.Аналогичные идеи были высказаны еще до открытия асимптотической свободы в работе: Fritzsch, H., Gell-Mann, M., and Leutwyler, H., Phys. Lett., 47B, 365 (1973).

20.Hanson, G. et al., Phys. Rev. Lett., 35, 1609 (1975); Schwitters, R.F., in Proc. of the Int. Conf. on Lepton and Photon Interactions at High Energy at Stanford, 1975, ed. W.T. Kirk (SLAC, Stanford, 1975), p. 5; Hanson, G., SLAC Report SLAC-PUB-1814 (1976).

21.Sterman, G. and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 39, 1436 (1977).

22.Ellis, J., Gaillard, M.K., and Ross, G.G., Nucl. Phys., B111, 253 (1976).

23.Eichten, E., Lane, K., and Peskin, M., Phys. Rev. Lett., 50, 811 (1983).

24.См. обзор: Hinchliffe, I., in Review of Particle Properties, Phys. Rev., D50, 1177 (1994), Sec. 25.

25.Altarelli, G., in Proc. of the Rencontres de Hanoi, CERN preprint CERN-PPE/94-71 (1994).

26.Abe, K. et al. (SLD collaboration), Phys. Rev., D51, 962 (1995). Обработка более ранних данных по распаду Z0 в адроны,

выполненная М. Шифманом (Minnesota preprint hep-ph/9501222

(1995)), давала значение αs(mZ) = 0,125 ± 0,005, соответствующее Λ ≈ 500 ÌýÂ.

19

Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

Многие достижения физики в нашем веке были основаны на принципах симметрии, прежде всего, на пространственно-вре- менных симметриях эйнштейновской частной теории относительности 1905 года, а также на внутренних симметриях, например, на открытой в 1930-е годы приближенной SU(2) изоспиновой симметрии. Поэтому, когда в 1960-е годы было обнаружено, что число внутренних симметрий больше, чем это можно было бы предположить на основании изучения спектра элементарных частиц, это стало волнующим открытием. Существуют точные или приближенные симметрии исходной теории, которые являются «спонтанно нарушенными», т. е. они не реализуются как преобразования симметрии физических состояний теории, в частности, не оставляют инвариантным вакуумное состояние. Прорывом стало открытие нарушенной приближенной глобальной SU(2) × SU(2) симметрии сильных взаимодействий, о чем

подробно будет говориться в разделе 19.3. Вскоре последовало открытие точной, но спонтанно нарушенной локальной SU(2) × U(1) ñèì-

метрии слабых и электромагнитных взаимодействий, которую мы рассмотрим вместе с более общими локальными симметриями в гл. 21. Однако в данной главе мы начнем с общего обсуждения нарушенных глобальных симметрий, а затем перейдем к физическим примерам.

19.1. Вырожденные вакуумы

Не нужно далеко ходить за примерами спонтанного нарушения симметрии. Рассмотрим стул. Уравнения, которым подчиняется поведение атомов стула, являются симметричными относительно